ℏ와ℏ_q 비교 (v0.8)

아래와 같이 단계별로 공액변수를 정의하고, 고전 Poisson 괄호에서 양자화된 교환 관계까지 차례로 유도하면, 자연스럽게 \(\hbar_q\)가 실제 플랑크 상수 \(\hbar\)와 동일해야 함을 확인할 수 있습니다.

 

1. 라그랑지언 작성 및 공액운동량 정의

1. 단일 셀 i의 자유 위상 운동항만 고려한 단순화된 Lagrangian:$$L_i \;=\; \frac{1}{2}\,I_i\,\dot\phi_i^2 \quad (I_i는 관성모멘트)$$
2. 공액운동량은$$\pi_i \;=\; \frac{\partial L_i}{\partial\dot\phi_i} \;=\; I_i\,\dot\phi_i \;=\; P_i$$즉, 이 이론에서 정의한 \(P_i\)와 일치합니다.

 

2. 고전 Poisson 괄호

고전 역학에서 위상 \(\phi_i\)와 공액운동량 \(\pi_j\)는

$$\{\phi_i,\;\pi_j\}_{\rm PB} \;=\; \delta_{ij}$$

나머지 Poisson 괄호는 모두 0으로 닫힙니다.

 

3. 양자화: 교환 관계 도입

양자화 규칙에 따라 Poisson 괄호 \(\{\,,\}\)를 \(\frac{1}{i\hbar_q}\) 곱의 교환 괄호 \([\,,]\)로 치환하면,

$$[\phi_i,\;\pi_j] \;=\; i\,\hbar_q\,\delta_{ij}$$

여기서 \(\hbar_q\)는 이 모델에서 루프 작용량 단위로 도입한 상수입니다.

 

4. 표준 양자역학과 매칭

표준 양자역학에서는 위치 x와 운동량 p에 대해

$$[x,\;p] \;=\; i\,\hbar$$

가 성립해야만 실험적으로 검증된 양자 효과(예: 불확정성 원리, 파동함수 위상 등)가 모두 일관되게 재현됩니다.

우리 이론의 위상–공액운동량 쌍 \((\phi_i,P_i)\)은 사실상 하나의 “일반화된 좌표–운동량” 쌍이므로, 동일한 구조를 가져야 합니다.
따라서

$$i\,\hbar_q \;\stackrel{!}{=}\; i\,\hbar \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\hbar_q = \hbar}$$

 

5. 결론

공액변수 양자화 절차 자체가 “\(\hbar_q\)”라는 작용량 단위를 갖고 출발하지만, 실험적으로 검증된 표준 교환 관계와 맞추려면 반드시 \(\hbar_q\)를 실제 플랑크 상수 \(\hbar\)와 동일시해야 함이 보입니다.