[v1.4] 기본가정 및 공리 - 유효시간

* 본 Qaether 이론은 실험적으로 검증되지 않은 가설임을 미리 밝힙니다. 현재 업데이트 하는 중이라 수시로 수정될 수 있음을 알려드립니다.

A4. 유효 시간의 재정의 (링크-기반 기준, 루프-동등성 공리 포함)

4.1 원리 (Emergence of Time)

시간은 배경이 아니라 국소 활동량(activity) 으로부터 창발한다. 활동량이 클수록 해당 객체(셀·링크·루프)의 고유시간(proper time) 은 로렌츠형 지연

$$\gamma^{-1}=\sqrt{1-\beta^2}$$

을 따른다. 여기서 \(\beta\)는 “활동률”(무차원)이다.

 

4.2 링크와 루프 (게이지 불변 기하)

• 링크 $$U_\mu(i)=\mathbf q_{i+\hat\mu}\mathbf q_i^{-1}\in SU(2)$$
• 임의 루프(홀로노미): $$W(C)=\prod_{e\in C} U_e \in SU(2),\qquad \Theta_C:=\arccos\!\Big(\tfrac12\,\mathrm{Tr}\,W(C)\Big)\in[0,\pi]$$
• \(\Theta_C\)는 \(W(C)\)의 켤레불변량이며, ELT공리로 같은 \(\Theta\)를 갖는 루프들은 같은 고유시간을 정의한다. (삼각·사각의 모양과 링크 수에 무관)

 

4.3 활동률의 두 층위: 링크 vs 루프

(a) 링크-기반 활동률 (국소 기준)

$$\theta_e:= \arccos\!\Big(\tfrac12\,\mathrm{Tr}\,U_e\Big)\in[0,\pi],\quad \beta_e=\tanh\!\Big(\kappa_1\,\frac{\theta_e}{\pi}\Big),\quad \kappa_1\ge 1$$

링크 기준 고유시간 증분(로컬 클록):

$$\boxed{d\tau_e \;=\; t_p\,\sqrt{1-\beta_e^2}},\qquad t_p=\frac{l_p}{c} \quad \text{여기서는} \quad a\equiv l_p \text{로 둔다}$$

 

이 \(t_p\)는 그래프 동기화용 기준시간(basis time)이다. 좌표시간(측정 시각)은 “링크 하나당 \(t_p\) ”로 셈한다.

(b) 루프-기반 활동률 (물리적 루프 시간)

$$\beta_C=\tanh\!\Big(\kappa_C\,\frac{\Theta_C}{\pi}\Big),\qquad \kappa_C\ge 1$$

루프 고유시간(물리적, 모양 불변):

$$\boxed{T_{\rm loop}(C) \;=\; t_p\,\sqrt{\,1-\beta_C^2\,}}$$

(필요하면 \(t_p\to t_*=\xi\,t_p\)로 보정 가능. \(\xi\)는 전역 캘리브레이션 상수. \(\kappa_C=\zeta\,\kappa_1 (\zeta\approx 1)\))

 

4.4 루프-동등성 공리 (ELT) — 삼각 = 사각

$$\boxed{\textbf{(ELT)}\quad \Theta_{C_1}=\Theta_{C_2}\ \Rightarrow\ T_{\rm loop}(C_1)=T_{\rm loop}(C_2)}$$

• \(\Theta\)만 같으면 \(T_{\rm loop}\)은 동일: 같은 위상결함 크기 \(\Theta\)를 가지는 모든 단순 폐곡선(삼각·사각·기타)은 한 바퀴 시간이 동일하다. → “루프 시간은 모양/링크수와 무관, 오직 W(C)의 켤레불변량 \(\Theta_C\)에만 의존.”

 

4.5 좌표시간 vs 고유시간 (역할 분리)

• 좌표시간(동기화용): 링크 하나 통과마다 $$\boxed{\delta t_{\text{coord}}(e)=t_p}$$ 로 정의. 경로 길이 L(C)인 루프의 좌표시간은 \(L(C)\,t_p\).

• 물리적 고유시간: 실제 물리 효과(지연)는 루프/링크 활동률로 결정.
  • 루프입자 내부 주기: \(T_{\rm loop}(C)\) (위의 상자식).
  • 링크/셀 경로운반시간: \(\tau_e,\ d\tau_i\) (아래 4.6)
  • 일반적으로 둘은 같지 않다.
• 요약: 좌표시간은 ‘시계 눈금’, 고유시간은 ‘물리’. 삼각/사각의 “같은 한 바퀴 시간”은 좌표시간이 아니라 고유시간에서 성립한다. tanh 포화로 \( 0\le d\tau_e,\ T_{\rm loop}(C)\le t_p\)가 항상 성립
• 링크 기준 \(d\tau_e=t_p\sqrt{1-\beta_e^2}\)를 쓰면, 일반 경로 \(\gamma\)의 고유시간을 다음과 같이 정의한다. $$\boxed{\ \tau[\gamma]=\sum_{e\in\gamma} t_p\,\sqrt{1-\beta_e^2}\ }$$

 

4.6 셀/블록의 유효 고유시간

셀 i에서 게이지·중력·로터를 합친 합성 활동량

$$\mathcal A_i^2 =\;c_F\!\Big(\tfrac{\|\mathcal F_i\|}{\Omega_F}\Big)^2 +c_R\!\Big(\tfrac{\|\mathcal R_i\|}{\Omega_R}\Big)^2 +c_\Omega\!\Big(\tfrac{\|\nabla \mathbf q_i\|}{\Omega_\Omega}\Big)^2$$ $$\beta_i=\tanh(\kappa\,\mathcal A_i),\qquad d\tau_i=t_p\sqrt{1-\beta_i^2}$$

블록 B의 유효시간(압력 가중 평균, A3 연계):

$$\boxed{\Delta T_{\rm eff}(B)=\frac{\sum_{i\in B} P_i\,d\tau_i}{\sum_{i\in B} P_i}},\quad P_i=p_0(1-\alpha m_i) F_\star(i) $$ $$ P_i\ge 0\ \ (0\le \alpha m_i<1,\ F_\star\ge 0)$$

 

4.7 YM 작용과의 연계 (국소 결합의 재해석)

활동량↑ → \(d\tau\)↓ ↔ 국소 유효결합

$$ \mathcal L_{\rm YM}(i)=\frac{1}{2\,g_{\rm eff}^2(i)}\,\mathrm{Tr}\,[\mathcal F_{\mu\nu}(i)\mathcal F^{\mu\nu}(i)], \quad \frac{1}{g_{\rm eff}^2(i)}=\tilde\lambda\, (1-\alpha m_i) F_\star(i)$$

(시간 지연과 결합 강도의 위치 의존성이 동떨어진 것이 아니라 동일 국소물리의 서로 다른 표현.)

 

4.8 분지 연속성·수치 안정성

루프/링크의 로그는 주분지(\(|\theta|\le\pi\))를 기본으로, 시간 전개 시 최근접 분지 추적(\(\mathrm{Log}_{\min}\))을 사용해 불연속 점프를 방지한다. 포화 비선형은 \(⁡\tanh\) 권장(선형 대안 가능).

 

4.9 정합성 체크 (요점)

1. 삼각=사각: \(\Theta_C\)만 같으면 \(T_{\rm loop}\)가 동일(ELT 만족).
2. 게이지 불변성: W(C)의 켤레불변 \(\Theta_C\)만 사용.
3. 좌표 vs 물리: \(t_p\)는 동기화(그래프 기반), 지연은 \(\beta\)가 결정(물리 기반).
4. 연속극 수렴: \(a\to0\)에서 \(\mathcal F_{\mu\nu}\to F_{\mu\nu}\), 루프-시간은 장세기의 국소 불변량으로 수렴.

 

한줄 요약

“시간은 링크-기준의 동기화로 재고(좌표), 실제 지연은 루프/셀의 활동률로 정해진다. 같은 위상결함을 두른 삼각·사각 루프는 한 바퀴 고유시간이 반드시 같다.”