[v1.4] 기본가정 및 공리 - 도입, 근본실체, 공간구조

* 본 Qaether 이론은 실험적으로 검증되지 않은 토이이론임을 미리 밝힙니다. 

도입: 이론의 핵심 철학 및 개요

1. 우주는 어떠한 물리적 자유도나 경계조건이 전혀 정의되지 않는 완전한 공허(Void) 속에, 지름 \(l_p\)인 불연속 최소단위 공간 Qaether들이 면심입방(FCC) 구조로 암묵적 접촉 관계(contact)로 배치된 비가환 위상 네트워크(quaternion phase network)로 이해된다. 모든 물리 법칙(입자·장·중력)은 오직 Qaether 정점 간의 링크 변수와 그로부터 유도되는 holonomy 및 곡률로부터 나온다.
2. 각각의 Entity를 정의해 본다면 다음과 같다
   • Void는 변수·메트릭·경계조건이 전혀 존재하지 않는 순수 무(無)를 뜻한다. 좌표·거리·시공간 구조를 일절 제공하지 않으며, 오직 Qaether 사이의 맞닿음(contact) 관계만을 배경으로 삼는다.
   • Qaether는 물리적 최소단위 3‑ball \(B^3(l_p/2)\), 지름 \(l_p\)를 가지며 내부 자유도는 단위 쿼터니안 \(\mathbf q_i\in SU(2)\cong S^3\)로 통합되어 스핀·게이지 위상·토폴로지적 결함을 내재한다. 셀 내부 정상파 모드는 별도 장장의 최소 고유모드로 정의하며, 그 zero‑point energy \(E_q=\tfrac12\hbar\omega_q\)로 해석.
   • 격자는 Qaether 결합에 의해 자연스럽게 창발하며 이를 바탕으로 한 그래프 기반 상호작용은 다음과 같이 정의한다.
     • 정점 \(V=\{i\}\): 각 Qaether 인덱스.
     • 간선 \( E=\{(i,j)∣\text{i와 j번 Qaether가 물리적으로 접촉(contact)}\} \).
     • 링크 변수 \(\Delta\mathbf q_{ij}=\mathbf q_j\,\mathbf q_i^{-1}\)는 맞닿은 셀 사이에만 정의.
     • 모든 작용(action)과 양자화 조건은 링크 변수 및 plaquette holonomy로부터 유도.

 

A1. 근본 실체: Void와 Qaether (\(S^3\))

1. Void
   • Void는 이론 전개에 직접 관여하지 않으며, 오직 Qaether 간 접촉 정보만을 암묵적 배경으로 제공한다. 즉, 변수·메트릭·경계조건이 전혀 없는 순수 배경
   • 역할: Qaether 그래프의 무(無) 배경; 좌표·거리 개념 배제.
2. Qaether 셀: 물리적 형상과 내부 위상공간

구분	수학적 표현	설명
물리적 볼륨	$$B^3(\tfrac{l_p}{2})$$	지름 \(l_p\)의 3‑ball. FCC 배열의 구성 단위.
내부 위상공간	$$ S^3\cong SU(2)_{int} $$	단위 쿼터니안 \(\mathbf q_i\)로 스핀·게이지 위상을 통합.
쿼터니안 변수	$$ \mathbf q_i = n_i^0 + n_i^1\mathbf i + n_i^2\mathbf j + n_i^3\mathbf k,\;\sum (n_i^a)^2=1 $$	회전각 \(\phi_i\)와 회전축 \(\mathbf n_i\)로 분해 가능: $$\mathbf q_i= \cos\!\frac{\phi_i}{2}\,\mathbb I + i\,\sin\!\frac{\phi_i}{2}\,\bigl(\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\bigr) $$

1. • 정상파 모드
     • 셀 내부에 형성되는 정상파는 별도 스칼라장(또는 텐서장)의 최소 고유모드로 정의.
     • 쿼터니안 파라미터와 결합할 때 spin-½ 모드 가능
     • 고유진동수 \(\omega_q\)에 대응하는 zero‑point energy \(E_q=\tfrac12\hbar\omega_q\).

 

A2. 공간 구조: 그래프·링크·곡률

1. 격자 그래프 정의
   • 정점 집합:$$V = \{\,i\mid i \text{는 Qaether 인덱스}\}$$
   • 간선 집합:$$E = \{(i,j)\mid \text{\(i\)와 \(j\)번 Qaether가 물리적으로 contact}\}$$
     • 접촉 조건: 지름 \(l_p\)인 두 3‑ball이 맞닿을 때 중심 간 간격이 자연스럽게 \(l_p\)가 됨.
     • Void는 좌표·거리 개념을 제공하지 않으며, 그래프는 오직 접촉 관계만으로 구성된다.
2. 정점·링크 변수
   • 게이지 변환 불변성:$$\mathbf q_i\to g_i\,\mathbf q_i,\quad \Delta\mathbf q_{ij}\to g_j\,\Delta\mathbf q_{ij}\,g_i^{-1}$$

     항목	정의	설명
     정점 변수	$$\mathbf q_i\in SU(2)$$	각 셀 내부의 단위 쿼터니안
     링크 변수	$$U_{ij}=\Delta\mathbf q_{ij}=\mathbf q_j\,\mathbf q_i^{-1}$$	맞닿은 두 셀 간 상대적 위상차 (비가환 SU(2) 요소)

3. 위상차 양자화 조건
   
   • FCC 격자의 투영 대칭성과 에너지 최소화 조건으로 인해, 링크 변수의 총 위상차는 \(\Delta\phi_{ij}^{\mathrm{tot}} \;=\; n \,\frac{\pi}{6}, \quad n\in \mathbb Z\)로 제한된다.
   • 이는 \(\pi/6\) 단위의 위상 양자화 조건을 부과하며, 격자 위상 자유도를 \(\mathbb Z_{12}\) 잔여대칭으로 축소한다.
4. Plaquette holonomy와 곡률
   

   항목	정의
   Plaquette	네 개의 링크로 이루어진 최소 폐회로 \(\square\)
   Holonomy	$$U_{\square} = \prod_{(i,j)\in\square} U_{ij} = \prod_{(i,j)\in\square} e^{i\Delta \phi_{ij}^{tot}}$$
   곡률 척도	$$\Theta_{\square} = \arccos\!\bigl(\tfrac12\operatorname{Tr}\,U_{\square}\bigr)$$