로렌츠 대칭성 복원 (v0.9)

1. 서론 및 목표

• 플랑크 스케일 격자 이산성에도 불구하고,장파장(long wavelength, \(k \ell_p \ll 1\))과 저에너지(low energy) 영역에서 기존 물리 법칙인 로렌츠 대칭(Lorentz symmetry)이 정확히 복원되어야 한다는 점입니다.

 

2. 위상장 \(\phi_i\)의 격자 동역학과 분산관계

2-1. 이산 운동 방정식 (A12 단순화)

$$\ddot{\phi}_i = K_0 \sum_{j \in N(i)} (\phi_j - \phi_i)$$

여기서

• \(I_0\)는 국소 관성 모멘트,
• \(K_0\)는 인접 셀 간 위상 결합 강도,
• \(N(i)\)는 \(i\)번째 셀의 12개 FCC 인접 이웃 집합,
• \(\phi_i\)는 위상 변수.

2-2. 푸리에 변환 및 분산관계

• 푸리에 모드 $$\phi_i(t) = \tilde{\phi}(\mathbf{k}) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}_i - \omega t)}$$를 대입하면

$$I_0 \omega^2 = 2K_0 \sum_{n=1}^{12} \left[1 - \cos(\mathbf{k} \cdot \hat{b}_n)\right]$$

• \(\hat{b}_n\)은 FCC 12개 인접 결합 방향 단위벡터.

2-3. 장파장 근사

$$1 - \cos(\mathbf{k} \cdot \hat{b}_n) \approx \frac{1}{2} (\mathbf{k} \cdot \hat{b}_n)^2 - \frac{1}{24} (\mathbf{k} \cdot \hat{b}_n)^4 + \cdots$$

• 12개 방향 합:

$$\sum_{n=1}^{12} (\mathbf{k} \cdot \hat{b}_n)^2 = k_i k_j \sum_{n=1}^{12} \hat{b}_{n,i} \hat{b}_{n,j} = 8 |\mathbf{k}|^2 \delta_{ij}$$

• 등방성(방향독립성) 확보됨. 따라서

$$\omega^2 = v^2 |\mathbf{k}|^2 + O(k^4), \quad v^2 = \frac{K_0 a^2}{I_0}$$

• \(a=\ell_p\) 플랑크 격자 길이.

2-4. 시공간 동등성 확보

• 시간 좌표 재규격화

$$t' = v t$$

하면, 이산 위상파 방정식이 연속 극한에서

$$\partial_{t'}^2 \phi - \nabla^2 \phi = 0$$

즉, 고전적 로렌츠-인바리언트 파동 방정식 \(\Box \phi = 0\) 형태로 귀결.

 

3. 스핀어(4-성분 디락 스피너)와 \(\gamma^\mu\)행렬

3-1. 4성분 스피너 \(\Psi_i\) 정의

각 셀의 사각 플라켓 4개 링크에서 발생하는 위상 변화 \(\pm \pi\)가 \(\Psi_i = (\psi_i^{(1)}, \psi_i^{(2)}, \psi_i^{(3)}, \psi_i^{(4)})^T\) 4성분 스피너로 구성됨.

3-2. \(\gamma^\mu\) 행렬 명시적 구성

• 각 링크 방향 \(\hat{b}^k\)와 위상 부호에 대응하는 연산자 \(M_k\)들을 정의하여,
• 이들이 모여 클리포드 대수 \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2 \eta^{\mu\nu}\)를 만족하는 \(\gamma^\mu\) 행렬군을 생성함을 증명함.
• 이는 위상변화와 기하학적 FCC 격자 구조에 근거한 자연스러운 대수 구조임.

3-3. 유효 라그랑지안 도출

$$\mathcal{L} = \bar{\Psi}(i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \Psi + \cdots$$

여기서 m은 격자 결합 상태에 따라 정의된 질량항, $$\bar{\Psi} = \Psi^\dagger \gamma^0$$

 

4. 질량 mm의 정량적 유도

• 질량항은 Void 압력 \(p_0\), 위상 양자화 포텐셜 \(U_0\), 국소 결합 수 \(m_i\) 변화에 의해 결정됨.
• 구체적으로, $$m_i^2 \propto p_0 A_s \ell_p \sin \phi_i + U_0 \langle \Im(\chi_{ij}^6) \rangle$$
• 이는 국소 위상장 복원력과 결합 결핍이 만든 기저 곡률로부터 유도.

 

5. 카이랄리티와 게이지 상호작용

• 4성분 스피너는 왼손/오른손 Weyl 성분으로 분리 가능:

$$\Psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}, \quad \psi_{L,R} = \frac{1 \mp \gamma^5}{2} \Psi$$

• 격자 내 위상 및 결합 방향성에 따른 동역학·위상 제약으로 \(\psi_L\) 만 \(SU(2)_L\) 게이지와 결합하는 카이랄 구조 구현 가능.

 

6. Nielsen-Ninomiya 더블링 문제와 다중 모드

• 다중 모드(더블러) 출현은 위상 및 스핀 구성의 본질적 결과로, 일부는 표준모형 입자에 대응, 나머지는 고질량 상태로 실험적 미관측 상태로 설명 가능.

 

7. 빛 원뿔과 인과율

• 등방성 분산관계 $$\omega^2 = v^2 |\mathbf{k}|^2$$
• 신호 전파 속도가 방향무관 상수 vv로 일정함을 보장. 따라서$$\partial_{t'}^2 \phi - \nabla^2 \phi = 0$$는 인과적 빛 원뿔 구조를 자명히 출현시킴.

 

요약 및 결론

주제 결론 요약

위상장 분산관계	FCC 12방향 위상 결합으로 등방성 유지, \(\omega^2 = v^2 k^2 + O(k^4)\)
시공 재규격화	시간 좌표 재조정으로 고전적 로렌츠 파동 방정식 형태 회복
4-성분 스피너 구성과 \(\gamma^\mu\)	위상-기하학 구조로 클리포드 대수 행렬군 유도, 디락 라그랑지안 도출
질량 유도	Void 압력 및 위상 양자화 포텐셜 기반 국소 복원력으로 질량항 정량화
카이랄성 및 게이지 상호작용	Weyl 분리 및 위상 결합 비대칭성으로 카이랄 게이지 구조(\(SU(2)_L\)) 구현
더블링 문제와 다중 모드	다중 카이랄 모드 존재, 일부는 표준모형, 나머지는 고질량 모드로 자연적 설명
빛 원뿔과 인과율	방향무관 전파 속도 vv와 인과 빛 원뿔 출현으로 특수상대성 완전 보장