Qaether 연구일지

제1장: 공간의 기하학적 구조1.1 FCC 접촉 네트워크의 3-복합체공리 1.1 (기본 셀 복합체)공간은 다음과 같은 3-차원 셀 복합체 $X$로 주어진다:$$X=(V,E,P,C_3)$$$V$: 0-셀 (사이트, Qaether 위치)$E$: 1-셀 (유향 링크). $i\to j$와 $j\to i$는 동일 접촉의 반대 방향$P=P_3\cup P_4$: 2-셀 (플라켓)$P_3$: 정삼각 플라켓 (3-셀의 면)$P_4$: 정사각 플라켓 (내부 구조 또는 기하학적 골격)$C_3$: 3-셀 (부피 셀) 1.2 혼합 3-셀 분해: 정팔면체 + 정사면체공리 1.2 (Tetra–Octa 혼합 분해)FCC 접촉 네트워크의 3-셀은 정팔면체와 정사면체로 혼합 분해된다:$$\boxed{C_3 = C_3^{(O)}\ \sq..

0. 목표 (비공식 진술)보이고 싶은 것은 다음과 같다.정리 (비공식)Qaether 이론에서 사용하는링크 위상 $\theta_\ell = \frac{\pi}{6}k_\ell$ ($k_\ell\in\mathbb Z_{12}$)플라켓 닫힘 조건 (flatness)국소 게이지 변환으로 정의된 “게이지 sector”가, 표준 $\mathbb Z_{12}$ lattice gauge theory (LGT)의 링크 변수, $\mathbb Z_{12}$ 게이지군, Wilson-type 국소 해밀토니안과 상태공간(구성 공간), 게이지군 작용과 gauge orbit, 국소 해밀토니안 및 윌슨 루프 관측량의 수준에서 동형이라는 것을 보인다.단, 여기서 동형성은 “zero-flux(flat) 섹터”에 대한 진술이며, 일반적 ..

FCC 격자와 이를 바탕으로 한 최소 결합 루프를 수학적으로 정의할 필요가 있다고 생각되어 다음과 같이 구조화를 진행한다. FCC 격자의 위상장(cochain) 구조격자 정의FCC 격자의 그래프를 다음과 같이 둔다. (여기서 \(V\)는 site(정점) 집합, \(E\)는 link(변) 집합이다.)\[G = (V, E)\]격자의 최소 닫힌 루프는 정삼각형과 정사각형 경계로 이루어진다.\[\mathcal{P} = \mathcal{P}_3 \cup \mathcal{P}_4\] 위상(cochain) 변수의 정의 각 site \(i \in V\)에는 위상을 둔다:\[\phi_i \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \qquad \text{(0-cochain)}\]각 link \(e = (i ..

0. 목표(Clay YM Mass Gap의 수학적 형태)문제정의: \(G=\mathrm{SU}(N)\) (주로 N=3) 4차원 순수 Yang–Mills에 대해, 격자 자외선 절단 \(a>0\)와 부피 절단 \(\Lambda(질량 갭) 어떤 비상수 게이지-불변 로컬 연산자 O 에 대해 $$\exists\,m>0,\,C(OS 복원 및 동치) OS 복원으로 얻는 물리 힐베르트공간 \(\mathcal H\)과 자가수반 해밀토니안 \(H\ge0\)이 존재하며, 진공 \(\Omega\)가 평행이동 불변·유일이고 에너지-운동량 스펙트럼이 원뿔 내부에 놓인다. 이때 (1)의 \(m>0\)은 \(\mathcal H\)에서의 스펙트럼 갭 $$\operatorname{spec}(H)\cap(0,m)=\varnothing$$..

1. 기본 전제와 변수정점 자유도: 단위 쿼터니안 \(q_i\in SU(2)\).링크: \(\Delta q_{ij}=q_j q_i^{-1}\).Hopf 섬유의 U(1) 위상각 \(\phi_i\)를 뽑아 \(w_i=e^{i\phi_i/2}\), 링크 \(\Delta w_{ij}=e^{i(\phi_j-\phi_i)/2}\)SU(3) 링크는 정적 색 배경 + 동적 글루온 형태:$$\Xi_{ij}=\exp\!\big[i\,C_{ij}\!\cdot\! \lambda\big]\,\exp\!\big[-ig_s A_{ij}\big]$$여기서 \(C_{ij}\)는 플라켓 미세배치(색 궤도; 아래 2.3)로부터 오는 Cartan 공간 벡터, \(A_{ij}\)는 글루온.자율형(재매개 불변) 작용의 시간자(라프스) \(E(..

1. 개요목표: Qaether 이론의 위상장 변수와 결합벡터를 이용해 격자상에서 U(1)·SU(3) 등의 게이지장을 정의하고, Wilson 작용을 통해 이론의 이산 격자판 버전을 세운다.핵심 전략Qaether 링크 위상의 최소 결합 형태로 게이지 링크 변수 도입폐회로(plaquette)에 대한 Wilson 루프 작용 정의연속극한에서 연속 게이지 이론(Lagrangian)을 복원 2. 링크 변수 정의Qaether 위상 총합링크 \(i\to j\) 에서의 총 위상차$$\Delta\phi_{ij}^{\rm tot} \;=\;\phi_j - \phi_i \;-\; q_e\,A_{ij}^{U(1)} \;-\; g\,\mathbf C_i\!\cdot\!A_{ij}^{SU(3)}$$격자 게이지 링크 변수이를 지수화하..