[v1.2] 기본 가정 및 공리

* 본 Qaether 이론은 실험적으로 검증되지 않은 유사 물리학 이론임을 미리 밝힙니다. 현재 업데이트 하는 중이라 수시로 수정될 수 있음을 알려드립니다.

 

도입: 이론의 핵심 철학 및 개요

1. 우주는 ‘절대 무(無)’의 경계인 Void 위에, 플랑크 스케일의 국소적 위상 결함인 Qaether들이 결합하여 만들어진 동적인 정보 네트워크이다.
2. 각 Qaether는 물리적으로 반지름 \(l_p\)인 3-sphere(\(\text{S}^3\))이며, 내부 위상 변수는 단위 반지름 \(S^3(1)\)위 쿼터니언 \(\mathbf{q}\)로 기술된다.
3. Qaether들은 면심입방(FCC) 격자로 서로 결합하여 공간의 뼈대를 이루고, 이들 사이의 상대 쿼터니언 위상차(Link 변수)가 게이지 상호작용을 내재화한다.
4. 모든 물리 법칙과 상호작용은 이 근원적인 위상 기하학의 동역학적 발현이다.
5. 2D 위상 꼬임(\(\pi_1\) 위상)은 렙톤·보손, 3D 와인딩(\(\pi_3\) 위상)은 바리온을 생성한다.

 

A1. 근본 실체: Void와 Qaether (\(S^3\))

1. Void (절대 경계):
   • 정의: 자유도가 완벽히 0으로 고정된 이상적인 수학적 경계 조건.
   • 역할: 물리적 실체는 아니나, 자신에게 닿는 모든 에너지와 정보를 100% 반사한다. 이 반사 작용이 Qaether 네트워크에 내부 응력과 곡률을 유발하는 근원이다.
2. Qaether 셀 (우주의 최소 단위):
   • 물리적형태
     • 3차원 공간에서 반지름이 플랑크 길이(\(l_p\))인 3-Sphere \(S^3(l_p)\)로 근사.
     • 우주의 최소 단위 공간(격자 상수) 역할
   • 내부위상변수
     • 단위 반지름 \(S^3(1)\)위의 쿼터니언 $$ \mathbf{q}_i = n^0_i + n^1_i\mathbf{i} + n^2_i\mathbf{j} + n^3_i\mathbf{k}, \quad \mathbf{q}_i \in SU(2) \simeq S^3 $$ $$ \sum_{a=0}^3 (n_i^a)^2=1 $$
     • 이 쿼터니언의 물리적 의미는 회전 각(\(\phi_i\))과 회전 축(\(\mathbf{n}_i\))으로 분해할 때 명확해집니다. $$\mathbf{q}_i = \cos\!\bigl(\tfrac{\phi_i}{2}\bigr) + \sin\!\bigl(\tfrac{\phi_i}{2}\bigr)\,\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{i} ,\quad |\;\mathbf{n}_i\;|=1$$
   • 물리적 의미
     • \(\phi_i\): Qaether 내부의 SU(2) 회전 각으로, 셀의 스핀(spin) 상태를 나타냅니다
     • \(\mathbf{n}_i\): 3차원 공간에서의 회전 축 방향을 나타내는 단위 벡터입니다.
     • 이처럼 하나의 쿼터니언 변수 \(\mathbf{q}_i\) 안에 SU(2) 스핀 자유도가 내재되어 있으며, 나아가 전하(U(1))와 색전하(SU(3))에 해당하는 위상 인자 또한 이 단일 변수로부터 유도 가능합니다.

 

A2. 공간의 구조: FCC 격자와 상대적 방향성

1. 격자 구조 (공간의 뼈대):
   • Qaether 셀들은 플랑크 길이 \(l_p\)를 격자상수로 하는 면심입방(FCC) 격자 구조로 배열된다.
   • 각 셀들은 최대 12개의 최근접 이웃과 결합(Link)할 수 있으며 최소 에너지 상태와 거시적 등방성(Isotropy)을 보장한다.
2. 링크의 위상변수 정의 (Link Variable):
   • 두 이웃 셀 \((i, j)\) 간의 결합은 상대 쿼터니언의 위상차로 정의된다.$$ \Delta\mathbf{q}_{ij} = \mathbf{q}_j \mathbf{q}_i^{-1} \in SU(2) $$
   • 즉, \(\Delta \mathbf{q}_{ij}\)는 FCC 격자에서 셀 \(i\)와 \(j\) 사이의 결합이 갖는 위상적 방향성과 에너지 상태(결합의 상태 변수를 포괄함)
3. 게이지변환 불변성 (site-gauge 변환)
   • 로컬 게이지라면: \(\mathbf{q}_i \to g_i \, \mathbf{q}_i ⟹ \Delta \mathbf{q}_{ij} \to g_j \,( \Delta \mathbf{q}_{ij}) \, g_i^{-1} \)
   • 전역 게이지라면: \(\mathbf{q}_i \to g \, \mathbf{q}_i ⟹ \Delta \mathbf{q}_{ij} \to g \,( \Delta \mathbf{q}_{ij}) \, g^{-1} \)
   • 두 경우 모두 Gauge freedom(covariant)을 갖는다.
4. 양자화 조건
   • 안정적 결합을 위해 \(\Delta \mathbf{q}_{ij}\)가 나타내는 SU(2) 회전각은 FCC 격자 위상 대칭에 따라 \(\pi/6\)의 정수배로 양자화된다.
   • 이는 동역학적으로도 최소 에너지 조건임을, 격자 action의 변분 계산으로 정당화할 수 있다.

 

A3. 질량과 중력의 창발: 결합 압력 모델

1. 셀 면적 변수
   • 전체 빈 경계면 면적: \(\mathfrak A_s\) (한 Qaether 셀의 외부 반사 가능한 면적)
   • 결합당 막히는 면적: $$\mathfrak A_b \ll \mathfrak A_s \; \Longrightarrow\; \alpha \;\equiv\; \frac{\mathfrak A_b}{\mathfrak A_s} \ll 1$$
2. 남은 반사 면적
   • 셀 \(i\)가 \(m_i\)개 결합했다면 $$\mathfrak A_i(m_i) = \mathfrak A_s - m_i\,\mathfrak A_b = (1 - \alpha\,m_i)\,\mathfrak A_s$$
   • FCC 격자 최대 \(m_i=12\)에서도 \(\alpha m_i\ll1\) 이므로 \(\mathfrak A_i>0\).
3. 위상 토션 에너지 밀도 $$u_\phi(i) = \bigl|\Im(\mathbf{q}_i)\bigr| = \sin\!\Bigl(\tfrac{\phi_i}{2}\Bigr) \;\in[0,1]$$
4. Qaether Cell \(i\)의 내부 위상 진동 에너지 
   • Qaether의 파장은 플랑크 길이 \(l_p\)라고 가정하자.
   • 이를 기준으로 Qaether의 각주파수를 계산하면 \(\omega_q={2\pi c }/{ l_p } \)이며 내부 위상 진동에너지는 $$E_q = \tfrac12 \hbar \omega_q = \hbar \frac{\pi c}{l_p}$$
   • 이걸 가지고 위상 에너지 밀도를 계산하면 $$u_{\phi} = \frac{E_q}{V_s} = \frac{\tfrac12 \hbar \omega_q}{\frac43\pi\,l_p^3} = \frac{3\hbar c}{4l_p^4} \sim 3.45 \times 10^{113} \, \text{J/m}^3 = 2.15 \times 10^{123} \text{GeV/m}^3$$
   • 따라서 내부 위상 모드는 항상 플랑크 스케일 최소 파장 모드이며, 이후 다중 결합 구조에서 발생하는 collective 모드의 에너지 계층화를 통해 저에너지 구조가 형성됨
5. 기준 압력 \(p_0\)
   • 단위 면적당 100% 반사 시 받는 압력”을 정의하면 다음과 같다. $$p_0 = 2\,u_{\phi,0} \;=\; \frac{3\hbar c}{2l_p^4}$$
   • 막힌 영역(\(m_i\,\mathfrak A_b\))에는 위상파가 닿지 않으므로 압력 0.
6. 국소 유효 압력 $$\boxed{ P_i(m_i,\phi_i) = p_0 \;\frac{\mathfrak A_i(m_i)}{\mathfrak A_s}\;u_\phi(i) = p_0\,(1 - \alpha\,m_i)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\phi_i}{2}\Bigr) }$$
   • \(m_i=0,\;\phi_i=\pi\) 시 최대 \(P_i=p_0\).
7. 표면 질량-면밀도
   • 플랑크 두께 \(l_p\)를 “thick-to-thin” 인자로 취하여 $$\rho= \frac{p_0\,l_p}{c_{\rm eff}^2}, \quad c_{\rm eff}\simeq c$$
   • 단위: 질량/면적
8. 국소 관성 모멘트
   • 열려 있는 면적 \(\mathfrak A_i(m_i)\)에서만 \(\rho\)가 작용하므로 $$I_i(m_i) =\int_{\mathfrak A_i(m_i)}\!\rho\,r^2\,dA \;\approx\; \frac{p_0\,l_p}{c^2}\;l_p^2\,\mathfrak A_i(m_i) =\frac{p_0\,l_p^3}{c^2}\,(1-\alpha m_i)\,\mathfrak A_s$$ \(m_i=0\) 일 때 $$I_0 = \frac{p_0\,l_p^3}{c^2}\,\mathfrak A_s = \frac{3\hbar}{2l_p c}\,\mathfrak A_s$$ 따라서 $$\boxed{I_i(m_i) = I_0\,(1 - \alpha\,m_i),}$$ \(\alpha\ll1,\;m_i\le12\) 이므로 1차 근사 정확도 <1%.

 

A4. 유효 시간의 정의

Qaether 이론에서 시간은 절대적인 배경이 아니라, Qaether 격자 필드의 국소적인 동역학적 변화로부터 창발(emerge)하는 물리량. 즉, 필드의 '활동량'이 시간의 흐름 속도를 결정하며, 이는 아인슈타인의 상대성 이론과 자연스럽게 연결.

1. 국소 장(Field)의 변화량 측정: 게이지 불변 속도
   • 핵심 아이디어: 한 Qaether 셀(\(i\))이 주변 셀들과 얼마나 다른 위상(쿼터니언)을 갖는지가 그 셀의 '활동량' 또는 '국소 속도'에 해당합니다.
   • 격자 미분: 이 변화량을 측정하기 위해, 이웃 셀 간의 상대 위상차 \(\Delta \mathbf{q}_{ij} = \mathbf{q}_j \mathbf{q}_i^{-1}\)를 이용해 격자 위에서의 미분 \(\nabla_\mu \mathbf{q}_i\)를 정의. $$\nabla_\mu \mathbf{q}_i = \frac{1}{4l_p}\bigl[\log(\Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i}) - \log(\Delta \mathbf{q}_{i-\mu,i})\bigr] = \frac{1}{4l_p} \left[ \log(\mathbf{q}_{i+\mu} \mathbf{q}_i^{-1}) - \log(\mathbf{q}_{i-\mu} \mathbf{q}_i^{-1}) \right]$$
   • 여기서 \(\log\)는 SU(2) 군(group)의 원소(회전)를 해당하는 리 대수(Lie algebra)의 원소(회전축-각 벡터)로 변환하여, 벡터처럼 크기를 계산할 수 있게 해주는 수학적 도구$$\log(\mathbf{q}_{i+\mu} \mathbf{q}_i^{-1}) = i\,\mathbf{n}_{i+\mu,i}\, \frac{\phi_{i+\mu,i}}{2}$$
   • 행렬 로그 취할 때, \(\Delta \mathbf{q} \)의 회전축·각(\(\phi\))를 복원한 뒤 principal branch \(\phi\in(-\pi,\pi]\)로 자동 조정하여 \(\pm2\pi\) 불연속을 제거.
2. 게이지 불변성/물리적 해석
   • 정의된 격자 미분은 국소 게이지 변환 (\(\mathbf{q}_i \;\to\; g_i \mathbf{q}_i \;\Longrightarrow\; \Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i}\to g_{i+\mu}\,\Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i}\,g_i^{-1}\))에 대해 공변적(covariant)으로 변환: $$\log(\Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i})\to g_{i+\mu}\,\log(\Delta \mathbf{q}_{i+\mu,i})\,g_i^{-1}$$
   • 하지만 이 양의 노름(norm)을 취하면, 행렬의 대각합(Trace)의 순환 대칭성$$\mathrm{Tr}(ABC)=\mathrm{Tr}(CAB)$$에 의해 게이지 변환 인자가 사라진다. 따라서 노름 자체는 게이지 불변이며, 물리적으로 의미있는 측정량이다. \(\log(\Delta q)\)의 크기는 두 셀 간의 실제 위상 변화량을 나타내므로, 이 값은 국소 곡률, 토션(torsion), 에너지 밀도 등 다른 물리량과 직접적으로 연결된다.
3. 게이지 불변 '속도'의 크기
   • 이 격자 미분의 총 크기를 모든 방향(\(\mu\))에 대해 합산하여 국소적인 변화량의 총합, 즉 '속도'의 크기 \(|\mathbf{v}_i|\)를 계산. 이는 아래의 노름(norm) 계산을 통해 얻어지며, 중요한 점은 이 값이 게이지 변환에 대해 불변(gauge invariant)이라는 것. 따라서 물리적으로 의미 있는 측정량. $$\|\nabla \mathbf{q}_i\|= \sqrt{\sum_\mu -\tfrac12\mathrm{Tr}((\nabla_\mu \mathbf{q}_i)^2)}$$ $$ \frac{\|\mathbf{v}_i\|}{c} \equiv \beta_i = \frac{\|\nabla \mathbf{q}_i\|}{\Omega_0}, \quad \text{단, } \Omega_0 = \frac{\pi}{2l_p}$$
   • \(\Omega_0\)는 플랑크 길이당 발생할 수 있는 최대 위상 변화율을 나타내는 이론의 기본 상수입니다. \(\beta_i\)는 0과 1 사이의 값을 갖는 무차원 속도.
4. 고유 시간 간격과 로렌츠 인자
   • 시간 팽창: 국소 속도 \(\beta_i\)가 결정되면, 상대성 이론과 동일한 형태의 로렌츠 인자 \(\Gamma_i\)가 자연스럽게 정의.$$ \Gamma_i = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_i^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\|\nabla \mathbf{q}_i\|^2}{\Omega_0^2}}}$$
   • 고유 시간 간격(Proper Time Interval): 각 Qaether 셀이 경험하는 최소 시간 단위, 즉 고유 시간 간격는 플랑크 시간\(t_p\)을 이 로렌츠 인자로 나눈 값.$$\boxed{ d\tau_i = \frac{t_p}{\Gamma_i} = t_p \; \sqrt{1 - \frac{\|\nabla \mathbf{q}_i\|^2}{\Omega_0^2}} }$$
   • 물리적 해석:
     • 정지 상태 (IR 극한): 주변과 위상 변화가 없는 셀(\(|\nabla q_i| \to 0\))은 \(\beta_i \to 0, \Gamma_i \to 1\)이 되어, 고유 시간은 플랑크 시간과 같아짐 (\(d\tau_i \to t_p\)). 이는 거시 세계의 정지한 관찰자에 해당.
     • 최대 속도 (UV 극한): 위상 변화가 극심한 셀(\(|\nabla q_i| \to \Omega_0\))은 \(\beta_i \to 1, \Gamma_i \to \infty\)가 되어, 고유 시간의 흐름이 거의 멈춤 (\(d\tau_i \to 0\)).이는 빛의 속도에 가까워질수록 시간이 느려지는 현상을 재현하며, 이론에 자연스러운 자외선 절단(UV cutoff)을 제공.
5. 거시적 시간의 구성
   • 블록 유효시간: 여러 Qaether 셀로 구성된 영역(블록 B)의 평균적인 시간 흐름은 각 셀의 고유 시간을 평균하여 얻어짐. $$ \Delta T_{\rm eff}(B) = \frac{1}{|B|} \sum_{i \in B} d\tau_i$$
   • 전역 좌표 시간: 기준점으로부터 경로를 따라 각 링크의 시간 지연(\(\delta t_{ij} = \frac{l_p}{c} \Gamma_{ij}\))을 적분함으로써, 전체 격자에 대한 일관된 전역 좌표 시간을 구성. 이는 일반 상대성 이론에서 시공간의 각 지점마다 시간의 흐름이 다른 것을 이산적으로 구현한 것과 같음.
   • 전역(좌표)시간
     • 쿼터니언 링크(ij)에 대해 $$\delta t_{ij} = \frac{l_p}{c}\,\Gamma_{ij}, \qquad \Gamma_{ij} = \tfrac12 (\Gamma_i + \Gamma_j)$$
     • 경로 상 총 왕복 시간 $$t_{r\leftrightarrow i} = 2\sum_{\text{path } r\to i} \delta t_{jk}$$
     • 셀 \(i\)의 전역 좌표시간 $$t_i = \tau_r + \tfrac12\,t_{r\leftrightarrow i}, \quad \tau_r\text{은 기준점 r의 누적 고유시간}$$

 

A5. 스핀(Spin)의 정의 – SU(2) 스피너·홀로노미 관점

스핀은 Qaether 격자의 SU(2) 스피너가 폐곡선을 따라 병렬 수송될 때 생성되는 홀로노미가 ±1로 나타내어 보손과 페르미온을 구분하는 위상적 자유도이다.

1. 내부 자유도: SU(2) 회전 연산자로서의 쿼터니언
   • A1의 쿼터니언 표기를 SU(2) 매트릭스 표현하면 $$\mathbf{q}_i = \cos\!\frac{\phi_i}{2}\,\mathbb I + i\,\sin\!\frac{\phi_i}{2}\,\bigl(\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\bigr) = \exp\!\Bigl[i\,\tfrac{\phi_i}{2}\,\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\Bigr]$$
     • \(\mathbf{n}_i\in S^2\): 회전축(unit vector)
     • \(\phi_i\in[0,2\pi)\) : 회전각
     • \(\sigma^a (a=1,2,3)\) : Pauli 행렬
   • 스피너 작용
     • 2성분 복소 스피너 \(\psi_i\in\mathbb C^2\)에 \(\psi_i \;\mapsto\; \mathbf{q}_i\,\psi_i\)로 작용. 이때 \(\mathbf{q}_i\)는 로컬 회전을 수행하는 연산자.
2. 스피너의 병렬 수송 (Parallel Transport) 과 링크 위상차
   • A2의 링크 위상변수정의에 따라 병렬 수송 법칙을 정의하면
     • 셀 \(i\)의 스피너 \(\psi_i\)가 이웃 \(j\)로 전송될 때 \(\psi_j = \Delta\mathbf{q}_{ij}\,\psi_i\)
     • 이 과정이 격자 전역에 걸쳐 일관되게 연결(parallelism)을 유지해야 물리적으로 모순이 없다.
   • 리 대수와 회전각 $$\Delta\mathbf{q}_{ij} = \exp\bigl[i\,\tfrac{\theta_{ij}}{2}\,\mathbf{m}_{ij}\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\bigr]$$
     • 여기서 \(\theta_{ij}\)는 회전각, \(\mathbf{m}_{ij}\)는 회전축.
3. 홀로노미(Holonomy)와 스핀 통계
   • 홀로노미 정의 $$\mathbf{q}_\ell = \prod_{(ij)\in\ell}\Delta\mathbf{q}_{ij}, \quad \ell: \text{격자 상의 닫힌 경로}$$
   • SU(2)–SO(3) 이중 피복
     • SU(2) 매트릭스 \(\pm\mathbb I\) 만이 SO(3) 정체(identity)에 대응
     • \(\mathbf{q}_\ell = +\mathbb I\) 또는 \(-\mathbb I\)
   • 통계 판별 $$\mathbf{q}_\ell = \begin{cases} +\mathbb I, & \psi(\ell)= +\psi \quad(\text{보손 / 정수 스핀})\\ -\mathbb I, & \psi(\ell)= -\psi \quad(\text{페르미온 / 반정수 스핀}) \end{cases}$$
     • 보손: 스피너가 \(4\pi\) 회전 → 위상 +1
     • 페르미온: 스피너가 \(2\pi\) 회전 → 위상 -1
4. 스핀‑\(\tfrac12\) 구현: 최소 꼬인 루프
   • 꼬인 루프 조건
     • 루프 \(\ell\)에서 $$\mathbf{q}_\ell = -\mathbb I \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{(ij)\in\ell}\theta_{ij} = 2\pi$$
   • 물리적 해석
     • 이 루프 하나가 페르미온의 스피너 구조를 형성.
     • 예: 삼각형 또는 사각형 루프가 될 수 있으며,각각의 링크 회전각 \(\theta_{ij}\) 합이 정확히 \(2\pi\)여야 함.
   • 쿼크·렙톤 분류
     • 추가로 Y‑패턴 색결합을 포함하면, 스피너 루프에 색전하가 결합되어 쿼크가 됨.
     • 순수 꼬인 루프만 있으면 렙톤.
5. 추가: 스핀 연산자와 기대값
   • 스핀 연산자 $$\hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2}\,\boldsymbol{\sigma}$$
   • 벡터 기대값 (Bloch 벡터) $$\langle \mathbf{S} \rangle_i = \psi_i^\dagger\,\hat{\mathbf{S}}\,\psi_i = \frac{\hbar}{2}\,\psi_i^\dagger\,\boldsymbol{\sigma}\,\psi_i \;\equiv\; \frac{\hbar}{2}\,\vec s_i$$
     • \(\vec s_i\in\mathbb R^3\)는 관측 가능한 스핀 방향
     • 그러나 통계(± 부호)는 홀로노미 \(\mathbf{q}_\ell\)에 의해 결정되고, \(\vec s_i\)만으로는 구분 불가.

 

A6. 전하의 정의

1. U(1) 위상 변수 도입
   • 각 셀 \(i\)가 지니는 SU(2) 쿼터니언 \(\mathbf{q}_i\in SU(2)\simeq S^3\)에서, 내부 위상각 \(\phi_i\in(-\pi,\pi]\)만을 떼어내어 U(1) 변수로 사용: $$w_i \;=\; e^{\,i\phi_i/2}, \quad \phi_i\in(-\pi,\pi]$$
   • 설명:
     • \(\phi_i\)를 \((-\pi,\pi]\)로 두면 \(+\pi \to -\pi\) 구간에서만 분기(cut)가 발생하므로, unwrap 알고리즘이 단순해짐.
     • \(w_i\) 정의에서 반회전(1/2)을 취한 이유는 SU(2)→SO(3) 이중 피복을 고려하여, 스피너의 위상 변화가 \(2\pi\) 회전에 대응하도록 맞추기 위함입니다.
2. 링크 변수 정의
   • 두 이웃 셀 \(i,j\) 사이의 U(1) 링크 변수는 $$ \Delta w_{ij} \;=\; w_j\,w_i^{-1} \;=\;\exp\!\Bigl[i\,\frac{\phi_j-\phi_i}{2}\Bigr] \;=\;e^{\,i\,\Delta\phi_{ij}/2}$$
   • 여기서 \(\Delta\phi_{ij} = \phi_j - \phi_i\)
     • principal branch: \(\Delta\phi_{ij} \in (-\!\pi,\pi]\)
     • Unwrap: 루프 합산 시 인접 \( \Delta\phi_{ij} \)차이가 \(\pm\pi\)초과 시 \(\pm2\pi\) 보정
3. 닫힌 루프 전하 (winding)
   • 격자 위 임의의 닫힌 2D 루프 \(\ell=\{(i_1,i_2),\dots,(i_N,i_1)\}\)에 대해 $$\Phi_\ell = \sum_{(i_k,i_{k+1})\in\ell} \arg \Delta w_{i_k,i_{k+1}} = \sum_{(ij)\in\ell} \frac{\Delta\phi_{ij}}{2}$$
   • 이 값이 \(2\pi\,n_\ell\)만큼 감겨 있으면 \(n_\ell = \frac{\Phi_\ell}{2\pi} \in\mathbb{Z}, \quad Q_\ell = e\,n_\ell\)로 전하가 정수화됩니다.
4. U(1) 게이지 변환
   • 국소 U(1) 변환: $$\phi_i \;\longrightarrow\; \phi_i + \alpha_i(x)$$
   • 링크 변수 변화: $$ \Delta w_{ij}\;\longrightarrow\; e^{\,i\alpha_j/2}\, \Delta w_{ij}\,e^{-i\alpha_i/2}$$
   • 결과적으로 루프 위상 \(\Phi_\ell\)는 gauge‑invariant하게 유지됩니다.
5. 위상 분기 처리(Branch-cut)
   • Principal branch: \(\arg \Delta w_{ij}\in(-\pi,\pi]\) 로 정의
   • Unwrap 알고리즘: 루프 합산 시, 인접 링크의 위상 차가 \(\pm\pi\)를 넘어가는 경우에만 \(\mp2\pi\) 보정을 하여 위상 연속성을 유지합니다.
6. 국소 전기장 및 라그랑지안
   1. 국소 전기장 \(E_{ij}\): $$E_{ij} \equiv \frac{1}{i}\ln \Delta w_{ij} = \frac{\Delta\phi_{ij}}{2} \quad(\text{mod }2\pi)$$
   2. 플라켓 액션 (compact U(1) 격자 QED): $$\mathcal{L}_E \;\supset\; -\beta \sum_{\Box} \cos\!\Bigl(\sum_{(ij)\in\Box}\arg \Delta w_{ij}\Bigr) \;\approx\; \sum_{\langle i,j\rangle} E_{ij}^2 \quad(\arg \Delta w_{ij}\ll1)$$
   3. 가우스 법칙: \(Q_i\)는 셀 \(i\)를 둘러싼 기본 루프들의 전하 합산값 $$\sum_{j:\langle i,j\rangle}E_{ij} = Q_i$$ $$\boxed{\text{입자 루프가 U(1) 위상섬유를 $n$번 감으면, 정수 전하 }Q_\ell=e\,n\text{을 갖는다.}}$$

 

A7. 색전하의 정의

1. 글루온의 구조 (Y-패턴 색결합의 기초 구조)
   • 셀 배치 및 내부 위상 변수
     • 격자 내 기준 셀 o와, 그 인접 3개 셀 r, g, b (Red, Green, Blue)를 선택하여 Y자형 패턴을 이룸.
   • 결합 링크 및 위상차
     • 셀 o에서 R, G, B 방향으로 뻗는 3개의 링크에 대해 다음과 같이 정의한다. $$\Delta q_{o\alpha} = q_\alpha\, q_o^{-1} \quad (\alpha = r, g, b)$$
     • 각 링크는 SU(2) 군원소이며, FCC 격자 내 특정 방향을 따라 선택된 이웃을 의미.
2. 위상차 이산화 조건 (\(\pi/6\) 양자화)
   • 각 링크의 위상차 크기는 $$\|\Delta q_{o\alpha}\| = n_\alpha \frac{\pi}{6}, \qquad n_\alpha \in \mathbb{Z}$$와 같이 FCC 격자의 대칭 및 최소 위상 단위에 따라 불연속적으로 양자화 된다.
3. Lie-log 변환 및 SU(3) 임베딩
   • Lie 대수 변환 목적:
     • 선형화: SU(2) 군원소 \(\Delta q\)는 비가환 곱셈을 통해 결합되므로, 여러 링크의 결합을 다룰 때 곱셈 구조는 비직관적이고 계산이 복잡함.
     • 가우스 법칙·색중성 표현: 세 링크의 총 위상 변화가 0을 덧셈으로 깔끔하게 쓰려면 리대수 원소의 합을 이용하는 편이 수식적으로 편리.
     • Yang–Mills 연계: 전통적인 게이지 이론에서는 필드 강도를 Lie 대수원소(\(A_\mu\in\mathfrak g\))로 표현하고, 작용(action)을 \(\operatorname{Tr}[F_{\mu\nu}^2]\) 형태로 작성. 따라서 Qaether 격자 이론도 같은 틀에 맞추려면 Lie 대수 표기가 필수적.
   • 변환 과정:
     • 각 SU(2) 링크를 su(2) 리대수로 변환: $$X_{o\alpha} = \frac{1}{2i}\ln(\Delta q_{o\alpha})= \frac{\theta_{o\alpha}}{2i}\mathbf{m}_{o\alpha}\!\cdot\!\boldsymbol\sigma, \quad \theta_{o\alpha} \in [-\pi/3,\,\pi/3]$$
     • \(\mathbf{m}_{o\alpha}\): 회전축 단위벡터
   • 정규화 확인 $$\operatorname{Tr}[X_{o\alpha}^2] = -\tfrac12 \theta_{o\alpha}^2 \Longrightarrow \|X_{o\alpha}\|^2=\tfrac12 \theta_{o\alpha}^2$$
     • 이 조건이 만족되어야, 이후 합산된 \(\sum X\)가 단순 덧셈으로 색중성(traceless) 조건을 일관되게 표현할 수 있습니다.
4. SU(3) 색공간 임베딩 (기준축 변환)
   • 임베딩 목적:
     • 대수 확장: SU(2) 대수원소 세 개만으로는 8차원 SU(3) 색공간의 자유도를 표현할 수 없다.
     • Gell–Mann 기저와 일치: CCC(색상 R, G, B) 링크의 위상차를 SU(3) 기저(\(\lambda_a\)) 방향에 매핑해야, 전통적인 글루온 장(\(A_\mu^a\))와 1:1 대응이 가능해집니다.
   • 과정:
     • 각 방향별 unitary 행렬 \(U_\alpha\)를 정의:$$U_r = \mathbb I_3, \quad U_g = \exp(i\tfrac{\pi}{2}\lambda_2), \quad U_b = \exp(i\tfrac{\pi}{2}\lambda_5) $$ 이들은 \(\lambda_1\to\lambda_1,\;\lambda_4,\;\lambda_6\) 축으로 SU(2) 대수를 회전시킵니다.
     • 이를 이용해, 각 링크별 su(2) 대수를 SU(3) 대수로 임베딩:$$\widetilde X_{o\alpha} = U_\alpha X_{o\alpha} U_\alpha^{-1} \in su(3)$$
     • 각 \(U_\alpha\)가 SU(3)에서 특정 Gell–Mann 행렬 방향으로 정확히 회전시켜, \(\widetilde X_{or}\)는 \(\lambda_1\)축, \(\widetilde X_{og}\)는 \(\lambda_4\) 축, \(\widetilde X_{ob}\)는 \(\lambda_6\) 축에 정렬됩니다.
   • Trace 보존 확인 $$ \operatorname{Tr} [\widetilde X_{o\alpha}^2] = \operatorname{Tr} [X_{o\alpha}^2] = -\tfrac12 \theta_{o\alpha}^2$$
     • 단위 변환이므로 대수원소의 크기(Trace norm)가 보존되는지 반드시 검증해야 합니다
5. 관측가능 색전하와 8개 글루온 모드
   • Cartan 생성자: SU(3)의 두 Cartan 생성자(\(\lambda_3, \lambda_8\))는 mutually commute하며 이를 이용하여 색전하 정의
   • 색전하(Cartan 성분) 정의 $$C_o^a = \frac{1}{g_s}\operatorname{Tr}\left[ \lambda_a \sum_\alpha \widetilde X_{o\alpha} \right], \quad a = 3,8$$
     • \(g_s\): 색결합상수
     • \(\sum_\alpha \widetilde X_{o\alpha} =0\) (바리온 색중성 조건)이면 \(C_o^3=C_o^8=0\)
6. 8개 글루온 모드 생성
   • Gell–Mann 기저에 대한 투영 정의: 임베딩된 대수원소 \(\{\widetilde X_{o\alpha}\}\)를 8개의 Gell–Mann 행렬 \(\{\lambda^a\}\) 방향으로 직접 투영하여 글루온 계수 \(A^a\)를 얻게됨:$$A^a \;\equiv\; \sum_{\alpha\in\{r,g,b\}} \operatorname{Tr} \bigl(\lambda^a\,\widetilde X_{o\alpha}\bigr), \qquad a=1,\dots,8$$
     • 직교성: \(\operatorname{Tr} (\lambda^a\lambda^b)=2\,\delta^{ab}\)
     • 정규화: 따로 조합 계수를 붙이지 않아도, \(\lambda^a\) 기저 자체가 직교·정규화되어 있기 때문에 8개의 독립 모드 \(A^a\)가 자연스럽게 정의.
   • 모드 표현: 각 글루온장은 $$G_a \;=\; A^a\,\lambda^a, \qquad\text{(합에 대해 암시적 표기: }G = \sum_{a=1}^8 A^a\lambda^a\text{)}$$ 와 같이 표현되며, a당 하나씩 총 8개의 자유도가 생김.
   • 물리적 해석
     • \(A^1\sim A^8\)는 전통적 Yang–Mills 이론의 글루온장 \(A_\mu^a\)와 직접 대응
     • 이 정의로 인해 별도의 직교·정규화 계수 조합을 일일이 쓰지 않아도, \(\{\lambda^a\}\) 자체의 orthonormality(\(\operatorname{Tr}[\lambda^a\lambda^b]\propto\delta^{ab}\))를 그대로 이용가능
7. 공변 링크 변수와 색가둠
   • 공변링크(글루온 퍼텐셜) 도입
     • 각 Y-패턴 링크에 색게이지 퍼텐셜을 결합해 게이지 공변 링크 변수를 정의:$$\Xi_{o\alpha} = \Delta q_{o\alpha}\, \exp\left[ -i g_s G_{o\alpha} \right] \in SU(3)\quad \text{(먼저 SU(2) 링크, 그다음 글루온 퍼텐셜 적용)}$$
     • \(G_{o\alpha} \in su(3)\): 링크별 글루온 퍼텐셜
   • 색가둠(Gauss 법칙) 조건
     • 바리온 내부 세 링크의 곱은 반드시 항등원이 되어야 함:
       $$ \Xi_{or}\, \Xi_{og}\, \Xi_{ob} = \mathbb I_{3}$$
     • 이는 플럭스 보존·색중성·색가둠(Confinement)을 위상적으로 구현하는 조건임.
     • 이 조건이 깨지면 열린 플럭스로 간주되어 비물리적이며, 순서가 바뀌면\(\neq \mathbb I\) 일 수 있으므로, 고정된 순서를 반드시 지켜야 함.

 

A8. 상호작용의 통합: 게이지 공변성

1. 국소 게이지 변환
   • SU(2) $$q_i \to g_i\,q_i,\quad \Delta q_{ij} \to g_j\,\Delta q_{ij}\,g_i^{-1},\quad g_i\in SU(2)$$
   • U(1) $$w_i\to e^{i\alpha_i/2}w_i,\quad \Delta w_{ij}\to e^{i\alpha_j/2} \Delta w_{ij}e^{-i\alpha_i/2},\quad \alpha_i\in\mathbb R$$
   • SU(3) $$\Xi_{o\alpha} = \Delta q_{o\alpha}\,e^{-i g_s\mathcal G_{o\alpha}} \;\to\; U_o\,\Xi_{o\alpha}\,U_o^{-1},\quad U_o\in SU(3)$$
2. 공변 도함수
   • SU(2) $$D_\mu q_i = \tfrac{1}{2l_p}\bigl[\log(\Delta q_{i+\mu,i})-\log(\Delta q_{i-\mu,i})\bigr] \;\xrightarrow{g_i}\; g_i\,D_\mu q_i\,g_i^{-1}$$
   • U(1) $$D_\mu w_i \approx \frac{\Delta w_{i,i+\mu}\,w_i - w_i}{l_p} \;\xrightarrow{\alpha_i}\; e^{i\alpha_i/2}\,D_\mu w_i$$
   • SU(3) $$D_\alpha\psi_o = \Xi_{o\alpha}\,\psi_o - \psi_o, \quad \psi_o\to U_o\psi_o$$
3. 게이지 장·작용 항
   • SU(2) 격자 커브처  $$F_{\Box}=\prod_{\ell\in\Box}\Delta q_\ell$$ $$\mathcal L_{SU(2)}\supset -\frac1{2g_2^2}\sum_{\Box}\mathrm{Tr}(F_{\Box}-\mathbb I)^2$$
   • U(1) 플라켓 액션 $$\Phi_{\Box}=\sum_{(ij)\in\Box}\arg \Delta w_{ij}$$ $$\mathcal L_{U(1)}\supset -\beta\sum_{\Box}\cos\Phi_{\Box}$$
   • SU(3) Yang–Mills $$G_{\Box}=\prod_{\ell\in\Box}\Xi_\ell$$ $$\mathcal L_{SU(3)}\supset -\frac1{2g_s^2}\sum_{\Box}\mathrm{Tr}(G_{\Box}-\mathbb I_3)^2$$