[v0.8] Qaether 이론의 결합 안정성

1. 평면 플라켓(사각형 루프) 구조
   • 링크 수: 4개
   • 균일 결합 상수 \(K_{ij}=K_0\) 가정 시$$U_{\rm plaq} = -\sum_{4\:\text{links}}K_0 = -4\,K_0$$
   • 위상 정렬 관점에서는 모든 위상이 동일할 때(\(\Delta\phi_{ij}=0\)) 정적 평형을 이룸.
2. 정사각뿔(피라미드) 구조
   • 링크 수: 밑면 4개 + 옆면 4개 = 총 8개
   • 동일한 \(K_0\) 가정 시$$U_{\rm pyr} = -\sum_{8\:\text{links}}K_0 = -8\,K_0 \;<\;-4\,K_0 = U_{\rm plaq}$$
   • 에너지가 두 배 깊게 낮아져, 더 큰 에너지 우물에 갇힌 “진정한 안정 구조”로 판단.
3. 결합 수 및 결합 강도 고려
   • 실제 Qaether 이론에서는 $$K_{ij} = K_0\exp[-\lambda(V_{\rm void}(m_i)+V_{\rm void}(m_j))/2]$$
   • 플라켓 구성 셀들(\(m_i=2\))보다 피라미드 구성 셀들(\(m_i=3\) 또는 4)의 결합 강도가 더 크므로,
   • 링크 수뿐 아니라 각 링크의 \(K_{ij}\)도 피라미드 쪽이 유리하여 안정성 격차가 더욱 커짐.
4. 동역학 방정식 관점
   • 평형 조건 $$\sum_{j\in\mathcal N(i)}\sin(\phi_j-\phi_i)=0$$ 은 양쪽 구조에서 “모든 위상 동일”을 허용
   • 그러나 총 결합 에너지 비교가 구조 선호도를 결정하며,
   • 동역학 방정식도 “에너지 우물 깊이”가 더 깊은 피라미드 구조가 자발적으로 선택됨을 뒷받침.

 

결론: Qaether 이론에서, 평면 플라켓 단일 폐합보다 정사각뿔·입체적 결합(피라미드 구조)이 링크 수도 더 많고 결합 강도도 커서 에너지상 더욱 안정적이며, 동역학적으로도 자연스럽게 우선 형성되는 구조입니다.