기본 가정 및 공리 (v1.0)

 

A1. 근원적 실재: Void와 Qaether

1. Qaether는 우주를 구성하는 공간의 최소단위 셀이다. (Quantum Aether)
   • 플랑크 스케일인 반지름 \(l_p\)의 구형 셀로 FCC lattice의 lattice site에 배치됨.
   • 셀당 최대 12방향으로 다른셀과 결합 가능하며, 결합은 에너지 해소이자 공간의 발생 조건.
2. Qaether 구체 표면적
   • Qaether 구체의 반지름을 \(r_p = l_p\)라 하면, 셀 하나의 전체 표면적(total surface area)은\(\mathfrak{A}_s \;=\; 4\pi\,r_p^2 \;=\; 4\pi\,l_p^2\)이다.
3. Void: 비공간 경계조건 
   • Void는 물리적 실체가 아니라, Qaether 시스템이 존재할 수 있는 영역의 한계를 규정하는 수학적 경계조건.
   • Qaether는 기본적으로 위상 에너지를 보유. 이 에너지로 인해 팽창하려하는데, Void 너머로는 팽창이 불가능하므로 Qaether 자체의 팽창 에너지가 내부 응력 또는 외부로 향하는 압력으로 전환되고, 이는 마치 경계면에서 100% 반사되는 것과 같은 효과 발생.
   • 즉, Void가 힘을 가하는 것이 아니라, Qaether의 팽창이 막히는 경계 조건.

 

A2. FCC 격자 구조

1. 1. Qaether는 Face-Centered Cubic 격자구조로 packing되어 있다고 가정.
2. 따라서 각 Qaether는 최대 12개의 최근접 이웃과 결합 가능하여 FCC 12방향의 단위벡터를 갖는다.
3. FCC 격자 구조를 선택한 이유
   • 최소 에너지 배치
     • Qaether도 플랑크 반지름 규모의 구형 셀로 모델링하므로, 서로 거리가 가까울수록 위상 상호작용 퍼텐셜이 강해집니다.
     • FCC 배치에서는 각 셀이 열두 개의 최근접 결합벡터를 갖고, 모든 결합 간 각도가 60° 또는 90° 등으로 균일해 위상차 퍼텐셜이 고르게 분포.
     • 결과적으로 격자 전체 위상 퍼텐셜 에너지가 최소화되므로, 에너지적으로 매우 안정한 상태.
   • 등방성(Isotropy) 복원
     • 장파장(long-wavelength) 근사에서 동역학이나 파동전파 속도등을 고려할 때, FCC는 미시적으로는 이산 격자지만, 장거리에서는 등방성을 가장 잘 복원. $$\lim_{\lambda \gg l_p} \to Lorentz \quad 유효 대칭$$
     • 이는 시방향에 따라 물리량(전파 속도, 스핀 상호작용 에너지 등)이 다르게 나타나지 않고, 모든 방향에서 동일하게 보인다는 의미로, 에너지 벌크(전체 평균 에너지 분포)가 균일하다는 뜻.

 

A3. Qaether의 수학적 정의

각 Qaether \(i\)는 다음과 같은 상태벡터로 정의됨:

$$Q_i = \left(\phi_i,\; \{\hat{b}_{ij}\}, \; k_i,\; \hat{z}_i\right) $$

1. 위상: \(\phi_i\)
   • 각 Qaether 셀이 갖고 있는 “내부 진동 상태”를 나타내는 주기적 순환 변수로 마치 파동이 위상을 갖는것 처럼 각 셀 내부에는 \(\phi_i\)만큼의 위상 상태가 존재한다고 가정 
   • 불연속 양자화: 위상차 \(\Delta \phi_{ij} = \phi_{i} - \phi_{j}\)가 반드시 \(\pi/3\)단위로 양자화됨.
   • 물리적 상호 매개체: 위상차의 양자화가 전자기·색전하·스핀·토폴로지 결함을 결정짓는 핵심 전제이며 관계적 시간의 기준
   • 이산 위상미분 형태 $$\ddot \phi_i = \frac{\phi_i^{N+1}-2\phi_i^N+\phi_i^{N-1}}{t_p^2} $$ $$\dot \phi_i = \frac{ \phi_i^N-\phi_i^{N-1} }{t_p} $$
     • \(t_p\)는 플랑크시간. Qaether의 유효 시간 \(t_q\)을 정의하고 아래 동기화 항목에서 풀어보면 두 값이 같아지기 때문에 플랑크시간으로 대체
2. 결합벡터 집합: 셀간의 결합방향 벡터의 집합 \(\{\hat{b}_{ij}\}\)
   • 결합벡터합 \(B_i\) $$ B_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \, \hat{b}_{ij} $$
   • 결합수 \(m_i = |\{\hat{b}_{ij}\}|\) 
     • \(0 \le m_i \le 12\)의 조건을 만족해야하기 때문에 \(|\{\hat{b}_{ij}\}| \le 12\)
   • 이를 이용해서 이후에 계산할 결합유효압력 \(P_i(m_i)\)를 정의 가능. 
3. 각주파수 상수: \(k_i\)
   • 각주파수 \(\Omega_i(k_i)={2\pi c }/{ k_i l_p } \) 이다.
   • 플랑크 스케일에서 최소 파장이 \(l_p\)이고 정수(\(k_i\))배로 증가한다는 조건에서 유도
   • 최소파장 컷오프(UV Cutoff)
     
     • 각 \(k_i\in\mathbb{Z}^+\)에 대응하는 파장은 \(\lambda_i \;=\; k_i\,l_p\) 이므로, \(\lambda_i\ge l_p\) 인 모드만 허용됩니다. 이는 이론적으로 플랑크 길이\(l_p\) 이하의 초단파장 발산을 자동 차단하는 자연스러운 UV 컷오프 역할
   • 각 Qaether 셀의 내부 위상 진동 에너지는
     $$E_i = \hbar \Omega_i = \hbar \frac{2\pi c}{k_i l_p}$$​
     이며, 위상 에너지 밀도는
     $$u_{\phi,i} = \frac{E_i}{\mathfrak{A}_s} = \frac{\hbar \Omega_i}{\frac43\pi l_p^3}$$​​
     로 정의된다.
4. 스핀축 : \(\hat{z}_i\)
   • 결합 안정화와 자유도 최대를 위해 수직축 선택$$\hat{z}_i = \frac { D_i \times B_i }{ || D_i \times B_i || } \quad (단, D_i \times B_i =0 이면 \frac { D_i }{ ||D_i|| })$$ $$ D_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \Delta \phi_{ij} \, \hat{b}_{ij} $$ 

 

A4. 결합 위상 조건

$$\Theta_ℓ\;=\;\sum_{j\in ℓ}\Delta\phi_{ij}, \quad \Theta_ℓ=2\pi\,n_ℓ,\; \quad n_ℓ\in\{-1, 0, 1\}$$

여기서 ℓ은 삼각Δ 또는 사각□ 루프이며 비루프 링크는 국소 위상합 계산에서 제외

1. 위상 양자화 :$$\Delta\phi_{ij} \;\in\; \mathbb{Z}_6\,\cdot \frac{\pi}{3} \;\;=\;\;\Bigl\{\;0,\;\pm\tfrac{\pi}{3},\;\pm\tfrac{2\pi}{3},\;\pm\pi\Bigr\}$$
2. 위상 양자화 상태가 에너지 안정화 상태
3. \(n_i\neq0\) 일 때 국소 위상 불일치 발생
4. 투영 평면 결정과 결합순서
   • 투영평면
     • 각 셀 에서 결합벡터 순서를 정하는 기준 평면은 A3의 스핀 \(\hat{z}_i\)에 직교하는 평면
     • 단, 셀 i의 스핀축이 0일 경우에는 국소 (111) 평면
   • 결합방향은 시계방향을 (+), 반시계방향을 (-)로 한다.

 

A5. 결합 패턴 및 위상차 제약

1. 기본루프 정의
   • 루프를 이루는 링크는 A4 결합위상조건의 위상 양자화 조건을 따르지만 위상차가 0인 경우와 \(\pi\)인 경우는 미리 다음과 같이 정의하도록 한다.
     • 링크의 값이 0인 경우 (위상차가 0인 경우)는  에너지 불일치가 없는 완벽히 동기화된 안정적인 결합
     • 링크의 값이 1/2인 경우 (위상차가 \(\pi\)인 경우)는  순환위상이 반대가 되어 결합점에서 위상파가 정지파를 만들기 때문에 이 결합점에서 위상파 반사도 발생하지 않는다. 따라서 에너지 덩어리가 일정한 위치에 고정되어 입자처럼 보일수 있다.
   • 삼각루프(Δ, 트라이앵글릿, \(\ell_3\))
     • 구성: 3개의 링크가 닫힌 형태.
     • 위상 폐합식:$$\sum_{(a\,b)\in\ell_3} \Delta\phi_{a b} \;=\; 2\pi\,n_{Δ}, \quad n_{Δ}\in\{\,-1,\,0,\,+1\,\}$$
     • \(n_{Δ}\)를 삼각루프 지수라 부른다.
     • \(n_{Δ}=0\) → \((-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}), (\frac{2\pi}{3},-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3})\)인 패턴과 링크 하나의 위상차가 0인 패턴
       \(n_{Δ}=\pm1\) → \((-\frac{2\pi}{3},-\frac{2\pi}{3},-\frac{2\pi}{3}), (\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3})\) 인 패턴과 링크 하나의 위상차 값이 \(\pi\)인 패턴
   • 사각루프(□, 플라켓, \(\ell_4\))
     • 구성: 4개의 링크가 닫힌 형태.
     • 위상 폐합식(일반형):$$\sum_{(a\,b)\in\ell_4} \Delta\phi_{a b} \;=\; 2\pi\,n_{□}, \quad n_{□}\in\{\,-1,\,0,\,+1\,\}$$
     • 사각플라켓 지수 \(n_{□}\in\{-1,0,1\}\)
     • \(n_{□}=0\) →무스핀·무색전하(국소 평탄)
   • 스피너루프 (Spinner \(\ell_s\))
     • 구성: 기본 플라켓 ℓ₄ (F₁→Q₁→F₂→Q₂→F₁)를 Q₁–Q₂ 축을 기준으로 90° 비평면 회전(플라켓 접기)
     • 링크 및 위상조건
       • Q₁–Q₂: 직접 결합 불가 (링크 없음)
       • F₁–F₂: 위상차 항상 \(\pi\)
       • 각 변 \(\Delta\phi\) 합산:$$\sum_{(ab)\in\ell_4} \Delta\phi_{ab} \;=\; 2\pi \quad(\text{플라켓 자체 순환})$$
     • 90° 꺾임 보정 (기하학적 홀로노미 상수: \(\alpha\))
       • 비평면 회전 각 \(\alpha=\tfrac{\pi}{2}\)에 대응하는 추가 위상 $$\Phi_{\rm bend}=\tfrac{\pi}{2}$$
     • 전체 위상 홀로노미$$\Phi_{\rm total} =2\pi\;(\text{플라켓})\;+\;\Phi_{\rm bend}\times2 =2\pi+2\times\frac\pi2 =4\pi$$ (구조 대칭상 90° 꺾임이 두 번 반영됨)
     • 스핀 특성
       • SU(2) 홀로노미: \(4\pi\) 회전 후에야 자명성(identity)
       • \(2\pi\) 회전 시점에는 파동함수 부호 반전 → 스핀½ 입자 특성 →위상합이 \(\pm4\pi\) (스핀½·색전하 패치)
       • 특히, 스핀 공액운동량 \(\pm\tfrac{\hbar}{2}\)과 색전하 Cartan 성분 \(\displaystyle C^3=\pm\tfrac12,\;C^8=\pm\tfrac{1}{2\sqrt3}\)를 동시에 부여할 수 있다(자세한 정의는 A9, A11 참조)
2. 입체 구조별 “겉넓이 플럭스 보존” 조건
   • 플럭스 보존이란, 하나의 닫힌 입체(Polyhedron)를 구성하는 모든 면의 루프 지수 합이 ‘0’이어야 한다는 뜻이다. 각 모서리(링크)의 위상차는 두 면 간에 공유되기 때문에, 모든 면 방정식을 더하면 내부 공유 링크들의 \(\Delta\phi\)항은 상쇄된다. 결과적으로 “오직 외부 면(겉넓이)의 합만” 남아야 위상적으로 결함(monopole)이 없는 상태가 된다.
   • Tiara (정사면체)
     • 구성면: 4개의 트라이앵글릿 \(\ell_{3,1},\ell_{3,2},\ell_{3,3},\ell_{3,4}\)
     • 플럭스 보존:$$\sum_{k=1}^4 n_{\Delta_k} \;=\; 0, \quad n_{\Delta;_k}\in\{\,-1,0,1\}$$
     • 예제: \((\,n_{Δ_1},n_{Δ_2},n_{Δ_3},n_{Δ_4}\,)=\{(1,1,-1,-1),(1,-1,0,0), (0,0,0,0)\}\)
     • 구현 불가: (1,1,1,1) 등 합 \(\neq0\) 조합.
   • Pyramid (정사각뿔)
     • 구성면: 4개의 트라이앵글릿 \(\ell_{3,1},\dots,\ell_{3,4}\) + 1개의 플라켓 \(\ell_{4}\) (밑면).
     • 플럭스 보존:$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k} \;+\; 2\,n_{□} \;=\; 0, \quad n_{□}\in\{\,-1,0,1\}$$
     • 플라켓 \(n_{□}=\pm1\)일 때, 트라이앵글릿 합 \(\sum n_{Δ}=-2n_{□}\)
     • 해 예시 (스핀/색 발생용):$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k}=-2$$ 예: \((n_{Δ_1},n_{Δ_2},n_{Δ_3},n_{Δ_4})=(-1,-1,0,0)\)
       • \(n_{□}=-1\) 일 때 \(\sum n_{Δ}=+2\) 예: (1,1,0,0)(1,1,0,0).
     • 해 예시 (평탄): \(n_{□}=0,\;\sum n_{Δ}=0\). 예: (1,-1,1,-1) 등.
   • Diamond (정팔면체)
     • 구성면: 8개의 트라이앵글릿 \(\ell_{3,1},\dots,\ell_{3,8}\)
     • 플럭스 보존:$$\sum_{k=1}^{8} n_{Δ_k} \;=\; 0.$$
     • 해 예시:
       • 4개 면 \(n_{Δ}=+1\), 4개 면 \(n_{Δ}=-1\) (합 0).
       • 모두 0인 면 8개 (완전 평탄).
3. 패턴별 구체 예시

패턴	플럭스 보존식	허용루프	권장링크	물리적구성
Tiara (정사면체)	$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k}=0$$	• (1,1,–1,–1), (1,–1,0,0), (0,0,0,0)	• 대부분 링크 \(\Delta\phi=0,\pm\pi/3\) • \(\pm2\pi/3·\pm\pi\) 가능하나 고에너지	플라켓 없음 → 스핀·색전하 없음
Pyramid (정사각뿔)	$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k} + 2\,n_{□}=0$$	• \(n_{□}=1\)→ \(\sum n_{Δ}=-2\) 예: (–1, –1, 0, 0 ∥ □:+1) •\(n_{□}=–1→ \sum n_{Δ}=+2\) 예: (1, 1, 0, 0 ∥ □:–1) •평탄: \(n_{□}=0,\;\sum n_{Δ}=0\) 예: (1, –1, 1, –1 ∥ □:0)	• 밑면 □ 링크: \(\Delta\phi=\pm\pi\) (스핀½·색전하 패치) • 트라이앵글릿 면 링크: \(0,\pm\pi/3\) (저에너지) • \(\pm2\pi/3·\pm\pi\) 가능하나 고에너지	쿼크 원형 셀 → 플라켓 \(n_{□}=\pm1\)일 때 스핀½·색전하 구현
Diamond (정팔면체)	$$\sum_{k=1}^8 n_{Δ_k}=0$$	• (+1 × 4번, –1 × 4번) • (0,0,0,0,0,0,0,0) • 기타 (+1 × n, –1 × n, 나머지 0) 단 \(n_{+}=n_{–}\)	• 대부분 링크 \(\Delta\phi=0,\pm\pi/3\) • \(\pm2\pi/3·\pm\pi\) 가능하나 고에너지	플라켓 없음 → 스핀·색전하 없음 바리온 중성 셸 등 활용 가능

 

※ 플라켓의 고에너지 위상 패턴과 입체적 안정성

• 플라켓(평면 루프)에서 \(\pm2\pi/3·\pm\pi\) 등 고에너지 위상차가 나타나는 경우, 플라켓이나 트라이앵글릿 개별적으로는 에너지적으로 불안정한 결함일 수 있다.
• 그러나 FCC 격자의 입체 결합 구조에서는 여러 루프와 다면체(정사면체, 정사각뿔, 정팔면체 등)가 동시에 결합하며 전체 플럭스 보존·위상합 조건을 만족하기만 하면, 이러한 고에너지 패턴조차도 다른 루프/플라켓의 위상과 상호 보상·상쇄되어 입체적으로 안정된 입자/색전하/스핀 패턴으로 존재할 수 있다.
• 즉, 부분적으로는 고에너지 결함이어도, 전체 격자 입체 결합에서 물리적으로 안정적인 구조가 될 수 있음을 유의해야 한다.

 

A6. 유효 시간 정의 및 동기화

• 의미 있는 최소 물리사건 (\(\Delta \phi = \pi/3\))은 플랑크 시간 \(t_p\)동안 발생한다. $$\boxed{t_q = t_p}$$ 따라서 $$c_\phi = \frac{l_p}{t_p}=c$$

 

A7. 전역 시간 정의 (Einstein 동기화 프로토콜)

1. Phase Pulse 전송·반사
   • 기준 셀 r이 크기 \(\Delta \phi = \pi/3\) 위상 펄스를 셀 i로 발사(send)하고, i가 이를 즉시 반사(reflect)하여 되돌려보낼 때의 왕복 소요시간을\(t_{r\leftrightarrow i}\)로 정의한다.
2. 동기 오프셋 계산
   • 왕복 시간이 유한 속도 \(c_\phi=c\) 에 의해 측정되므로, 셀 i와 r 사이의 시간 오프셋을\(\Delta t_i \;=\;\tfrac12\,t_{r\leftrightarrow i}\)로 취한다.
3. 전역 시간 좌표 부여
   • 각 셀 i에서의 글로벌 시각 \(t_i\)는, 셀 r의 발사 시각 \(t_r\)에 오프셋을 더한 값으로 일관되게 정의된다:$$t_i \;=\; t_r \;+\;\Delta t_i$$
   • 이 절차를 격자 전체에 적용하면, 모든 국소적 위상 펄스 측정을 통해 전역 Qaether 시간이 인과율을 보존하며 동기화된다.

 

A8. Qaether의 결합 유효 압력

1. 결합 하나당 Void 압력 해소 면적
   • 셀이 다른 Qaether와 결합할 때 두 구형이 접촉하게 된다. 이 접촉부를 단위 면적 \(\mathfrak{A}_b\)로 근사.
   • 실제 구면 접촉형태는 spherical cap이지만, 플랑크 스케일에서 모델 단순화를 위해 “결합 하나당 막히는 면적”을 모두 동일한 상수 \(\mathfrak{A}_b\)로 가정.
   • 일반적으로$$0 < \mathfrak{A}_b \;\ll\; \mathfrak{A}_s \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha \;\equiv\; \frac{\mathfrak{A}_b}{\mathfrak{A}_s} \;\ll\; 1$$
2. 미결합 경계면 면적
   • 셀이 실제로 \(m_i\)개 이웃과 결합했다면, 그만큼의 면적 \(m_i\,\mathfrak{A}_b\)가 막힌 상태이다.
   • 따라서 반사 가능한 빈 경계면 총 넓이는$$\mathfrak{A}_i(m_i) = \mathfrak{A}_s \;-\; m_i\,\mathfrak{A}_b = (1-\alpha \; m_i) \mathfrak{A}_s$$
   • 이때, FCC 구조에서 최대 결합 수 \(m_i=12\)이고 플랑크 스케일에서 \(\mathfrak{A}_s \gg 12 \, \mathfrak{A}_b\)이기 때문에 \(\alpha \ll \frac{1}{12}\)이다.
3. 반사 압력 모델
   • 단위 면적당 위상파가 100% 반사될 때 받는 압력을 \(p_0\)라 정의한다. (단위: 압력)
   • \(p_0\)의 단위는 압력(즉, 에너지 밀도)이며, 위상파 에너지 밀도 \(u_\phi\)가 주어지면 \(p_0=2u_\phi\)와 같은 형태로 정의할 수 있다. (위상파 속도 c 가정)
   • \(p_0\)는 외부 위상펄스 세기의 함수로 볼 수 있으며, 모델링 목적에 따라 상수 혹은 국소 \(\phi\)분포에 따라 달라질 수 있다
   • 이 \(p_0\)를 기준으로 셀 i가 받는 기저 압력(경계 압력) \(P_i(m_i)\)는 반사 가능한 면적 비율에 비례하여$$ P_i(m_i) \;=\; p_0 \;\frac{\mathfrak{A}_i(m_i)}{\mathfrak{A}_s} \;=\; p_0\,\Bigl(1 \;-\;\alpha\,m_i\Bigr),  \quad \alpha = \frac{\mathfrak{A}_b}{\mathfrak{A}_s}$$
   • 최대, 최소 압력
     • \(m_i=0\)일 때 \(P_i(0) = p_0\) (최대 압력),
     • \(m_i\)가 클수록 \(P_i(m_i)\)는 선형적으로 감소하며,
     • FCC 구조 최대 결합 수(예: \(m_i\le12\)) 범위에서 \(P_i(m_i)\ge p_0(1 - 12\alpha)\)이 되어 음수가 되지 않는다.
4. 종합하자면 Void에 의한 경계효과로 Qaether 자체는 항상 기저 압력을 갖게 되고 이 기저압력은 격자 내에서 국소적으로 공간을 휘게 하여 유효 곡률을 만들고, 그 결과로 ‘기저 질량 조건’을 얻게 된다.(자세한 내용은 A9 참조) 
5. 다만, 플랑크스케일임을 감안하여 \(\alpha \approx 0\)이라고 가정하면 \(P_i(m_i) = p_0\)로 대체 가능하다. 

 

A9.  스핀의 정의

1. 기본 공액운동량

$$L_i \;=\; I_i(m_i)\,\dot\phi_i \quad,\quad I_i(m_i)=I_0\Bigl(1-\eta\,\frac{m_i}{12}\Bigr)$$

$$[L_i]=\hbar$$
\(\phi\);의 시간 변화가 곧 공액운동량.

 

2. 스피너 루프의 이산 기하

셀 i의 4-링크 플라켓(loop)으로 \(Q_1-Q_2\)를 기준으로 사각형 면이 90도 꺾임:

$$F_1(i)\xrightarrow{\ell_1}Q_1(i)\xrightarrow{\ell_2}F_2(i)\xrightarrow{\ell_3}Q_2(i)\xrightarrow{\ell_4}F_1(i)$$

각 링크 위상 차분

$$\Delta\phi_i^{(k)} =\phi_{\mathrm{head}(\ell_k)}-\phi_{\mathrm{tail}(\ell_k)}, \quad k=1,\dots,4$$

모두 \(2\pi\) 주기.

 

3. 국소 4성분 스피너장

$$\Psi_i =\begin{pmatrix} \psi_i^{(1)}\\[0.3em] \psi_i^{(2)}\\[0.3em] \psi_i^{(3)}\\[0.3em] \psi_i^{(4)} \end{pmatrix},\qquad \psi_i^{(k)} =\exp\!\Bigl(\tfrac{i}{2}\,\Delta\phi_i^{(k)}\Bigr)$$

• 절반 위상을 취해, 한 루프(4 링크)에서 위상 합 \(2\pi\) 시 (예시)
  $$\prod_{k=1}^4\psi_i^{(k)}=e^{i\pi}=-1 (스핀플립)$$

 

4. 스핀 회전 연산자 \(S(\theta)\)

링크 위상을 모두 \(\theta\)씩 더함:

$$S(\theta)\Psi_i =\exp\!\bigl(\tfrac{i}{2}\theta\bigr)\,\Psi_i$$

• 360° (\(2\pi\)): \(S(2\pi)\Psi_i=-\Psi_i\) → 부호 반전
• 720° (\(4\pi\)): \(S(4\pi)\Psi_i=+\Psi_i\) → 완전 복귀

→ SU(2) 이중 덮개 구조 확보.

 

5. 전체 루프 위상과 입자·반위상 (일반화된 분류기준)

$$\Phi_i=\sum_{k=1}^4\Delta\phi_i^{(k)}, \quad \prod_{k=1}^4\psi_i^{(k)} =\exp\!\Bigl(\tfrac{i}{2}\Phi_i\Bigr)=\;e^{i\pi n_i}$$

• 홀수 \(n_i = \pm1 \)$$\Phi_i=\pm2\pi \;\Longrightarrow\; \prod\psi_i=-1$$→ 반정수 스핀, 즉 페르미온 모드 (반페르미온 포함)
• 짝수 \(n_i = 0, \pm2 \)$$\Phi_i=0,\,\pm4\pi \;\Longrightarrow\; \prod\psi_i=+1$$→ 정수 스핀, 즉 보손 모드 (스칼라·벡터·고차 스핀 등)
• 예시
  • \(n_i=+1\) (\(\Phi_i=2\pi\)) → 스핀½ (페르미온)
  • \(n_i=-1\) (\(\Phi_i=-2\pi\)) → 스핀½ (반페르미온)
  • \(n_i=+2\) (\(\Phi_i=4\pi\)) → 스핀1 (보손 벡터 모드)
  • \(n_i=0\) (\(\Phi_i=0\)) → 스칼라 모드

 

6. 스핀 벡터

각 링크 방향 \(\hat b^{(k)}\)를 쓰면

$$\mathbf s_i^{(k)} =\frac{\hbar}{4\pi}\,\Delta\phi_i^{(k)}\,\hat b^{(k)}, \quad \mathbf S_i =\sum_{k=1}^4\mathbf s_i^{(k)} =\frac{\hbar}{4\pi}\,\Phi_i\,\hat n_i =\frac{\hbar}{2}\,n_i\,\hat n_i$$

여기서 \(n_i=\Phi_i/2\pi\in \{-2,-1,0,1,2\}\).

• \(n_i=\pm1\) 일 때 \(|\mathbf S_i|=\hbar/2\), 이중 덮개 완성.

 

7. 식별자 요약

항목 수식 의미

공액운동량	$$L_i=I_i\dot\phi_i$$	\(\phi\)의 시간 미분
스피너 컴포넌트	$$\psi_i^{(k)}=e^{\frac{i}{2}\,\Delta\phi_i^{(k)}}$$	절반 위상을 성분으로
회전 연산자	$$S(\theta)\Psi=e^{i\theta/2}\Psi$$	회전→절반 위상 획득
360° 회전	$$S(2\pi)=-1$$	스핀½ 부호 반전
720° 회전	$$S(4\pi)=+1$$	완전 복귀
전체 위상	$$\Phi_i=\sum\Delta\phi$$	루프 위상 합
입자/반입자	$$\Phi_i=\pm2\pi$$	위상/반위상 모드
스핀 벡터	$$\mathbf S_i=\tfrac\hbar2 n_i\hat n_i$$	반정수 스핀

 

8. 동역학과 통합

• \(\phi\)동역학: 기존 Kuramoto 유사 방정식 그대로 유지
• 스핀·페르미온 분석: 필요 시 위상 차분에서 \(\Psi_i\)구성 후$$(i\gamma^\mu\Delta_\mu^{(\phi)}-m)\,\Psi_i=0$$형태의 이산 디랙 방정식으로 다룸.

 

A10. 전하 연산자 정의

1. 전하는 링크가 아니라, 닫힌 면(face)에 귀속됩니다.
2. 트라이앵글릿·플라켓 면들이 모여 입자를 이루므로, 면의 전하가 곧 물리적 전하입니다.
3. 쉽게 설명하면 전하는 링크 단위 분수 전하를 매긴 뒤, 닫힌 면(face)의 전하 합으로 입자의 전하를 정의합니다.
   이렇게 하면 면이 모여 공간을 닫고 입자가 형성된다는 Qaether 이론의 물리적 직관이 그대로 반영됩니다.
4. 링크별 분수 전하 할당
   • 트라이앵글릿 결합 링크 $$q_{ij} = \frac{e}{3}\,\operatorname{sgn}(\Delta\phi_{ij}), \quad \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}+1&(x>0),\\0&(x=0),\\-1&(x<0)\end{cases}$$
   • 플라켓 결합 링크 \((ij)\in\ell_4\) $$q_{ij} = \frac{e}{4}\,\operatorname{sgn}\bigl(\Delta\phi_{ij}\bigr)$$
   • 그 외 링크: \(q_{ij}=0\)
5. 닫힌 면(face) 전하
   • 트라이앵글릿 면 \(\ell_3\) 에 부여된 전하는$$Q_{\ell_3} = \sum_{(ij)\in\ell_3}q_{ij} \;\in\;\{-e,\,-\tfrac{e}{3},\,0,\,\tfrac{e}{3},\,e\}$$
   • 플라켓 면 \(\ell_4\) 의 전하는$$Q_{\ell_4} = \sum_{(ij)\in\ell_4}q_{ij} \;\in\;\{-e,\,-\tfrac{e}{2},\,0,\,\tfrac{e}{2},\,e\}$$
6. 셀 전하 연산자
   셀 \(i\) 의 물리적 전하는 인접한 모든 닫힌 면의 전하 합으로 정의합니다.$$ Q_i \;=\;\sum_{\substack{\ell\ni i\\\ell=\ell_3,\ell_4}} Q_{\ell} $$
   • 열린 결합과 3·4 외의 면에는 전하가 없습니다.
   • 이렇게 모인 면 전하들이 공간을 봉쇄(closed)하며 입자를 형성합니다.
7. 비교: 기존 전하 개념과의 차이
   • 전통적 전하 연산자는 점 입자나 링크 중심이지만,
   • Qaether 모델에서는 “면” 단위로 전하가 생성·집적되어야 공간 폐합이 일어나고 입자가 드러납니다.

 

A11. 색전하 연산자 정의

1. 입자의 기본패턴 정의
   • 글루온
     • 구조: 'Y-자 '3 선 링크
     • 역할: 결합시 3개의 링크에 위상차를 결정하여 전체 입체 구조의 위상차를 결정
     • 특징: 글루온의 위상차 값이 결정되면 결합 규칙에 따라 입자의 전체 위상차 값이 결정
   • 전자
     • 구조: 스피너 패턴 (접힌 플라켓 □ 1개)
     • 역할: 결합된 입자에 1/2 스핀을 부여하며 각 Qaether cube의 1/12 덮개 형성
   • 업쿼크
     • 구조: 글루온 1개에 의해 스피너 패턴 3개가 결합하여 입체폐합
     • 역할: 결합된 입자는 각 Qaether cube의 1/4 덮개 형성
   • 다운쿼크
     • 구조: 글루온 1개에 의해 업쿼크 두개가 결합하여 입체폐합
     • 역할: 결합된 입자는 각 Qaether cubd의 1/2 덮개 형성
   • 모든 위상차는 \(\Delta \phi_{ij} = m_{ij} \cdot \pi /3 \quad ( m_{ij} \in ℤ_6 ) \) 로 양자화된다.
2. 쿼크 셀들 간의 기본 결합 패턴 - 기본 3색
   • \(C^3,C^8\)는 SU(3)의 대각 성분으로, 색전하 공간에서 기본 색상(R,G,B)의 방향을 구분하는 역할을 한다.

     셀 색	플라켓 위상합 \(\mathfrak{S}_{\mathcal C}\)	\(Cartan (C^{3},C^{8})\)
     R	\(+2\pi\)	\((+\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3})\)
     G	\(-2\pi\)	\((-\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3})\)
     B	0	\((0,\;-\tfrac1{\sqrt3})\)

     $$\mathfrak{S}_{\mathcal{C}} \;=\sum_{\ell^{4}\,\subset \mathcal{C}} \sum_{(ij)\in \ell^{4}} \Delta\phi_{ij} \;, \qquad \mathfrak{S}_{\mathcal{C}} \;\in\; \{\,+2\pi,\;0,\;-2\pi\,\}$$
3. 플라켓 (□) ↔ 색 \(C^{3}\)
   • 독립 플라켓
     • 플라켓이 다른 셀 또는 링크와 결합되지 않고 홀로 존재할때는 기존의 위상 양자화 조건을 따른다.
   • 글루온과 결합된 플라켓
     • 각 플라켓의 색전하는 반드시 최소 하나 이상의 글루온 링크와 연결되어 있어야만 외부로 색전하를 전달할 수 있다. 
     • 플라켓이 글루온과 결합하여 폐합 결합루프를 만들면 다음 식을 만족한다. $$\sum_{(ij)\in\ell_{4}}\!\Delta\phi_{ij}=2\pi n_{\ell_{4}}, \quad n_{\ell_{4}}\in\{-1,0,+1\}$$ $$n_{\ell_{4}}=\pm1,0 \quad →  \quad C^{3}=\pm\frac12,0$$
4. 글루온 = ‘Y-자 3 선’ 위상 패턴
   • 세 링크가 일직선으로 배열, 위상차 집합
     $$\bigl\{\pm\pi,\;\pm\frac{2\pi}{3},\;\pm\frac{\pi}{3},0\bigr\}$$
     를 한 번씩 사용.
   • 합은 항상 0이 되어야 한다: (\(\Delta\phi_{1}+\Delta\phi_{2}+\Delta\phi_{3}=0\))
5. 글루온 8 상태

   글루온 8 상태	\(C^3\)	\(C^8\)	\((\Delta\phi_{1},\Delta\phi_{2},\Delta\phi_{3})\)
   \(G^{R\bar G}\)	+1	+\(\frac1{\sqrt3}\)	$$(+\pi,\;-\tfrac{2\pi}{3},\;-\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{G\bar R}\)	-1	-\(\frac1{\sqrt3}\)	$$(-\pi,\;+\tfrac{2\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{G\bar B}\)	+\(\frac12\)	+\(\frac1{\sqrt3}\)	$$(+\tfrac{2\pi}{3},\;-\tfrac{\pi}{3},\;-\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{B\bar G}\)	-\(\frac12\)	-\(\frac1{\sqrt3}\)	$$(-\tfrac{2\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{R\bar B}\)	-\(\frac12\)	+\(\frac2{\sqrt3}\)	$$(-\tfrac{\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3},\;0)$$
   \(G^{B\bar R}\)	-1	0	$$(-\tfrac{2\pi}{3},\;+\tfrac{2\pi}{3},\;0)$$
   \(\lambda_3\)(diag)	+1	0	$$(+\pi,\;-\pi,\;0)$$
   \(\lambda_8\)(diag)	0	0	$$(0,\;0,\;0)$$

   
   
   • 색전하 1단위 이동
     • 한 링크의 \(m_{ij}\)를 \(\pm6\) 변환하면 $$\Delta\phi_{ij}\to\Delta\phi_{ij}\pm2\pi$$ 인접 플라켓(loop) 하나의 위상합$$\mathfrak{S}_{\ell_4}=\sum_{(ij)\in\ell_4}\Delta\phi_{ij}$$만큼 바뀝니다.
     • 이로써 해당 셀의 Cartan 색전하 성분이 \(\Delta C^3=\pm\tfrac12\)​ (또는 \(\Delta C^8=\pm\tfrac1{\sqrt3}\)​) 만큼 이동하며, 글루온 하나가 “방출” 또는 “흡수”되어 색전하 1단위를 옮깁니다.
6. 국소 Gauss 법칙 (색유량 보존) $$\sum_{(ij)\in\partial\mathcal C}E_{ij}^{a}=C_{\mathcal C}^{a},\qquad E_{ij}^{a}=\frac{\Delta \phi_{ij}}{2\pi}\,\varepsilon^{a},\quad a=3,8$$
   • 여기서 \(\varepsilon^{3}=(1,-1,0),\; \varepsilon^{8}=(1,1,-2)/\sqrt3\) 은 색공간 단위벡터
   • 따라서 경계로 나간 위상 차분 합 = 내부 색전하
7. 결합 계층 & 색중성

구조	위상조건	의미
링크	\(\Delta m=\pm6\)	글루온 플럭스 튜브
플라켓	\(\sum m=\pm12,0\)	\(F_{\mu\nu}\) 패치
셀	\(\mathfrak{S}=2\pi n\)	쿼크 색전하
Y 결합	$$\mathfrak{S}_R+\mathfrak{S}_G+\mathfrak{S}_B=0$$	바리온
\(q\bar q\)	$$\mathfrak{S}+ \mathfrak{\bar S}=0$$	메손
링크 루프	외부 셀 없음	글루볼

 

 

A12. 위상-스핀 동역학 방정식

1. 게이지 공변 위상차 $$\Delta\phi_{ij}^{\rm tot} =\bigl(\phi_j-\phi_i\bigr) \;-\;q_e\,A_{ij} \;-\;g\,\vec C_i\!\cdot\!\vec A_{ij}$$
   • \(A_{ij}\): U(1)링크 전자기 퍼텐셜
     • 각 링크 \((ij)\)의 위상 결합 차분$$\Delta\phi_{ij}^{U(1)} = (\phi_j-\phi_i)-\Delta\phi_{ij}^{SU(3)}$$으로부터$$A_{ij} = \frac{1}{q_e}\,\Delta\phi_{ij}^{U(1)}$$연속 극한에서 $$A_{ij}\approx a\,\hat e_{ij}^\mu A_\mu(x)$$
     • 4-퍼텐셜 \(A_\mu\): $$A_\mu = (A_0,\,A_1,\,A_2,\,A_3) \quad\longleftrightarrow\quad \bigl(\phi_{\rm EM},\,\mathbf A\bigr)$$
       • \(A_0 = \phi_{\rm EM}\)​: 전기 퍼텐셜
       • \(\mathbf A = (A_1,A_2,A_3)\): 자기 퍼텐셜

1. • \(\vec A_{ij}\): SU(3) 게이지 링크 $$U_{ij}^{(3)}=\exp\bigl(i\,\Delta\phi_{ij}^{SU(3)}\bigr),\qquad A_{ij}^a=\frac{1}{g}\operatorname{Tr}\bigl[T^a\log U_{ij}^{(3)}\bigr]$$
   • \(\vec C_i\): 셀 i의 색전하 벡터
     • 인접 플라켓 \(\ell_4\) 위상합 $$\mathfrak{S}_C^\ell=\sum_{(jk)\in\ell_4}\Delta\phi_{jk}\in\{\pm2\pi,0\}$$ 에 대응해 $$(C_3,C_8)= \begin{cases} (+\tfrac12,+\tfrac1{2\sqrt3}),\\ (-\tfrac12,+\tfrac1{2\sqrt3}),\\ (0,-\tfrac1{\sqrt3}), \end{cases} \quad \mathbf C_i=\sum_{\ell_4\ni i}(C_3^\ell,C_8^\ell)$$
   • \(q_e,\,g\): U(1), SU(3) 결합상수
     • U(1): A10 전하 연산자 참조
     • SU(3): A11 색전하 연산자 참조
2. 복소링크장: $$\chi_{ij} \;\equiv\; e^{\,i\,\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}}, \qquad \chi_{ji} = \chi_{ij}^{-1}$$
3. 동역학 방정식: 각 Qaether 셀 \(i\) 의 위상 \(\phi_i\) 는 다음 방정식에 따라 진화한다. $$I_i(m_i)\,\ddot\phi_i = \sum_{j\in\mathcal N(i)} \Bigl[ K_{ij}\,\Im\chi_{ij} \;-\;U_0\,\Im\bigl(\chi_{ij}^6\bigr) \Bigr] \;-\; P_i(m_i)\,\mathfrak{A}_s\,l_p\;\sin\phi_i$$
   • \(\mathfrak{I}\) 의 의미는 \(\exp\bigl(i\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\bigr)\)의 허수부분만 취한다는 뜻
4. 커플링 상수
   $$\displaystyle K_{ij}=K_0\,\exp\!\bigl[\beta \; \frac{\;(m_i + m_j)}{2}\bigr]\bigl|\hat b_{ij}\cdot\hat n_{ij}\bigr|$$
   • 결합수 증가에 따라 공간 압력(\(P_i\))은 미미하게 감소할 수 있으나, FCC 격자·플랑크 스케일에서는 그 효과가 무시할 수준이므로, 본 이론에서는 공간 압력은 상수(\(p_0\))로 취급하고, 결합수 효과는 커플링 항(\(K_{ij}\))에만 반영한다.
   • 따라서 동역학, 에너지 분포, 위상 진화 등에서 결합수 변화는 압력 항과는 분리하여 해석한다.
   • 여기서 β는 결합수 증가에 따른 커플링 증폭률을 나타내는 무차원 상수로, 케이서 이론의 집단파동성과 연속 극한 복원을 위해 보통 0.03~0.08 범위에서 선택한다. 
   • 결합수가 많아질수록 격자의 국소 위상 동조가 강해지지만, β값이 과도하면 지나친 강결합·고체적 거동이 나타날 수 있으므로 적정 범위를 유지한다.
5. 미분정의: A7의 미분 정의를 따른다.

기호 & 형태	설명
$$I_i(m_i)\ddot\phi_i$$	관성항\(\displaystyle I_i(m_i)=I_0\Bigl(1-\eta\,\tfrac{m_i}{12}\Bigr)\)결합수 \(m_i\)에 따른 국소 관성 모멘트
$$K_{ij}\,\Im\chi_{ij}$$	위상 결합 항\(\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\)에 따른 기본 진동 커플링
$$-\,U_0\,\Im(\chi_{ij}^6)$$	위상 양자화 퍼텐셜\(\pi/3\) 간격의 위상 차 강제
$$-\,p_0\,\mathfrak{A}_s\,l_p\;\sin\phi_i$$	Void 유효 압력 복원력\(P_i\simeq p_0\) 근사, \(\mathfrak{A}_s=4\pi l_p^2\)