Qaether 연구일지

FCC 격자와 그 위에서의 결합을 좀더 수학적으로 잘 정의해야 게이지 대칭 계산이 명확해질 것 같아서 그 방법을 구상중에 다음과 같이 정의해보게 되었다. FCC 격자의 기본 구조면심입방격자(Face-Centered Cubic, FCC)는 각 격자점이 12개의 최근접 이웃을 가지는 조밀한 격자다.중심을 \((0,0,0)\)으로 두면 최근접 이웃들은 다음 좌표로 표현된다.\[(\pm1,\pm1,0),\quad (0,\pm1,\pm1),\quad (\pm1,0,\pm1)\]모든 좌표는 FCC의 최근접 거리 \(1/\sqrt{2}\) 가 되도록 정규화하면 각 이웃까지의 거리는 \(1/\sqrt{2}\)이며, 이 벡터들은 ⟨110⟩ 방향을 따른다. 이 배치는 하나의 원자를 둘러싼 cuboctahedron(삼각면 ..

플라켓의 위상차 합이 고정되고 각각의 위상차가 이산화되어 있을 경우 3가지 순환열 동치류가 존재한다는 증명이다.이 증명은 SU(3)에서 쿼크의 색이 3가지인것을 표현하기에 적합해서 중요한 구조로 보고 있다.더해서 이 쿼크류의 3가지 색을 각각 다른 순환열과 결합하여 정팔면체 결합까지 만들어 바리온 구조를 설명하려고 하고 있다.다만 현재 이 논문은 거기까지 간 내용은 아니고 수학적으로 존재성을 입증할 뿐이다. 본 논문을 genodo에서 DOI 받아서 researchgate에 올렸다. 수학적으로 증명만 하면 되서 엄밀하게 증명하였다. https://www.researchgate.net/publication/396437920_Counting_Distinct_Plaquette_Phase_Configuration..

1. 위상적 기원 — 링크의 위상수FCC 격자에서는 각 링크(1-체인)가 여러 개의 닫힌 2-셀(삼각, 사각 루프)에 둘러싸여 있다.이를 사슬군 체계로 쓰면 \( C_2 \xrightarrow{\partial_2} C_1 \xrightarrow{} 0 \).이때 경계 연산자의 여상(cokernel), 즉 \( \mathrm{coker}(\partial_2) \)에 torsion이 생긴다.그게 바로 \( \mathbb{Z}_{12} \) — 12번 더하면 0이 되는 위상적 순환.그래서 한 링크의 위상차 \( \phi_e \)는\[12\phi_e \equiv 0 \pmod{2\pi}\]로 제한되고, 자연스럽게 \( \pi/6 \) 단위로 양자화된다.즉, 위상차의 “단위”는 물리 법칙이 아니라 격자 자체의 위..

14개 조합 → (a,b,c) 벡터화 → Cartan( \(T_3,T_8\) ) 투영 → 기본가중치 (\(\omega_1,\omega_2\)) 기저 좌표 순서로 정리됨.1) 14개 정팔면체 결합 가능 조합플라켓 네 값 중 \(0\)을 공통으로 포함하므로, 나머지 세 값만 (\(a,b,c\))로 본다. 합 조건에 따라 두 묶음.합 ≡ 0 (mod 12) — 11개\begin{aligned}&(-5,-4,-3),(-5,-1,6),(-5,1,4),(-5,2,3)\\&(-4,-2,6),(-4,-1,5),(-4,1,3)\\&(-3,-2,5),(-3,-1,4),(-3,1,2)\\&(-2,-1,3).\end{aligned}합 ≡ 12 (mod 12) — 3개\[(1,5,6),(2,4,6),(3,4,5).\]2) RG..

[문제1]정사각형 플라켓의 네 변에 위상차 (\(a,b,c,d\))가 배정되어 있다고 하자. 다음을 가정한다.1. 위상차는 \((-\pi,\pi]\) 범위에 있고, **최소 단위가 \(\pi/6\)** 로 양자화되어 있다.2. 네 값은 서로 달라 엄밀히 **오름차순** \((a3. 닫힘 조건: \(a+b+c+d\equiv 0\pmod{2\pi}\).이때 가능한 모든 \((a,b,c,d)\)를 구하라.[해답]편의를 위해 \(a=k_1\frac{\pi}{6},,b=k_2\frac{\pi}{6},,c=k_3\frac{\pi}{6},,d=k_4\frac{\pi}{6}\) 로 두고\[k_i\in{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},\quad k_1\]라고 하자. 닫힘 조건 \(a+b+c+d\eq..

* 앞서 이 문제는 https://qaether.tistory.com/entry/v12 에서 풀이했지만 완전히 수학적으로만 정의하고자 다시 여기서 정리한다. [문제]앞서 유도한 링크의 위상차 양자화 조건을 바탕으로 어떤 플라켓의 링크 4개의 위상차를 \((a,b,c,d)\) 로 표현하고 \(a,b,c,d\) 는 모두 다르다고 하자. 궤도 대칭과 반사 대칭은 같은 조합으로 본다고 했을때 \(a,b,c,d\) 4개 요소를 모두 써서 만들 수 있는 조합은 몇개인지 번사이드 정리 이용해서 풀어보자.[풀이]플라켓 4자리에 서로 다른 \((a,b,c,d)\)를 모두 한 번씩 배치한다고 하고, 회전(궤도 대칭)과 반사 대칭을 같은 조합으로 보겠습니다. 즉 정사각형의 이면군 \(D_4\) (원소 8개)가 작용하는 배..