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Qaether 연구일지
1. 서론 및 목표플랑크 스케일 격자 이산성에도 불구하고,장파장(long wavelength, \(k \ell_p \ll 1\))과 저에너지(low energy) 영역에서 기존 물리 법칙인 로렌츠 대칭(Lorentz symmetry)이 정확히 복원되어야 한다는 점입니다. 2. 위상장 \(\phi_i\)의 격자 동역학과 분산관계2-1. 이산 운동 방정식 (A12 단순화)$$\ddot{\phi}_i = K_0 \sum_{j \in N(i)} (\phi_j - \phi_i)$$여기서\(I_0\)는 국소 관성 모멘트,\(K_0\)는 인접 셀 간 위상 결합 강도,\(N(i)\)는 \(i\)번째 셀의 12개 FCC 인접 이웃 집합,\(\phi_i\)는 위상 변수.2-2. 푸리에 변환 및 분산관계푸리에 모드 $$\p..
고전적 상대론적 파동 방정식인 Klein–Gordon 방정식의 이차 시공간 미분자를 일차로 ‘인수분해’하여 Dirac 방정식을 유도하는 과정을 단계별로 보여드립니다. 모든 식은 자연단위계(\(\hbar=c=1\))를 사용하며, 마지막에 복원하는 방식으로 \(\hbar,\,c\)를 표시할 수 있습니다. 1. 출발점: 에너지-운동량 관계와 Klein–Gordon 방정식상대론적 에너지-운동량 관계: \(E^2 = \mathbf p^2 + m^2\)여기서 E는 에너지, \(\mathbf p=(p_x,p_y,p_z)\)는 3-운동량, m은 질량입니다.양자화: \(E \to i\,\frac{\partial}{\partial t}, \quad \mathbf p \to -i\,\nabla\).대입하면$$\left(i\..
U(1) 위상 결합 모델에서 시작하여 장파장·저에너지 극한에서 어떻게 Maxwell 방정식이 유도되는지 단계별로 보여드리겠습니다. 1. 이산 U(1) 게이지 변수 정의위상장과 연결형 변수각 셀 i 에 위상 \(\phi_i(t)\) 를 할당하고, 인접 링크 \((i,j)\) 위에는 전자기 포텐셜의 이산 버전 \(A_{ij}(t)\) 를 도입합니다.게이지 공변 위상차는\(\Delta\phi^{\rm tot}_{ij} = (\phi_j - \phi_i) \;-\; q_e\,A_{ij}\)로 정의합니다. 여기서 \(q_e\) 는 기본 전하 단위입니다.이산 전계·자계 정의링크 전위차 \(\Delta\phi_{ij}\) 에 대응하는 전기장 성분:$$E_{ij} \;\propto\; -\frac{d}{dt}\bigl..
평면 플라켓(사각형 루프) 구조링크 수: 4개균일 결합 상수 \(K_{ij}=K_0\) 가정 시$$U_{\rm plaq} = -\sum_{4\:\text{links}}K_0 = -4\,K_0$$위상 정렬 관점에서는 모든 위상이 동일할 때(\(\Delta\phi_{ij}=0\)) 정적 평형을 이룸.정사각뿔(피라미드) 구조링크 수: 밑면 4개 + 옆면 4개 = 총 8개동일한 \(K_0\) 가정 시$$U_{\rm pyr} = -\sum_{8\:\text{links}}K_0 = -8\,K_0 \;에너지가 두 배 깊게 낮아져, 더 큰 에너지 우물에 갇힌 “진정한 안정 구조”로 판단.결합 수 및 결합 강도 고려실제 Qaether 이론에서는 $$K_{ij} = K_0\exp[-\lambda(V_{\rm void}(m..
아래와 같이 단계별로 공액변수를 정의하고, 고전 Poisson 괄호에서 양자화된 교환 관계까지 차례로 유도하면, 자연스럽게 \(\hbar_q\)가 실제 플랑크 상수 \(\hbar\)와 동일해야 함을 확인할 수 있습니다. 1. 라그랑지언 작성 및 공액운동량 정의단일 셀 i의 자유 위상 운동항만 고려한 단순화된 Lagrangian:$$L_i \;=\; \frac{1}{2}\,I_i\,\dot\phi_i^2 \quad (I_i는 관성모멘트)$$공액운동량은$$\pi_i \;=\; \frac{\partial L_i}{\partial\dot\phi_i} \;=\; I_i\,\dot\phi_i \;=\; P_i$$즉, 이 이론에서 정의한 \(P_i\)와 일치합니다. 2. 고전 Poisson 괄호고전 역학에서 위상 \..
