Qaether 연구일지

[Pre-print version] We present a unified lattice framework in which spin, electric charge, and color charge emerge from the topology of the face–centered cubic (FCC) lattice. The coexistence of triangular and square minimal loops in the FCC skeleton provides the minimal structure supporting both SO(3) parity and U(1) phase. A quaternionic SU(2) field at each site encodes spin orientation and loc..

수정의 이유: Qaether 이론에서는 기존 site에 쿼터니안을 배치하기로 했다. 그런 경우에는 순수 게이지가 되지 않기 때문에 이에 맞춰 수정했다. 단, 여기에는 아직 SU(3) 구조는 포함하지 않았다. 1) FCC 격자와 최소 루프기본 구조면심입방격자(Face-Centered Cubic, FCC)는 각 격자점이 12개의 최근접 이웃을 가지는 조밀한 3차원 격자다.중심을 \((0,0,0)\)으로 두면 최근접 이웃은 다음 좌표로 표현된다.\[(\pm1,\pm1,0),\ (0,\pm1,\pm1),\ (\pm1,0,\pm1)\]이 격자는 삼각형과 사각형 루프가 동시에 존재해, SO(3) 회전의 짝·홀 패리티와 U(1) 위상축을 모두 정의할 수 있는 최소 구조를 제공한다.최소 루프 (사이클 생성 집합)삼각 ..

사슬군과 경계사상 \(\partial_k\)이 실제로 어떻게 작동하는지 확인하기 위해 FCC 격자의 국소 단위체인 정팔면체(octahedron)를 예로 들어보자.1. 정팔면체의 셀 구조정팔면체는 다음으로 구성됩니다:꼭짓점(0–셀): 6개\[V=\{\pm x,\pm y,\pm z\}\]엣지(1–셀): 12개각 축 방향 쌍 사이를 잇는 선분들.예: \((+x,+y), (+x,-y), (+x,+z), (+x,-z), \dots\)면(2–셀): 8개 삼각형예: \(T_{+x,+y,+z}\)는 꼭짓점 \(+x,+y,+z\)로 이루어진 삼각면.체적(3–셀): 1개 (전체 정팔면체)즉,\[C_0 = \mathbb Z^6,\quadC_1 = \mathbb Z^{12},\quadC_2 = \mathbb Z^{8},\qu..

0. 표기·가정 (공통)\( G=(V,E) \): FCC 최근접결합 그래프 (주기경계).2–셀 \( F \):사면체의 삼각면 ( \(\Delta\) )octahedron의 사각면 ( \(Q\) ) — 대각 사각 루프.사슬군 및 경계사상\[C_2=\mathbb Z^F,\quad C_1=\mathbb Z^E,\quad \partial_2:C_2\to C_1.\]각 링크 \( e\in E \)에 위상차 \( \phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)라고 하면 위상사상 \( \Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)는\[\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \quad \text{ (모든 2–셀 경계의 위상합이 0) }\]한 엣지 \( e ..

FCC 격자와 이를 바탕으로 한 최소 결합 루프를 수학적으로 정의할 필요가 있다고 생각되어 다음과 같이 구조화를 진행한다. FCC 격자의 위상장(cochain) 구조격자 정의FCC 격자의 그래프를 다음과 같이 둔다. (여기서 \(V\)는 site(정점) 집합, \(E\)는 link(변) 집합이다.)\[G = (V, E)\]격자의 최소 닫힌 루프는 정삼각형과 정사각형 경계로 이루어진다.\[\mathcal{P} = \mathcal{P}_3 \cup \mathcal{P}_4\] 위상(cochain) 변수의 정의 각 site \(i \in V\)에는 위상을 둔다:\[\phi_i \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \qquad \text{(0-cochain)}\]각 link \(e = (i ..

A6. 색전하의 정의 (\(D_4\) 순환열 동치류) 0. 배경·기호(엄밀 정식화)격자와 체인 복합체FCC 최근접결합 그래프 \(G=(V,E)\) 위에 삼각/사각 최소루프를 2-셀로 붙인 2-스켈레톤 \(X\)를 잡는다. $$C_2=\mathbb Z^F, \quad C_1=\mathbb Z^E, \quad \partial_2:C_2\to C_1$$ 각 링크 \(e\in E\)에는 위상 \(\phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)를 두고, 모든 최소루프 \(f\)에 대해 \(\Phi(\partial_2 f)=0\)가 성립한다.이때 \(\Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)는 1-코사이클로 잘 정의된다. 링크 위상 양자화특정 링크 \(e\)의 동치류 \([e]..