Qaether 연구일지

정팔면체 위상 폐합 조건을 위한 $\mathbb{Z}_{12}$ 위상차 분류초록본 문서는 Qaether의 이산 위상 규약(링크 위상차가 $\frac{\pi}{6}$ 단위로 양자화되고, 대표는 $\mathbb{Z}_{12}=\{0,1,\dots,11\}$로 취함) 아래에서 다음 두 가지 문제를 해결한다.정사각 플라켓(plaquette) 경계의 위상차 4-튜플(tuple)이 닫힘 조건을 만족하는 모든 조합을 완전 분류한다.동일한 4-집합을 정팔면체의 세 직교 플라켓(XY, YZ, ZX)에 배치할 때, 생성되는 8개의 삼각 루프가 모두 $\pmod{2\pi}$로 닫히는지($\pmod{12}$로 0) 여부를 판정한다.결론적으로 문제 1의 해는 총 42개이며, 문제 2(삼각 루프 전부 폐합)는 $0\in K$일 ..

1. 연속체 Yang–Mills에서 병렬 수송1.1 공변 도함수와 병렬 수송(무한소)연속체 비가환 게이지 이론에서 공변 도함수는 다음과 같이 정의된다:$$D_\mu = \partial_\mu - ig A_\mu,\qquad A_\mu = A_\mu^a T^a$$이는 장(field)을 한 점에서 인접한 다른 점으로 옮길 때의 기하학적 규칙인 무한소 병렬 수송을 생성한다.즉, $A_\mu$는 단순한 벡터장이 아니라 기하학적 "연결(Connection)"이며, 게이지 변환은 이 연결의 좌표 표현을 바꾸는 재기술에 해당한다.1.2 곡률과 병렬 수송 불일치곡률(Curvature)은 공변 도함수의 교환자로 정의되며, 보통 다음과 같이 쓴다:$$[D_\mu, D_\nu] = -ig F_{\mu\nu}$$여기서 장의 ..

핵심 아이디어Qaether의 홀로노미(Plaquette holonomy)를 단일 ‘위상 각도’로 대표할 때, 그 범위를 Principal Value ($[-\pi, \pi)$)로 고정하면 일단 값이 유일해지고, 다음으로 에너지 함수를 $E(\phi) = E(|\phi|)$ 꼴(우함수)로 정의하기 용이해져, Red = 평형(0), Blue = 경계($\pm\pi$)인 ‘대칭 에너지-색상 스펙트럼’이 자연스럽게 도출된다. 이 체계는 기존의 D4-궤도 기반 3-색(‘QCD color’) 라벨과 충돌하지 않으며, 그 위에 별개의 ‘에너지 시각화 색(‘spectral color’)’ 층으로 얹힐 수 있어서 만들어 봤다. 이렇게 색으로 정의하면 눈으로 보기에 편할것 같아서 이렇게 만들어 봤다. 1. Qaether ..

해 질 녘의 산책길에서 만난 낯선 물리 아이디어는 나를 들뜨게 했지만, 곧이어 나에게 깊은 절망감을 안겨주었다. 오랫동안 손을 놔버린 물리학이라는 거대한 성벽 앞에서, 낡고 구식인 나의 두뇌는 너무도 이 아이디어를 수식화 하기에 너무도 빈약했다. 물론 물리학자의 삶을 살아온 것이 아니었기에 이런 낡은 두뇌르 갖게된 건 당연할지도 모른다. 하지만 내 머릿속엔 혼자만의 물리학 이론이 펼쳐지고 있는데, 그것을 기술할 수식 한 줄 적지 못하는 안타까움이 내 안에 가득했다. 그 순간 나는 1912년의 알베르트 아인슈타인을 떠올렸다. (내 아이디어가 아인슈타인의 것처럼 대단하다는게 아니다.)특수 상대성 이론으로 이미 거장의 반열에 올랐던 아인슈타인이었지만, 중력이 시공간을 휘게 한다는 자신의 직관을 수학적으로 증명..

제1장: 공간의 기하학적 구조1.1 FCC 접촉 네트워크의 3-복합체공리 1.1 (기본 셀 복합체)공간은 다음과 같은 3-차원 셀 복합체 $X$로 주어진다:$$X=(V,E,P,C_3)$$$V$: 0-셀 (사이트, Qaether 위치)$E$: 1-셀 (유향 링크). $i\to j$와 $j\to i$는 동일 접촉의 반대 방향$P=P_3\cup P_4$: 2-셀 (플라켓)$P_3$: 정삼각 플라켓 (3-셀의 면)$P_4$: 정사각 플라켓 (내부 구조 또는 기하학적 골격)$C_3$: 3-셀 (부피 셀) 1.2 혼합 3-셀 분해: 정팔면체 + 정사면체공리 1.2 (Tetra–Octa 혼합 분해)FCC 접촉 네트워크의 3-셀은 정팔면체와 정사면체로 혼합 분해된다:$$\boxed{C_3 = C_3^{(O)}\ \sq..

Qaether 이론: 배경 및 동기1. 현대 물리학의 근본적 딜레마: 연속체의 위기20세기 물리학은 두 개의 거대한 기둥 위에 세워졌다. 하나는 시공간을 매끄러운 연속체(continuum)로 서술하는 일반 상대성 이론이고, 다른 하나는 에너지와 작용의 불연속성을 전제로 하는 양자 역학이다. 두 이론은 각자의 영역에서 놀라운 성공을 거두었지만, 플랑크 척도($\ell_p \sim 10^{-35}$ m, $t_p \sim 10^{-44}$ s)에서는 양립 불가능한 모순에 직면한다.일반 상대성 이론은 시공간이 물질의 분포에 의해 휘어지는 동적인 무대라고 가르치지만, 그 무대 자체는 아무리 작은 규모에서도 매끄럽다고 전제한다. 반면 양자 역학은 모든 물리량이 근본적으로 이산적이며, 관측에 의해 확률적으로 결정된..