[v1.4] 기본가정 및 공리 - 시간의 창발

A4. 시간의 창발 - 링크 \(\cdot\) 루프 동등성

4.1 원리 (Emergence of Time)

시간은 배경이 아니라 국소 활동량(activity) 으로부터 창발한다. 활동량이 클수록 해당 객체(셀·링크·루프)의 고유시간(proper time) 은 로렌츠형 지연

$$\gamma^{-1}=\sqrt{1-\beta^2}$$

을 따른다. 여기서 \(\beta\)는 “활동률”(무차원)이다.

4.2 링크와 루프 (게이지 불변 기하)

• 링크 $$ U_\mu(i)=\mathbf q_{i+\hat\mu}\mathbf q_i^{-1}\in SU(2) $$
• 최소 루프(플라켓): $$ U_{\square}=\prod_{(i,j)\in\square} U_{ij},\qquad \Theta_{\square}=\arccos\!\Big(\tfrac12\mathrm{Tr}\,U_{\square}\Big) $$
• 임의 루프(홀로노미): $$ W(C)=\prod_{e\in C} U_e \in SU(2),\qquad \Theta_C=\arccos\!\Big(\tfrac12\mathrm{Tr}\,W(C)\Big) $$
• 성질: \(\Theta_C\)는 \(W(C)\)의 켤레불변량이며, ELT공리로 같은 \(\Theta\)를 갖는 루프들은 같은 고유시간을 정의한다. (삼각·사각의 모양과 링크 수에 무관)
• 관계: 플라켓은 가장 작은 루프의 특수한 경우이며,
    \[
    U_{\square}=W(C_{\square}),\qquad 
    \Theta_{\square}=\Theta_{C_{\square}}.
    \]
    따라서 일반 루프 시간 정의는 플라켓 시간 정의와 일관되게 확장된다.

4.3 활동률의 두 층위: 링크 vs 루프

(a) 링크-기반 활동률 (국소 기준)

• 개별 링크의 \(\mathrm{Tr}\,U_e\)는 일반 게이지변환에서 불변이 아니므로, 해당 링크를 포함하는 최소 폐루프(플라켓) 기반의 게이지불변 국소 각도로 교체합니다. 한 링크 e에 대해 \(\mathcal P(e)\)를 e를 공유하는 최소 플라켓들의 집합이라 할 때, $$ \boxed{\; \Theta_e^{\rm (GI)} \;:=\; \Bigg(\frac{\sum_{\square\ni e} \omega_\square \Theta_\square^2}{\sum_{\square\ni e} \omega_\square}\Bigg)^{\!1/2}, \qquad \Theta_\square:=\arccos\!\Big(\tfrac12\,\mathrm{Tr}\,U_\square\Big) \;}$$
• 활동률과 링크 고유시간은 $$ \boxed{\; \beta_e=\tanh\!\Big(\kappa_1\,\frac{\Theta_e^{\rm (GI)}}{\pi}\Big), \qquad d\tau_e=t_p\sqrt{1-\beta_e^2} \;}$$
• 여기서 \(t_p\)는 그래프 동기화용 기준시간(basis time)이며 좌표시간(측정 시각)은 “링크 하나당 \(t_p\) ”로 셈한다.

(b) 루프-기반 활동률 (물리적 루프 시간)

$$\beta_C=\tanh\!\Big(\kappa_C\,\frac{\Theta_C}{\pi}\Big),\qquad \kappa_C\ge 1$$

루프 고유시간(물리적, 모양 불변):

$$\boxed{T_{\rm loop}(C) \;=\; t_p\,\sqrt{\,1-\beta_C^2\,}}$$

(필요하면 \(t_p\to t_*=\xi\,t_p\)로 보정 가능. \(\xi\)는 전역 캘리브레이션 상수. \(\kappa_C=\zeta\,\kappa_1 (\zeta\approx 1)\))

4.4 루프-동등성 공리 (ELT) — 삼각 = 사각

$$\boxed{\textbf{(ELT)}\quad \Theta_{C_1}=\Theta_{C_2}\ \Rightarrow\ T_{\rm loop}(C_1)=T_{\rm loop}(C_2)}$$

• \(\Theta\)만 같으면 \(T_{\rm loop}\)은 동일: 같은 위상결함 크기 \(\Theta\)를 가지는 모든 단순 폐곡선(삼각·사각·기타)은 한 바퀴 시간이 동일하다. → “루프 시간은 모양/링크수와 무관, 오직 W(C)의 켤레불변량 \(\Theta_C\)에만 의존.”

4.5 좌표시간 vs 고유시간 (역할 분리)

$$\boxed{\; \tau[\gamma]=\sum_{e\in\gamma} t_p\,\sqrt{1-\beta_e^2}, \qquad \beta_e=\tanh\!\Big(\kappa_1\,\frac{\Theta_e^{\rm (GI)}}{\pi}\Big) \;}$$

4.6 셀/블록의 유효 고유시간

셀 i에서 게이지·중력·로터를 합친 합성 활동량

$$\mathcal A_i^2 =\;c_F\!\Big(\tfrac{\|\mathcal F_i\|}{\Omega_F}\Big)^2 +c_R\!\Big(\tfrac{\|F_\star(i)\|}{\Omega_R}\Big)^2 +c_\Omega\!\Big(\tfrac{\|\nabla \mathbf q_i\|}{\Omega_\Omega}\Big)^2$$ $$\beta_i=\tanh(\kappa\,\mathcal A_i),\qquad d\tau_i=t_p\sqrt{1-\beta_i^2}$$

블록 B의 유효시간(압력 가중 평균, A3 연계):

$$\boxed{\Delta T_{\rm eff}(B)=\frac{\sum_{i\in B} P_i\,d\tau_i}{\sum_{i\in B} P_i}},\quad P_i=p_0(1-\alpha m_i) F_\star(i) $$ $$ P_i\ge 0\ \ (0\le \alpha m_i<1,\ F_\star\ge 0)$$

4.7 YM 작용과의 연계 (국소 결합의 재해석)

국소 곡률/압력에 의해 모듈레이션만 되고, 진공에서 결합이 사라지지 않도록 기준 결합항을 포함합니다:

$$\boxed{\; \mathcal L_{\rm YM}(i)=\frac{1}{2\,g_{\rm eff}^2(i)}\,\mathrm{Tr}\,[\mathcal F_{\mu\nu}(i)\mathcal F^{\mu\nu}(i)], \qquad \frac{1}{g_{\rm eff}^2(i)} = \frac{1}{g_0^2} +\tilde\lambda\,(1-\alpha m_i)\,F_\star(i) \;}$$

여기서 \(g_0\)는 기준 결합(배경), \(\tilde\lambda\)는 국소 재규격화 강도를 설정하는 상수입니다.

4.8 분지 연속성·수치 안정성

루프/링크의 로그는 주분지(\(|\theta|\le\pi\))를 기본으로, 시간 전개 시 최근접 분지 추적(\(\mathrm{Log}_{\min}\))을 사용해 불연속 점프를 방지한다. 포화 비선형은 \(⁡\tanh\) 권장(선형 대안 가능).

4.9 정합성 체크 (요점)

1. 삼각=사각: \(\Theta_C\)만 같으면 \(T_{\rm loop}\)가 동일(ELT 만족).
2. 게이지 불변성: W(C)의 켤레불변 \(\Theta_C\)만 사용.
3. 좌표 vs 물리: \(t_p\)는 동기화(그래프 기반), 지연은 \(\beta\)가 결정(물리 기반).
4. 연속극 수렴: \(a\to0\)에서 \(\mathcal F_{\mu\nu}\to F_{\mu\nu}\), 루프-시간은 장세기의 국소 불변량으로 수렴.

한줄 요약

“시간은 링크-기준의 동기화로 재고(좌표), 실제 지연은 루프/셀의 활동률로 정해진다. 같은 위상결함을 두른 삼각·사각 루프는 한 바퀴 고유시간이 반드시 같다.”

 

 

보강 설명: 파인만 경로적분 방식과의 동형성

본 문서에서 제시된 유효시간 정의는 링크/루프의 게이지불변 위상각 \(\Theta\)에 기초하여

$$d\tau = t_p\sqrt{1-\beta^2}, \qquad \beta = \tanh\!\Bigl(\kappa\,\tfrac{\Theta}{\pi}\Bigr)$$

형태로 주어진다.

이는 파인만 경로적분 방식으로 유도해도 본질적으로 동일하다.
경로적분에서의 Jacobi형 작용

$$S_J[\gamma] = \int d\lambda\, \sqrt{2(E_{\rm tot}-U_{\rm eff})}\;\sqrt{\tfrac{ds_{\rm conf}^2}{d\lambda^2}}$$

을 도입하면, 정상위상 조건에서

$$d\tau_{\rm eff} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\frac{\sqrt{ds_{\rm conf}^2}}{\sqrt{E_{\rm tot}-U_{\rm eff}}}$$

이 얻어진다.

여기서 \(ds_{\rm conf}^2\)는 실제로 루프/링크 위상각 \(\Theta\)들에 의해 결정되므로, 두 정의는 모두

• 게이지 불변량(holonomy의 켤레불변량)에만 의존하며,
• 최종적으로 로렌츠형 감속인자 \(\sqrt{1-\beta^2}\) 꼴의 시간 지연을 준다.

따라서 경로적분적(파인만) 정의와 본 문서의 활동률 기반 정의는 수학적으로 동형이다. 차이는 단지 해석적 출발점—하나는 “국소 활동량→시간 지연”, 다른 하나는 “경로적분→stationary phase”—에 있을 뿐이다.