[v1.4] 기본가정 및 공리 - 도입, 근본실체, 공간구조

* 본 Qaether 이론은 실험적으로 검증되지 않은 토이이론임을 미리 밝힙니다. 현재 업데이트 하는 중이라 수시로 수정될 수 있음을 알려드립니다.

 

도입: 이론의 핵심 철학 및 개요

1. 우주는 어떠한 물리적 자유도나 경계조건이 전혀 정의되지 않는 완전한 공허(Void) 속에, 지름 \(l_p\)인 불연속 최소단위 공간 Qaether들이 면심입방(FCC) 구조로 암묵적 접촉 관계(contact)로 배치된 비가환 위상 네트워크(quaternion phase network)로 이해된다. 모든 물리 법칙(입자·장·중력)은 오직 Qaether 정점 간의 링크 변수와 그로부터 유도되는 holonomy 및 곡률로부터 나온다.
2. 각각의 Entity를 정의해 본다면 다음과 같다
   • Void는 변수·메트릭·경계조건이 전혀 존재하지 않는 순수 무(無)를 뜻한다. 좌표·거리·시공간 구조를 일절 제공하지 않으며, 오직 Qaether 사이의 맞닿음(contact) 관계만을 배경으로 삼는다.
   • Qaether는 물리적 최소단위 3‑ball \(B^3(l_p/2)\), 지름 \(l_p\)를 가지며 내부 자유도는 단위 쿼터니안 \(\mathbf q_i\in SU(2)\cong S^3\)로 통합되어 스핀·게이지 위상·토폴로지적 결함을 내재한다. 셀 내부 정상파 모드는 별도 장장의 최소 고유모드로 정의하며, 그 zero‑point energy \(E_0=\tfrac12\hbar\omega_0\)로 해석.
   • 그래프 기반 상호작용은 다음과 같이 정의한다.
     • 정점 \(V=\{i\}\): 각 Qaether 인덱스.
     • 간선 \( E=\{(i,j)∣\text{i와 j번 Qaether가 물리적으로 접촉(contact)}\} \).
     • 링크 변수 \(\Delta\mathbf q_{ij}=\mathbf q_j\,\mathbf q_i^{-1}\)는 맞닿은 셀 사이에만 정의.
     • 모든 작용(action)과 양자화 조건은 링크 변수 및 plaquette holonomy로부터 유도.

 

A1. 근본 실체: Void와 Qaether (\(S^3\))

1. Void
   • Void는 이론 전개에 직접 관여하지 않으며, 오직 Qaether 간 접촉 정보만을 암묵적 배경으로 제공한다. 즉, 변수·메트릭·경계조건이 전혀 없는 순수 배경
   • 역할: Qaether 그래프의 무(無) 배경; 좌표·거리 개념 배제.
2. Qaether 셀: 물리적 형상과 내부 위상공간

구분	수학적 표현	설명
물리적 볼륨	$$B^3(\tfrac{l_p}{2})$$	지름 \(l_p\)의 3‑ball. FCC 배열의 구성 단위.
내부 위상공간	$$ S^3\cong SU(2)_{int} $$	단위 쿼터니안 \(\mathbf q_i\)로 스핀·게이지 위상을 통합.
쿼터니안 변수	$$ \mathbf q_i = n_i^0 + n_i^1\mathbf i + n_i^2\mathbf j + n_i^3\mathbf k,\;\sum (n_i^a)^2=1 $$	회전각 \(\phi_i\)와 회전축 \(\mathbf n_i\)로 분해 가능: $$\mathbf q_i=\cos\frac{\phi_i}{2}+\sin\frac{\phi_i}{2}\,\mathbf n_i\cdot(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k)$$

1. • 정상파 모드
     • 셀 내부에 형성되는 정상파는 별도 스칼라장(또는 텐서장)의 최소 고유모드로 정의.
     • 쿼터니안 파라미터와 결합할 때 spin-½ 모드 가능
     • 고유진동수 \(\omega_0\)에 대응하는 zero‑point energy \(E_0=\tfrac12\hbar\omega_0\).

 

A2. 공간 구조: 그래프·링크·곡률

1. 격자 그래프 정의
   • 정점 집합:$$V = \{\,i\mid i \text{는 Qaether 인덱스}\}$$
   • 간선 집합:$$E = \{(i,j)\mid \text{\(i\)와 \(j\)번 Qaether가 물리적으로 contact}\}$$
     • 접촉 조건: 지름 \(l_p\)인 두 3‑ball이 맞닿을 때 중심 간 간격이 자연스럽게 \(l_p\)가 됨.
     • Void는 좌표·거리 개념을 제공하지 않으며, 그래프는 오직 접촉 관계만으로 구성된다.
2. 정점·링크 변수
   • 게이지 변환 불변성:$$\mathbf q_i\to g_i\,\mathbf q_i,\quad \Delta\mathbf q_{ij}\to g_j\,\Delta\mathbf q_{ij}\,g_i^{-1}$$

     항목	정의	설명
     정점 변수	$$\mathbf q_i\in SU(2)$$	각 셀 내부의 단위 쿼터니안
     링크 변수	$$U_{ij}=\Delta\mathbf q_{ij}=\mathbf q_j\,\mathbf q_i^{-1}$$	맞닿은 두 셀 간 상대적 위상차 (비가환 SU(2) 요소)

3. 작용과 양자화 조건
   • Wilson형 링크·플라켓 작용
     • 기본 작용은 링크 변수와 그로부터 만들어지는 최소 폐회로(plaquette)의 holonomy를 통해 정의한다.
     • SU(2) 링크 변수 \(U_{ij}=\mathbf q_j \mathbf q_i^{-1}\)에 대해, Wilson 작용은 $$.S \;=\; \beta \sum_{\square}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\Re\,\mathrm{Tr}\,U_{\square}\Bigr), \qquad U_{\square}=\prod_{(a,b)\in\square} U_{ab}$$
     • 여기서 \(\beta=\tfrac{4}{g^2}\)는 결합 상수 g에 대한 격자 매개변수이다.
     • 이 작용은 게이지 변환 \(\mathbf q_i \;\to\; g_i\,\mathbf q_i, \qquad U_{ij}\;\to\; g_j U_{ij} g_i^{-1}\)하에서 불변성을 유지한다.
   • 연속극한에서의 연결
     • 격자 간격을 a라 할 때, plaquette holonomy는 \(U_{\square}\;\approx\; \exp\!\bigl(i a^2 F_{\mu\nu}(x)\bigr)\)로 근사된다.
     • 따라서 Wilson 작용은 연속극한에서 표준 Yang–Mills 작용 \(S \;\longrightarrow\; \frac{1}{4g^2}\int d^4x\,F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}\)로 수렴한다.
   • 회전각 양자화 조건
     • FCC 격자의 투영 대칭성과 에너지 최소화 조건으로 인해, 링크 변수의 총 위상차는 \(\Delta\phi_{ij}^{\mathrm{tot}} \;=\; n \,\frac{\pi}{6}, \quad n\in \mathbb Z\)로 제한된다.
     • 이는 \(\pi/6\) 단위의 위상 양자화 조건을 부과하며, 격자 위상 자유도를 \(\mathbb Z_{12}\) 잔여대칭으로 축소한다.
4. Plaquette holonomy와 곡률
   • 연속극한에서 \(U_{\square}\approx e^{iF_{\mu\nu}a^2}\) 형태로 바꾸어, 전통적 곡률 \(F_{\mu\nu}\)와 연결할 수 있다.

     항목	정의
     Plaquette	네 개의 링크로 이루어진 최소 폐회로 \(\square\)
     Holonomy	$$U_{\square} = \prod_{(a,b)\in\square} \Delta\mathbf q_{ab}$$
     곡률 척도	$$\theta_{\square} = \arccos\!\bigl(\tfrac12\operatorname{Tr}\,U_{\square}\bigr)$$