[v1.4] 기본가정 및 공리 - 질량과 중력의 창발

A3. 질량과 중력의 창발: 결합 압력 모델

1. 셀 면적 변수
   • 전체 빈 경계면 면적: \(\mathfrak A_s \approx \pi l_p^2\) (한 Qaether 셀의 외부 반사 가능한 면적)
   • 결합당 막히는 면적: $$\mathfrak A_b \ll \mathfrak A_s \; \Longrightarrow\; \alpha \;\equiv\; \frac{\mathfrak A_b}{\mathfrak A_s} \ll 1$$
2. 남은 반사 면적
   • 셀 \(i\)가 \(m_i\)개 결합했다면 $$\mathfrak A_i(m_i) = \mathfrak A_s - m_i\,\mathfrak A_b = (1 - \alpha\,m_i)\,\mathfrak A_s$$
   • FCC 격자 최대 \(m_i=12\)에서도 \(\alpha m_i\ll1\) 이므로 \(\mathfrak A_i>0\).
3. 진폭 계수 \(F_\star\): 링크-게이지불변 $$\boxed{\ F_\star(i)\;\equiv\;1-\frac{1}{z_i}\sum_{j\in\mathcal N(i)}\frac12\,\mathrm{Tr}\,U_{ij},\qquad U_{ij}\in SU(2),\ z_i=|\mathcal N(i)|\ (\text{FCC에서는 }12)\ . }$$ 소각 근사(링크 각 \(\theta_{ij}\)에 대해 \(\tfrac12\mathrm{Tr}\,U_{ij}=\cos\theta_{ij}\simeq 1-\tfrac12\theta_{ij}^2\)): $$\boxed{\ F_\star(i)\ \simeq\ \frac{1}{2z_i}\sum_{j\in\mathcal N(i)}\theta_{ij}^2 \ }$$ (필요 시 \(\theta_{ij}\)를 \(\Delta\phi_{ij}\)로 동일시해도 무방—정규화 일관성만 유지하면 됨.)
4. Qaether Cell \(i\)의 내부 위상 진동 에너지
   • Qaether의 파장은 플랑크 길이 \(l_p\)라고 가정하자.
   • 이를 기준으로 Qaether의 각주파수를 계산하면 \(\omega_q={2\pi c }/{l_p } \)이며 내부 위상 진동에너지는 $$E_q = \tfrac12 \hbar \omega_q = \hbar \frac{\pi c}{l_p}$$
   • 이걸 가지고 위상 에너지 밀도를 계산하면 $$u_{\phi} = \frac{E_q}{V_s} = \frac{\tfrac12 \hbar \omega_q}{\frac16\pi\,l_p^3} = \frac{6\hbar c}{l_p^4} $$
5. 기준 압력 \(p_0\)
   • 단위 면적당 100% 반사 시 받는 압력”을 정의하면 다음과 같다. $$p_0 = 2\,u_{\phi} \;=\; \frac{12\hbar c}{l_p^4}$$
   • 막힌 영역(\(m_i\,\mathfrak A_b\))에는 위상파가 닿지 않으므로 압력 0.
6. 국소 유효 압력
   • 경계층 유효 두께 \(\delta=\eta\,l_p\) (\(\eta\sim\mathcal O(1)\), 필요 시 \(0<\eta\le\tfrac12\) 제약): $$\boxed{\ P_i(m_i)=p_0\,\frac{\mathfrak A_i(m_i)}{\mathfrak A_s}\,F_\star(i) \;=\;p_0\,(1-\alpha m_i)\,F_\star(i). }$$
7. 압력→에너지 매핑과 질량(배경 차분 정의)
   • 저장 에너지: $$U_{\text{press}}(i)=P_i\,\mathfrak A_s\,\delta =p_0\,\mathfrak A_s\,\eta l_p\,(1-\alpha m_i)\,F_\star(i).$$
   • 균일 배경(관측 불가 진공) 대비 차분:$$\boxed{\ \Delta U_{\text{press}}(i)= -\,\alpha m_i\,p_0\,\mathfrak A_s\,\eta l_p\,F_\star(i) = -\,\alpha m_i\,\eta\,12\pi\,\frac{\hbar c}{l_p}\,F_\star(i) = -\,\alpha m_i\,\eta\,12\pi\,E_{\rm Pl}\,F_\star(i). }$$
   • 결합 1개당(균일 per-cell 기준) 바인딩:$$\boxed{\ \Delta U_{\text{bond}}^{(\mathrm{per\ cell})} =-\,\alpha\,\eta\,12\pi\,E_{\rm Pl}\,F_\star(i),\qquad E_{\rm Pl}=\frac{\hbar c}{l_p}. }$$
   • 따라서 셀의 유효 관성/정지질량: $$\boxed{\ m_{\rm eff}(i)=\frac{E_q+U_{\text{link}}(i)+\Delta U_{\text{press}}(i)}{c^2}, }$$
   • 여기서 \(U_{\text{link}}\)는 \(W_{ij}(\Delta\phi_{ij})\)등 링크/플라켓 기여. \(\Delta U_{\text{press}}<0\Rightarrow\) 결합 증가(\(m_i\uparrow\))는 정지에너지(관성질량) 감소 →바인딩 강화.
8. 응력-에너지 텐서(겉보기 유체형 근사, 등방 + 이방 보정)
   • 등방 근사: $$T^{00}_i \approx u_\phi\,(1-\alpha m_i)\,F_\star(i),\qquad T^{aa}_i \approx p_0\,(1-\alpha m_i)\,F_\star(i)\quad(a=1,2,3)$$
   • 이방 보정(결합 패치 법선\(\hat{\mathbf n}_e\)): $$\Delta T^{ab}_i \approx -\,p_0\,F_\star(i)\sum_{e\in\mathcal N(i)}\alpha\,n_e^a n_e^b$$
   • 결합 방향이 랜덤/균일이면 다음과 같이 등방 환원 $$\sum_e \alpha n_e^a n^b_e\simeq \tfrac{\alpha m_i}{3}\delta^{ab}$$
9. 국소 관성 모멘트
   • 관성 모멘트 \(I_i\)는 셀 내부 에너지가 반지름 \(r=l_p/2\)에 분포한다고 보고 정의할 수 있습니다.
     • 셀당 에너지: \(E_q = \tfrac{\pi \hbar c}{l_p}\).
     • 질량 대응: \(m_q = E_q/c^2 = \tfrac{\pi \hbar}{c l_p}\).
     • 구형 셀 반지름: \(r_q = l_p/2\).
   • 구형 구체의 관성 모멘트: $$I_i = \frac{2}{5} m_q r_q^2 = \frac{2}{5} \Bigl(\frac{\pi \hbar}{c l_p}\Bigr) \Bigl(\frac{l_p}{2}\Bigr)^2$$ 정리하면: $$\boxed{ I_i = \frac{\pi}{10}\,\frac{\hbar l_p}{c} }$$