[v1.3] 기본 가정 및 공리

* 본 Qaether 이론은 실험적으로 검증되지 않은 유사 물리학 이론임을 미리 밝힙니다. 현재 업데이트 하는 중이라 수시로 수정될 수 있음을 알려드립니다.

 

도입: 이론의 핵심 철학 및 개요

1. 우주는 어떠한 물리적 자유도나 경계조건이 전혀 정의되지 않는 완전한 공허(Void) 속에, 반지름 \(l_p\)인 불연속 최소단위 공간 Qaether들이 면심입방(FCC) 구조로 암묵적 접촉 관계(contact)로 배치된 비가환 위상 네트워크(quaternion phase network)로 이해된다. 모든 물리 법칙(입자·장·중력)은 오직 Qaether 정점 간의 링크 변수와 그로부터 유도되는 holonomy 및 곡률로부터 나온다.
2. 각각의 Entity를 정의해 본다면 다음과 같다
   • Void는 변수·메트릭·경계조건이 전혀 존재하지 않는 순수 무(無)를 뜻한다. 좌표·거리·시공간 구조를 일절 제공하지 않으며, 오직 Qaether 사이의 맞닿음(contact) 관계만을 배경으로 삼는다.
   • Qaether는 물리적 최소단위 3‑ball \(B^3(l_p)\), 반지름 \(l_p\)를 가지며 내부 자유도는 단위 쿼터니안 \(\mathbf q_i\in SU(2)\cong S^3\)로 통합되어 스핀·게이지 위상·토폴로지적 결함을 내재한다. 셀 내부 정상파 모드는 별도 장장의 최소 고유모드로 정의하며, 그 zero‑point energy \(E_0=\tfrac12\hbar\omega_0\)로 해석.
   • 그래프 기반 상호작용은 다음과 같이 정의한다.
     • 정점 \(V=\{i\}\): 각 Qaether 인덱스.
     • 간선 \( E=\{(i,j)∣\text{i와 j번 Qaether가 물리적으로 접촉(contact)}\} \).
     • 링크 변수 \(\Delta\mathbf q_{ij}=\mathbf q_j\,\mathbf q_i^{-1}\)는 맞닿은 셀 사이에만 정의.
     • 모든 작용(action)과 양자화 조건은 링크 변수 및 plaquette holonomy로부터 유도.

 

A1. 근본 실체: Void와 Qaether (\(S^3\))

1. Void
   • Void는 이론 전개에 직접 관여하지 않으며, 오직 Qaether 간 접촉 정보만을 암묵적 배경으로 제공한다. 즉, 변수·메트릭·경계조건이 전혀 없는 순수 배경
   • 역할: Qaether 그래프의 무(無) 배경; 좌표·거리 개념 배제.
2. Qaether 셀: 물리적 형상과 내부 위상공간

구분	수학적 표현	설명
물리적 볼륨	$$B^3(l_p)$$	반지름 \(l_p\)의 3‑ball. FCC 배열의 구성 단위.
내부 위상공간	$$ S^3\cong SU(2)_{int} $$	단위 쿼터니안 \(\mathbf q_i\)로 스핀·게이지 위상을 통합.
쿼터니안 변수	$$ \mathbf q_i = n_i^0 + n_i^1\mathbf i + n_i^2\mathbf j + n_i^3\mathbf k,\;\sum (n_i^a)^2=1 $$	회전각 \(\phi_i\)와 회전축 \(\mathbf n_i\)로 분해 가능: $$\mathbf q_i=\cos\frac{\phi_i}{2}+\sin\frac{\phi_i}{2}\,\mathbf n_i\cdot(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k)$$

1. • 정상파 모드
     • 셀 내부에 형성되는 정상파는 별도 스칼라장(또는 텐서장)의 최소 고유모드로 정의.
     • 고유진동수 \(\omega_0\)에 대응하는 zero‑point energy \(E_0=\tfrac12\hbar\omega_0\).

 

A2. 공간 구조: 그래프·링크·곡률

1. 격자 그래프 정의
   • 정점 집합:$$V = \{\,i\mid i \text{는 Qaether 인덱스}\}$$
   • 간선 집합:$$E = \{(i,j)\mid \text{\(i\)와 \(j\)번 Qaether가 물리적으로 접촉(contact)}\}$$
     • 접촉 조건: 반지름 \(l_p\)인 두 3‑ball이 맞닿을 때 중심 간 간격이 자연스럽게 \(2l_p\)가 됨.
     • Void는 좌표·거리 개념을 제공하지 않으며, 그래프는 오직 접촉 관계만으로 구성된다.
2. 정점·링크 변수
   • 게이지 변환 불변성:$$\mathbf q_i\to g_i\,\mathbf q_i,\quad \Delta\mathbf q_{ij}\to g_j\,\Delta\mathbf q_{ij}\,g_i^{-1}$$

     항목	정의	설명
     정점 변수	$$\mathbf q_i\in SU(2)$$	각 셀 내부의 단위 쿼터니안
     링크 변수	$$\Delta\mathbf q_{ij}=\mathbf q_j\,\mathbf q_i^{-1}$$	맞닿은 두 셀 간 상대적 위상차 (비가환 SU(2) 요소)

3. 작용과 양자화 조건
   • 링크 작용$$S_{\mathrm{link}} = \sum_{(i,j)\in E} f\bigl(\Delta\mathbf q_{ij}\bigr), \quad f(U) = -\frac{1}{g^2}\Re\operatorname{Tr}(U)$$
   • 회전각 양자화
     • FCC 대칭 및 에너지 최소화로, \(\Delta\phi_{ij}\)를 \(\Delta\phi_{ij} = n\,\frac{\pi}{6},\quad n\in\mathbb{Z}\)형태로 제한 가능.
4. Plaquette holonomy와 곡률
   • 연속극한에서 \(U_{\square}\approx e^{iF_{\mu\nu}a^2}\) 형태로 바꾸어, 전통적 곡률 \(F_{\mu\nu}\)와 연결할 수 있다.

     항목	정의
     Plaquette	네 개의 링크로 이루어진 최소 폐회로 \(\square\)
     Holonomy	$$U_{\square} = \prod_{(a,b)\in\square} \Delta\mathbf q_{ab}$$
     곡률 척도	$$\theta_{\square} = \arccos\!\bigl(\tfrac12\operatorname{Tr}\,U_{\square}\bigr)$$

 

A3. 질량과 중력의 창발: 결합 압력 모델

1. 셀 면적 변수
   • 전체 빈 경계면 면적: \(\mathfrak A_s \approx 4\pi l_p^2\) (한 Qaether 셀의 외부 반사 가능한 면적)
   • 결합당 막히는 면적: $$\mathfrak A_b \ll \mathfrak A_s \; \Longrightarrow\; \alpha \;\equiv\; \frac{\mathfrak A_b}{\mathfrak A_s} \ll 1$$
2. 남은 반사 면적
   • 셀 \(i\)가 \(m_i\)개 결합했다면 $$\mathfrak A_i(m_i) = \mathfrak A_s - m_i\,\mathfrak A_b = (1 - \alpha\,m_i)\,\mathfrak A_s$$
   • FCC 격자 최대 \(m_i=12\)에서도 \(\alpha m_i\ll1\) 이므로 \(\mathfrak A_i>0\).
3. 위상 진폭 (=에너지밀도 계수)  $$\bigl|\Im(\mathbf{q}_i)\bigr| = \sin\!\Bigl(\tfrac{\phi_i}{2}\Bigr) \;\in[0,1]$$
4. Qaether Cell \(i\)의 내부 위상 진동 에너지 
   • Qaether의 파장은 플랑크 길이 \(l_p\)의 정수배(\(n_q\))라고 가정하자.
   • 이를 기준으로 Qaether의 각주파수를 계산하면 \(\omega_q={2\pi c }/{n_q l_p } \)이며 내부 위상 진동에너지는 $$E_q = \tfrac12 \hbar \omega_q = \hbar \frac{\pi c}{n_q l_p}$$
   • 이걸 가지고 위상 에너지 밀도를 계산하면 $$u_{\phi} = \frac{E_q}{V_s} = \frac{\tfrac12 \hbar \omega_q}{\frac43\pi\,l_p^3} = \frac{3\hbar c}{4n_ql_p^4} \sim 3.45 \times 10^{113} \, \text{J/m}^3 = 2.15 \times 10^{123} \text{GeV/m}^3 \quad (\text{if } n_q=1)$$
   • 따라서 내부 위상 모드는 \(n_q\)에 따라 에너지 스펙트럼이 계층화됩니다.
5. 기준 압력 \(p_0\)
   • 단위 면적당 100% 반사 시 받는 압력”을 정의하면 다음과 같다. $$p_0 = 2\,u_{\phi} \;=\; \frac{3\hbar c}{2n_ql_p^4}$$
   • 막힌 영역(\(m_i\,\mathfrak A_b\))에는 위상파가 닿지 않으므로 압력 0.
6. 국소 유효 압력 $$\boxed{ P_i(m_i,\phi_i; n_q) = p_0(n_q) \;\frac{\mathfrak A_i(m_i)}{\mathfrak A_s} = p_0(n_q)\,(1 - \alpha\,m_i) }$$
   • \(m_i=0,\;\phi_i=\pi\) 시 최대 \(P_i=p_0(n_q)\).
7. 표면 질량-면밀도
   • 플랑크 두께 \(l_p\)를 “thick-to-thin” 인자로 취하여 $$\rho(n_q)= \frac{p_0(n_q)\,l_p}{c_{\rm eff}^2}, \quad c_{\rm eff}\simeq c$$
   • 단위: 질량/면적
8. 국소 관성 모멘트
   • 열려 있는 면적 \(\mathfrak A_i(m_i)\)에서만 \(\rho\)가 작용하므로 $$I_i(m_i) =\int_{\mathfrak A_i(m_i)}\!\rho(n_q)\,r^2\,dA \;\approx\; \frac{p_0(n_q)\,l_p}{c^2}\;l_p^2\,\mathfrak A_i(m_i) =\frac{p_0(n_q)\,l_p^3}{c^2}\,(1-\alpha m_i)\,\mathfrak A_s$$ \(m_i=0\) 일 때 $$I_0 = \frac{p_0(n_q)\,l_p^3}{c^2}\,\mathfrak A_s = \frac{3\hbar}{2n_ql_p c}\,\mathfrak A_s$$ 따라서 $$\boxed{I_i(m_i;n_q) = I_0(n_q)\,(1 - \alpha\,m_i),}$$ \(\alpha\ll1,\;m_i\le12\) 이므로 1차 근사 정확도 <1%.

 

A4. 유효 시간의 정의

Qaether 이론에서 시간은 절대적인 배경이 아니라, Qaether 격자 필드의 국소적인 동역학적 변화로부터 창발(emerge)하는 물리량. 즉, 필드의 '활동량'이 시간의 흐름 속도를 결정하며, 이는 아인슈타인의 상대성 이론과 자연스럽게 연결.

1. 국소 장(Field)의 변화량 측정: 게이지 불변 속도
   • 핵심 아이디어: 한 Qaether 셀(\(i\))이 주변 셀들과 얼마나 다른 위상(쿼터니언)을 갖는지가 그 셀의 '활동량' 또는 '국소 속도'에 해당합니다.
   • 격자 미분: 이 변화량을 측정하기 위해, 이웃 셀 간의 상대 위상차 \(\Delta \mathbf{q}_{ij} = \mathbf{q}_j \mathbf{q}_i^{-1}\)를 이용해 격자 위에서의 미분 \(\nabla_\mu \mathbf{q}_i\)를 정의. $$\nabla_\mu \mathbf{q}_i = \frac{1}{4l_p}\bigl[\log(\Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i}) - \log(\Delta \mathbf{q}_{i-\mu,i})\bigr] = \frac{1}{4l_p} \left[ \log(\mathbf{q}_{i+\mu} \mathbf{q}_i^{-1}) - \log(\mathbf{q}_{i-\mu} \mathbf{q}_i^{-1}) \right]$$
   • 여기서 \(\log\)는 SU(2) 군(group)의 원소(회전)를 해당하는 리 대수(Lie algebra)의 원소(회전축-각 벡터)로 변환하여, 벡터처럼 크기를 계산할 수 있게 해주는 수학적 도구$$\log(\mathbf{q}_{i+\mu} \mathbf{q}_i^{-1}) = i\,\mathbf{n}_{i+\mu,i}\, \frac{\phi_{i+\mu,i}}{2}$$
   • 행렬 로그 취할 때, \(\Delta \mathbf{q} \)의 회전축·각(\(\phi\))를 복원한 뒤 principal branch \(\phi\in(-\pi,\pi]\)로 자동 조정하여 \(\pm2\pi\) 불연속을 제거.
2. 게이지 불변성/물리적 해석
   • 정의된 격자 미분은 국소 게이지 변환 (\(\mathbf{q}_i \;\to\; g_i \mathbf{q}_i \;\Longrightarrow\; \Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i}\to g_{i+\mu}\,\Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i}\,g_i^{-1}\))에 대해 공변적(covariant)으로 변환: $$\log(\Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i})\to g_{i+\mu}\,\log(\Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i})\,g_i^{-1}$$
   • 하지만 이 양의 노름(norm)을 취하면, 행렬의 대각합(Trace)의 순환 대칭성$$\mathrm{Tr}(ABC)=\mathrm{Tr}(CAB)$$에 의해 게이지 변환 인자가 사라진다. 따라서 노름 자체는 게이지 불변이며, 물리적으로 의미있는 측정량이다. \(\log(\Delta q)\)의 크기는 두 셀 간의 실제 위상 변화량을 나타내므로, 이 값은 국소 곡률, 토션(torsion), 에너지 밀도 등 다른 물리량과 직접적으로 연결된다.
3. 게이지 불변 '속도'의 크기
   • 이 격자 미분의 총 크기를 모든 방향(\(\mu\))에 대해 합산하여 국소적인 변화량의 총합, 즉 '속도'의 크기 \(|\mathbf{v}_i|\)를 계산. 이는 아래의 노름(norm) 계산을 통해 얻어지며, 중요한 점은 이 값이 게이지 변환에 대해 불변(gauge invariant)이라는 것. 따라서 물리적으로 의미 있는 측정량. $$\|\nabla \mathbf{q}_i\|= \sqrt{\sum_\mu -\tfrac12\mathrm{Tr}((\nabla_\mu \mathbf{q}_i)^2)}$$ $$ \frac{\|\mathbf{v}_i\|}{c} \equiv \beta_i = \frac{\|\nabla \mathbf{q}_i\|}{\Omega_0}, \quad \text{단, } \Omega_0 = \frac{\pi}{2l_p}$$
   • \(\Omega_0\)는 플랑크 길이당 발생할 수 있는 최대 위상 변화율을 나타내는 이론의 기본 상수입니다. \(\beta_i\)는 0과 1 사이의 값을 갖는 무차원 속도.
4. 고유 시간 간격과 로렌츠 인자
   • 시간 팽창: 국소 속도 \(\beta_i\)가 결정되면, 상대성 이론과 동일한 형태의 로렌츠 인자 \(\Gamma_i\)가 자연스럽게 정의.$$ \Gamma_i = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_i^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\|\nabla \mathbf{q}_i\|^2}{\Omega_0^2}}}$$
   • 고유 시간 간격(Proper Time Interval): 각 Qaether 셀이 경험하는 최소 시간 단위, 즉 고유 시간 간격는 플랑크 시간\(t_p\)을 이 로렌츠 인자로 나눈 값.$$\boxed{ d\tau_i = \frac{t_p}{\Gamma_i} = t_p \; \sqrt{1 - \frac{\|\nabla \mathbf{q}_i\|^2}{\Omega_0^2}} }$$
   • 물리적 해석:
     • 정지 상태 (IR 극한): 주변과 위상 변화가 없는 셀(\(|\nabla q_i| \to 0\))은 \(\beta_i \to 0, \Gamma_i \to 1\)이 되어, 고유 시간은 플랑크 시간과 같아짐 (\(d\tau_i \to t_p\)). 이는 거시 세계의 정지한 관찰자에 해당.
     • 최대 속도 (UV 극한): 위상 변화가 극심한 셀(\(|\nabla q_i| \to \Omega_0\))은 \(\beta_i \to 1, \Gamma_i \to \infty\)가 되어, 고유 시간의 흐름이 거의 멈춤 (\(d\tau_i \to 0\)).이는 빛의 속도에 가까워질수록 시간이 느려지는 현상을 재현하며, 이론에 자연스러운 자외선 절단(UV cutoff)을 제공.
5. 거시적 시간의 구성
   • 블록 유효시간: 여러 Qaether 셀로 구성된 영역(블록 B)의 평균적인 시간 흐름은 각 셀의 고유 시간을 평균하여 얻어짐. $$ \Delta T_{\rm eff}(B) = \frac{1}{|B|} \sum_{i \in B} d\tau_i$$
   • 전역 좌표 시간: 기준점으로부터 경로를 따라 각 링크의 시간 지연(\(\delta t_{ij} = \frac{l_p}{c} \Gamma_{ij}\))을 적분함으로써, 전체 격자에 대한 일관된 전역 좌표 시간을 구성. 이는 일반 상대성 이론에서 시공간의 각 지점마다 시간의 흐름이 다른 것을 이산적으로 구현한 것과 같음.
   • 전역(좌표)시간
     • 쿼터니언 링크(ij)에 대해 $$\delta t_{ij} = \frac{l_p}{c}\,\Gamma_{ij}, \qquad \Gamma_{ij} = \tfrac12 (\Gamma_i + \Gamma_j)$$
     • 경로 상 총 왕복 시간 $$t_{r\leftrightarrow i} = 2\sum_{\text{path } r\to i} \delta t_{jk}$$
     • 셀 \(i\)의 전역 좌표시간 $$t_i = \tau_r + \tfrac12\,t_{r\leftrightarrow i}, \quad \tau_r\text{은 기준점 r의 누적 고유시간}$$

 

A5. 스핀(Spin)의 정의 – SU(2) 스피너·홀로노미 관점

스핀은 Qaether 격자의 SU(2) 스피너가 폐곡선을 따라 병렬 수송될 때 생성되는 홀로노미가 ±1로 나타내어 보손과 페르미온을 구분하는 위상적 자유도이다.

1. 내부 자유도: SU(2) 회전 연산자로서의 쿼터니언
   • A1의 쿼터니언 표기를 SU(2) 매트릭스 표현하면 $$\mathbf{q}_i = \cos\!\frac{\phi_i}{2}\,\mathbb I + i\,\sin\!\frac{\phi_i}{2}\,\bigl(\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\bigr) = \exp\!\Bigl[i\,\tfrac{\phi_i}{2}\,\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\Bigr]$$
     • \(\mathbf{n}_i\in S^2\): 회전축(unit vector)
     • \(\phi_i\in[0,2\pi)\) : 회전각
     • \(\sigma^a (a=1,2,3)\) : Pauli 행렬
   • 스피너 작용
     • 2성분 복소 스피너 \(\psi_i\in\mathbb C^2\)에 \(\psi_i \;\mapsto\; \mathbf{q}_i\,\psi_i\)로 작용. 이때 \(\mathbf{q}_i\)는 로컬 회전을 수행하는 연산자.
2. 스피너의 병렬 수송 (Parallel Transport) 과 링크 위상차
   • A2의 링크 위상변수정의에 따라 병렬 수송 법칙을 정의하면
     • 셀 \(i\)의 스피너 \(\psi_i\)가 이웃 \(j\)로 전송될 때 \(\psi_j = \Delta\mathbf{q}_{ij}\,\psi_i\)
     • 이 과정이 격자 전역에 걸쳐 일관되게 연결(parallelism)을 유지해야 물리적으로 모순이 없다.
   • 리 대수와 회전각 $$\Delta\mathbf{q}_{ij} = \exp\bigl[i\,\tfrac{\theta_{ij}}{2}\,\mathbf{m}_{ij}\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\bigr]$$
     • 여기서 \(\theta_{ij}\)는 회전각, \(\mathbf{m}_{ij}\)는 회전축.
3. 홀로노미(Holonomy)와 스핀 통계
   • 홀로노미 정의 $$\mathbf{q}_\ell = \prod_{(ij)\in\ell}^{\to}\Delta\mathbf{q}_{ij}, \quad \ell: \text{격자 상의 닫힌 경로}$$
   • SU(2)–SO(3) 이중 피복
     • SU(2) 매트릭스 \(\pm\mathbb I\) 만이 SO(3) 정체(identity)에 대응
     • \(\mathbf{q}_\ell = +\mathbb I\) 또는 \(-\mathbb I\)
   • 통계 판별 $$\mathbf{q}_\ell = \begin{cases} +\mathbb I, & \psi(\ell)= +\psi \quad(\text{보손 / 정수 스핀})\\ -\mathbb I, & \psi(\ell)= -\psi \quad(\text{페르미온 / 반정수 스핀}) \end{cases}$$
     • 보손: 스피너가 \(2\pi\) 회전 → 위상 +1
     • 페르미온: 스피너가 \(2\pi\) 회전 → 위상 -1
4. 스핀‑\(\tfrac12\) 구현: 최소 꼬인 루프
   • 꼬인 루프 조건
     • 루프 \(\ell\)에서 $$\mathbf{q}_\ell = -\mathbb I \quad\Longleftrightarrow\quad \prod_{(ij)\in\ell}^{\to} \; exp[i \tfrac{\theta_{ij}}2\; \mathbf{m}_{ij}\cdot \mathbf{\sigma} ] = -\mathbb I$$
   • 물리적 해석
     • 이 루프 하나가 페르미온의 스피너 구조를 형성.
     • 예: 삼각형 또는 사각형 루프가 될 수 있으며,각각의 링크 회전각 \(\theta_{ij}\) 합이 정확히 \(2\pi\)여야 함.
   • 쿼크·렙톤 분류
     • 추가로 Y‑패턴 색결합을 포함하면, 스피너 루프에 색전하가 결합되어 쿼크가 됨.
     • 순수 꼬인 루프만 있으면 렙톤.
5. 추가: 스핀 연산자와 기대값
   • 스핀 연산자 $$\hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2}\,\boldsymbol{\sigma}$$
   • 벡터 기대값 (Bloch 벡터) $$\langle \mathbf{S} \rangle_i = \psi_i^\dagger\,\hat{\mathbf{S}}\,\psi_i = \frac{\hbar}{2}\,\psi_i^\dagger\,\boldsymbol{\sigma}\,\psi_i \;\equiv\; \frac{\hbar}{2}\,\vec s_i$$
     • \(\vec s_i\in\mathbb R^3\)는 관측 가능한 스핀 방향
     • 그러나 통계(± 부호)는 홀로노미 \(\mathbf{q}_\ell\)에 의해 결정되고, \(\vec s_i\)만으로는 구분 불가.

 

A6. 전하의 정의

1. U(1) 위상 변수 도입
   • 각 셀 \(i\)가 지니는 SU(2) 쿼터니언 \(\mathbf{q}_i\in SU(2)\simeq S^3\)에서, 최대 토러스–Hopf fibration 관점으로  \(S^3→S^2\)의 fiber \(S^1\) 자유도만을 추출. 즉, 내부 위상각 \(\phi_i\in(-\pi,\pi]\)만을 떼어내어 U(1) 변수로 사용. 이 U(1) 부분군은 SU(2) 카르탄 부분대수에 해당하며, 전하 창발에 필요한 Abelian 게이지 자유도를 제공 : $$w_i \;=\; e^{\,i\phi_i/2}, \quad \phi_i\in(-\pi,\pi]$$
   • 설명:
     • \(\phi_i\)를 \((-\pi,\pi]\)로 두면 \(+\pi \to -\pi\) 구간에서만 분기(cut)가 발생하므로, unwrap 알고리즘이 단순해짐.
     • \(w_i\) 정의에서 반회전(1/2)을 취한 이유는 SU(2)→SO(3) 이중 피복을 고려하여, 스피너의 위상 변화가 \(2\pi\) 회전에 대응하도록 맞추기 위함입니다.
2. 링크 변수 정의
   • 두 이웃 셀 \(i,j\) 사이의 U(1) 링크 변수는 $$ \Delta w_{ij} \;=\; w_j\,w_i^{-1} \;=\;\exp\!\Bigl[i\,\frac{\phi_j-\phi_i}{2}\Bigr] \;=\;e^{\,i\,\Delta\phi_{ij}/2}$$
   • 여기서 \(\Delta\phi_{ij} = \phi_j - \phi_i\)
     • principal branch: \(\Delta\phi_{ij} \in (-\!\pi,\pi]\)
     • Unwrap: 루프 합산 시 인접 \( \Delta\phi_{ij} \)차이가 \(\pm\pi\)초과 시 \(\pm2\pi\) 보정
3. 닫힌 루프 전하 (winding)
   • 격자 위 임의의 닫힌 2D 루프 \(\ell=\{(i_1,i_2),\dots,(i_N,i_1)\}\)에 대해 $$\Phi_\ell = \sum_{(i_k,i_{k+1})\in\ell} \arg \Delta w_{i_k,i_{k+1}} = \sum_{(ij)\in\ell} \frac{\Delta\phi_{ij}}{2}$$
   • 이 값이 \(2\pi\,n_\ell\)만큼 감겨 있으면 \(n_\ell = \frac{\Phi_\ell}{2\pi} \in\mathbb{Z}, \quad Q_\ell = e\,n_\ell\)로 전하가 정수화됩니다.
4. U(1) 게이지 변환
   • 국소 U(1) 변환: $$w_i\;\longrightarrow\; e^{\,i\alpha_i/2}\,w_i$$
   • 링크 변수 변화: $$ \Delta w_{ij}\;\longrightarrow\; e^{\,i\alpha_j/2}\, \Delta w_{ij}\,e^{-i\alpha_i/2}$$
   • 결과적으로 루프 위상 \(\Phi_\ell\)는 gauge‑invariant하게 유지됩니다.
5. 위상 분기 처리(Branch-cut)
   • Principal branch: \(\arg \Delta w_{ij}\in(-\pi,\pi]\) 로 정의
   • Unwrap 알고리즘: 루프 합산 시, 인접 링크의 위상 차가 \(\pm\pi\)를 넘어가는 경우에만 \(\mp2\pi\) 보정을 하여 위상 연속성을 유지합니다.
6. 국소 전기장 및 라그랑지안
   • 국소 전기장 \(E_{ij}\): $$E_{ij} \equiv \frac{1}{i}\ln \Delta w_{ij} = \frac{\Delta\phi_{ij}}{2} \quad(\text{mod }2\pi)$$
   • 플라켓 액션 (compact U(1) 격자 QED): $$\mathcal{L}_E \;\supset\; -\beta \sum_{\Box} \cos\!\Bigl(\sum_{(ij)\in\Box}\arg \Delta w_{ij}\Bigr) \;\approx\; \sum_{\langle i,j\rangle} E_{ij}^2 \quad(\arg \Delta w_{ij}\ll1)$$
   • 가우스 법칙: \(Q_i\)는 셀 \(i\)를 둘러싼 기본 루프들의 전하 합산값 $$\sum_{j:\langle i,j\rangle}E_{ij} = Q_i$$ $$\boxed{\text{입자 루프가 U(1) 위상섬유를 $n$번 감으면, 정수 전하 }Q_\ell=e\,n\text{을 갖는다.}}$$

 

A7. 색전하의 정의

1. 플라켓 위상차 변수

   기호	정의
   링크 위상차	$$\displaystyle\Delta\phi_{ij}=n_{ij}\,\frac{\pi}{6},\quad n_{ij}\in\{0,\dots,11\}$$
   위상합 조건	$$\displaystyle\sum_{(ij)\in\Box} n_{ij}=12\quad\bigl(\text{정수 12, not mod}\bigr)$$
   예시	(1,2,3,6),  (6,3,1,2) 등 중복 허용 – 중복이 있어도 플라켓 에너지는 \(\cos\Phi_\Box\) 에만 의존

   네개의 \(n_i\)가 모두 다를때만 동치류가 3개만 존재하며 그렇지 않을때는 1개 또는 2개 존재.
2. 동치류: 격자 대칭 \(D_4\) 작용
   • 대칭군: $$D_4 = \langle\,r,s\mid r^4=s^2=1,\;srs=r^{-1}\,\rangle \;(r:\,90^\circ\text{ 회전},\;s:\text{ 반전})$$
   • 동치 관계: $$\mathbf n\sim\mathbf n' \iff \mathbf n'=g\cdot\mathbf n,\;g\in D_4$$
   • 궤도(orbit) 크기
     • 일반적으로 \(|D_4|=8\)
     • 회전 4 + 반전 4 → 역방향 플라켓은 같은 에너지이므로 마지막에 쌍이 합쳐진다.
   • 결과: 궤도 8 → 에너지-동등 쌍을 mod → 3개 동치류 $$ \mathcal C = S/D_4 = \{C_r,\;C_g,\;C_b\},\quad|\mathcal C|=3$$
   • 예시 궤도 A — (1,2,3,6) 를 시작 $$\{(1,2,3,6),\,(2,3,6,1),\,(3,6,1,2),\,(6,1,2,3)\}\;(\text{회전})\\ \cup\,\{(1,6,3,2),\,(6,3,2,1),\dots\}\;(\text{반전})$$ 회전 + 반전 8개가 한 에너지류 → \(C_r\) 로 묶인다.
3. SU(3) 리 대수 임베딩
   • 기본 가중치 매핑 $$\boxed{ C_r\;\mapsto\;\omega_1,\quad C_g\;\mapsto\;\omega_2,\quad C_b\;\mapsto\;\omega_3 }$$ $$\omega_1=\Bigl(\!\tfrac12,\;\tfrac{1}{2\sqrt3}\Bigr),\; \omega_2=\Bigl(\!-\tfrac12,\;\tfrac{1}{2\sqrt3}\Bigr),\; \omega_3=\Bigl(\!0,\;-\tfrac{1}{\sqrt3}\Bigr),\quad \omega_1+\omega_2+\omega_3=0$$
   • 단순근과 Cartan 구조 $$\alpha_1=\omega_1-\omega_2,\quad \alpha_2=\omega_2-\omega_3$$ $$\alpha_3=\omega_3-\omega_1=-(\alpha_1 + \alpha_2) \quad \text{즉, }\alpha_3\text{는 종속적} $$
     • 정규화 : 표준 고에너지-물리 규약 \(\|\alpha_i\|^2=2\) 로 맞추기 위해 \(\alpha_i \to \sqrt2 \alpha_i\). 또한 SU(3) 행렬의 표준 normalization \(\operatorname{Tr}(\lambda_a \lambda_b)=2\delta_{ab}\)를 명시
     • Cartan 행렬 
       $$\displaystyle A_{ij}=2\frac{\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle}{\|\alpha_j\|^2} =\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$$
4. 반색전하(anticolor)
   • SU(3) Weyl group은 \(D_3\cong S_3\) (6원소)
     • 120° 회전(2개), 반사(3개), 항등(1개)
   • 반색전하(anti-triplet)는 단순히 −ωi-\omega_i만이 아니라 Weyl 작용으로 얻어지는 반대칭 weight 셋 전체로 정의
5. 국소 색전하 벡터와 색중성
   • 정의 : $$Q_o=\bigl(C(p_r),\,C(p_g),\,C(p_b)\bigr)\in\{r,g,b\}^3,\quad p_r,p_g,p_b: \text{셀 o에서 Y자형으로 뻗은 세 플라켓 }$$
   • 바리온 색중성 $$Q_o=(r,g,b)\quad\iff\quad \omega_1+\omega_2+\omega_3=0$$
   • 삼중항 반대칭$$\Psi_{\rm color}=\epsilon_{abc}\,|a\,b\,c\rangle$$→ 격자 상에서도 플라켓 궤도 간 반대칭 조합이 보존되어 파울리 타 원리 위배 없음.
6. SU(3) 격자 게이지 작용 $$\Xi_{ij}=\exp\!\bigl[i\,(C(p_{ij})\cdot\lambda)\bigr]\, \exp\!\bigl[-ig_s\,A_{ij}\bigr]\in SU(3), \quad G_\Box=\!\!\prod_{\ell\in\Box}\Xi_\ell$$ $$\mathcal L_{SU(3)}= -\frac1{2g_s^2}\sum_{\Box}\operatorname{Tr}\bigl(G_\Box-\mathbb I\bigr)^2$$
   • 첫 지수항 : SU(2) 위상차를 8-차원 색공간으로 끌어올린 정적 임베딩
   • 두 번째 지수항 : 동적인 글루온 퍼텐셜
   • BCH 전개:\[ e^Xe^Y=e^{X+Y+\tfrac12[X,Y]+\cdots},\quad[X,Y]\neq0\] → non-commutativity 근거 보강 → 상호작용 자동 포함.
7. 비대각 글루온(off-diagonal gluon) 자유도
   • BCH 전개 및 라그랑지안 변분에서 \[ \Xi_{ij}\simeq e^{iC_{ij}\cdot\lambda}\bigl(\mathbb I - i g_s A_{ij} + \cdots\bigr)\,,\qquad \mathcal L_{SU(3)}\supset \operatorname{Tr}\bigl[(\sum C)(\sum A)\bigr] \;\propto\;C^aA^b\operatorname{Tr}(\lambda_a\lambda_b) \]를 통해 Cartan 축 \(a=3,8\)과 모든 \(b=1,\dots,8\) 성분이 교차 결합함을 확인할 수 있다. 따라서 off-diagonal\(λ_{1,2,4,5,6,7}\) 글루온도 \(A_{ij}\) 변분으로 동적으로 접근 가능하다.
8. SU(3) 국소 게이지 변환 \[ \Xi_{ij}=e^{i(C_i-C_j)\cdot\lambda}e^{-ig_sA_{ij}} \;\xrightarrow{\Omega_i}\; \Omega_i\Xi_{ij}\Omega_j^{-1} =e^{i(C_i'-C_j')\cdot\lambda}e^{-ig_sA_{ij}'}, \] \[ C_i\to\Omega_iC_i\Omega_i^{-1},\quad A_{ij}\to\Omega_iA_{ij}\Omega_j^{-1}. \] 정적 배경 \(e^{iC\cdot\lambda}\)도 Cartan 외부 Ω 아래에서 재흡수되어, 링크 변수 전체가 covariant.
9. 연속극한에서 위상토폴로지
   • 격자 단계 \(Z_6\) → 소진폭 \(U(1)\) → 큰 winding 시 $$\oint d\phi=2\pi k\,(k\in\mathbb Z) → mod \; 3 → center \{1,\,e^{\pm2\pi i/3}\}\cong Z_3$$ 흐름이 매끄럽게 이어짐.
10. 요약 $$\boxed{ \textbf{색전하 공간}\; \mathcal C = S / D_4 \cong \bigl\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\bigr\}\subset \mathfrak{su}(3)^\ast, \quad |\mathcal C|=3 }$$
    • 플라켓 위상차 3 동치류 ↔ SU(3) fundamental weights
    • 색전하 차 ↔ SU(3) 단순근, Cartan 행렬 완비
    • 격자 대칭 \(D_4\) 의 Weyl-군 작용 ≅ 색 회전·반전
    • 반색전하, 바리온 색중성, 파울리 배타 모두 자연스럽게 귀결

따라서 케이서 격자에서 정의된 색전하는 수학적으로 완전한 SU(3) 대칭을 구현하며, 표준 색역학(QCD)과 위상·대칭 구조가 1 : 1로 대응된다.

 

A8. 상호작용의 통합: 게이지 공변성

1. 국소 게이지 변환
   • SU(2) \[ q_i \to g_i\,q_i,\quad \Delta q_{ij} \to g_j\,\Delta q_{ij}\,g_i^{-1},\quad g_i\in SU(2). \]
   • U(1) \[ w_i \to e^{i\alpha_i/2}w_i,\quad \Delta w_{ij} \to e^{i\alpha_j/2}\,\Delta w_{ij}\,e^{-i\alpha_i/2}. \]
   • SU(3) \[ \Xi_{ij} = \exp[i\,C_{ij}\!\cdot\!\lambda]\,e^{-ig_sA_{ij}} \;\to\; U_i\,\Xi_{ij}\,U_j^{-1},\quad U_i\in SU(3) \]
2. 공변 도함수
   • SU(2) (central difference, gauge-covariant) \[ D_\mu q_i = \frac{1}{2l_p}\Bigl[ \log(\Delta q_{i+\mu,i}) - g_{i+\mu}g_{i-\mu}^{-1}\,\log(\Delta q_{i-\mu,i})\,g_i^{-1} \Bigr] \;\xrightarrow{g}\; g_i\,D_\mu q_i\,g_i^{-1}. \]
   • U(1) \[ D_\mu w_i = \frac{\Delta w_{i,i+\mu}-1}{l_p}\;w_i \;\xrightarrow{\alpha}\; e^{i\alpha_i/2}\,D_\mu w_i. \]
   • SU(3) \[ D_\mu\psi_i = \frac{\Xi_{i,i+\mu}\,\psi_{i+\mu} - \psi_i}{l_p}, \quad \psi_i\to U_i\,\psi_i, \] so that \(D_\mu\psi_i \to U_i\,D_\mu\psi_i\).
3. 게이지장·작용 항
   • SU(2)** Curvature \[ F_{\Box}=\prod_{(ij)\in\Box}\Delta q_{ij},\quad \mathcal L_{SU(2)}=-\frac1{2g_2^2}\sum_{\Box}\ operatorname{Tr}\bigl(F_{\Box}-\mathbb I\bigr)^2. \]
   • U(1) Plaquette action \[ \Phi_{\Box}=\sum_{(ij)\in\Box}\arg\Delta w_{ij},\quad \mathcal L_{U(1)}=-\beta\sum_{\Box}\cos\Phi_{\Box}. \]
   • SU(3) Yang–Mills \[ G_{\Box}=\prod_{(ij)\in\Box}\Xi_{ij},\quad \mathcal L_{SU(3)}=-\frac1{2g_s^2}\sum_{\Box}\operatorname{Tr}\bigl(G_{\Box}-\mathbb I_3\bigr)^2. \]