Qaether 연구일지

수정의 이유: Qaether 이론에서는 기존 site에 쿼터니안을 배치하기로 했다. 그런 경우에는 순수 게이지가 되지 않기 때문에 이에 맞춰 수정했다. 단, 여기에는 아직 SU(3) 구조는 포함하지 않았다. 1) FCC 격자와 최소 루프기본 구조면심입방격자(Face-Centered Cubic, FCC)는 각 격자점이 12개의 최근접 이웃을 가지는 조밀한 3차원 격자다.중심을 \((0,0,0)\)으로 두면 최근접 이웃은 다음 좌표로 표현된다.\[(\pm1,\pm1,0),\ (0,\pm1,\pm1),\ (\pm1,0,\pm1)\]이 격자는 삼각형과 사각형 루프가 동시에 존재해, SO(3) 회전의 짝·홀 패리티와 U(1) 위상축을 모두 정의할 수 있는 최소 구조를 제공한다.최소 루프 (사이클 생성 집합)삼각 ..

FCC 격자와 이를 바탕으로 한 최소 결합 루프를 수학적으로 정의할 필요가 있다고 생각되어 다음과 같이 구조화를 진행한다. FCC 격자의 위상장(cochain) 구조격자 정의FCC 격자의 그래프를 다음과 같이 둔다. (여기서 \(V\)는 site(정점) 집합, \(E\)는 link(변) 집합이다.)\[G = (V, E)\]격자의 최소 닫힌 루프는 정삼각형과 정사각형 경계로 이루어진다.\[\mathcal{P} = \mathcal{P}_3 \cup \mathcal{P}_4\] 위상(cochain) 변수의 정의 각 site \(i \in V\)에는 위상을 둔다:\[\phi_i \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \qquad \text{(0-cochain)}\]각 link \(e = (i ..

플라켓의 위상차 합이 고정되고 각각의 위상차가 이산화되어 있을 경우 3가지 순환열 동치류가 존재한다는 증명이다.이 증명은 SU(3)에서 쿼크의 색이 3가지인것을 표현하기에 적합해서 중요한 구조로 보고 있다.더해서 이 쿼크류의 3가지 색을 각각 다른 순환열과 결합하여 정팔면체 결합까지 만들어 바리온 구조를 설명하려고 하고 있다.다만 현재 이 논문은 거기까지 간 내용은 아니고 수학적으로 존재성을 입증할 뿐이다. 본 논문을 genodo에서 DOI 받아서 researchgate에 올렸다. 수학적으로 증명만 하면 되서 엄밀하게 증명하였다. https://www.researchgate.net/publication/396437920_Counting_Distinct_Plaquette_Phase_Configuration..

1. 위상적 기원 — 링크의 위상수FCC 격자에서는 각 링크(1-체인)가 여러 개의 닫힌 2-셀(삼각, 사각 루프)에 둘러싸여 있다.이를 사슬군 체계로 쓰면 \( C_2 \xrightarrow{\partial_2} C_1 \xrightarrow{} 0 \).이때 경계 연산자의 여상(cokernel), 즉 \( \mathrm{coker}(\partial_2) \)에 torsion이 생긴다.그게 바로 \( \mathbb{Z}_{12} \) — 12번 더하면 0이 되는 위상적 순환.그래서 한 링크의 위상차 \( \phi_e \)는\[12\phi_e \equiv 0 \pmod{2\pi}\]로 제한되고, 자연스럽게 \( \pi/6 \) 단위로 양자화된다.즉, 위상차의 “단위”는 물리 법칙이 아니라 격자 자체의 위..

14개 조합 → (a,b,c) 벡터화 → Cartan( \(T_3,T_8\) ) 투영 → 기본가중치 (\(\omega_1,\omega_2\)) 기저 좌표 순서로 정리됨.1) 14개 정팔면체 결합 가능 조합플라켓 네 값 중 \(0\)을 공통으로 포함하므로, 나머지 세 값만 (\(a,b,c\))로 본다. 합 조건에 따라 두 묶음.합 ≡ 0 (mod 12) — 11개\begin{aligned}&(-5,-4,-3),(-5,-1,6),(-5,1,4),(-5,2,3)\\&(-4,-2,6),(-4,-1,5),(-4,1,3)\\&(-3,-2,5),(-3,-1,4),(-3,1,2)\\&(-2,-1,3).\end{aligned}합 ≡ 12 (mod 12) — 3개\[(1,5,6),(2,4,6),(3,4,5).\]2) RG..

[문제1]정사각형 플라켓의 네 변에 위상차 (\(a,b,c,d\))가 배정되어 있다고 하자. 다음을 가정한다.1. 위상차는 \((-\pi,\pi]\) 범위에 있고, **최소 단위가 \(\pi/6\)** 로 양자화되어 있다.2. 네 값은 서로 달라 엄밀히 **오름차순** \((a3. 닫힘 조건: \(a+b+c+d\equiv 0\pmod{2\pi}\).이때 가능한 모든 \((a,b,c,d)\)를 구하라.[해답]편의를 위해 \(a=k_1\frac{\pi}{6},,b=k_2\frac{\pi}{6},,c=k_3\frac{\pi}{6},,d=k_4\frac{\pi}{6}\) 로 두고\[k_i\in{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},\quad k_1\]라고 하자. 닫힘 조건 \(a+b+c+d\eq..