기본 가정 및 공리 (v1.1)

* 본 Qaether 이론은 실험적으로 검증되지 않은 유사 물리학 이론임을 미리 밝힙니다. 

 

도입: 철학적·직관적 배경 

우리는 흔히 “텅 빈 공간”이라 부르는 진공에 대해 아무 현실성 없는 ‘허상’이라 여기곤 한다. 고대부터 과학자와 철학자는 ‘진공이란 존재할 수 없는가?’를 물었고, 현대 물리학은 ‘양자 진공’ 개념을 통해 그 답을 더욱 복잡하게 만들었다. 그러나 그마저도 설명하지 못하는 궁극의 “무(無)”를 상정할 때, 우리는 다시 근본 질문에 되돌아간다.

 

“진정한 무(無)는 그 자체로 어떤 자유도도 허용하지 않는다. 그렇다면, 어떻게 우주는 이 무(無) 위에서 태어날 수 있었는가?”

 

선언: Void → Qaether → 공간·입자

1. Void = 절대적 경계조건, 완전한 무(無)
   • 공간·시간·장(field)·물리량 등 모든 자유도가 전혀 정의되지 않는 상태
   • 경계조건으로서 값이 완벽히 0으로 고정된, 계산조차 불가능한 “벽”
2. 100% 반사 경계
   • Void 경계는 Dirichlet 또는 Neumann 조건을 따르며, 무한대 장력으로 외부 진동·에너지를 전부 반사
   • 반사 과정에서 발생하는 운동량·에너지 변화는 경계 자체의 무형 장력이 흡수
3. 경계불일치 → 점상 결함 = Qaether
   • 서로 만나는 Void 경계 간 '전역 0 요구 간의 자기불일치'가 국소적 위상 결함으로 표면화
   • 이 결함이 플랑크 스케일 점상으로 응축된 것이 Qaether
4. Qaether 부피 근사
   • 각 Qaether를 플랑크 길이 \(l_p\)를 반지름으로 하는 구(sphere)로 근사
   • 등방성 보장 및 첫 근사 모델로서 충분한 정합성
5. 결합망 = 공간 구조
   • 억눌린 팽창 에너지를 해소하기 위해 Qaether들은 FCC 격자 12개 방향으로 링크를 형성
   • 결합망의 확장이 곧 공간의 생성과 팽창
   • Void가 가하는 억제 압력은 각 Qaether에 응력을 남기며, 이 응력 분포가 시공간 곡률(중력) 을 형성
6. 위상 연속성 & 2\(\pi n\) 조건
   • 각 Qaether는 연속적인 위상 \(\phi\)를 지니며, 결합 고리(loop)가 폐합될 때 위상 연속성을 보존해 본래 상태로 돌아오게 하고, 고리가 완전히 닫힐 때 토폴로지 결함을 남기지 않기 위한 격자 구조의 이산성 때문에 위상차 총합이 2\(\pi n\) 여야 토폴로지 결함 없이 닫힘
   • 이산적 위상 변화(양자화)는 결합 고리의 자유 에너지를 최소화하기 위해 위상차는 불연속적인 이산 스텝으로만 뛰어넘어야 하며, 이 과정을 통해 안정적 위상 구조 유지
7. 루프 토폴로지 = 입자 & 동역학
   • Qaether 간 루프 결합 패턴이 스핀·전하·색전하·질량 등 물리량을 응력 응집으로 창발
   • 루프 결합망의 진동 모드와 위상 변동은 포논(Phonon)의 동역학과 상당 부분 일치한다. 이 결합망 위에서의 파동 전파와 응력 전이는 기존 입자물리학의 스펙트럼 모델을 풍부히 재현하며, 고전적 장 이론과의 매칭을 용이하게 한다.
8. 시간 & Lorentz 대칭성 회복
   • 시간은 Qaether 위상의 변화가 누적된 결과
   • 장파장·장시간 한계에서 복잡한 위상·결합 구조는 평균적으로 Lorentz 대칭성을 회복하여 고전 물리와 양립

 

" Void(절대 無) → 경계불일치 결함(Qaether) → 결합망(공간·곡률) → 루프 입자(물리량·동역학) → 시간(위상 누적)의 계층적 과정이야말로 우리가 경험하는 ‘진짜 우주’의 본질이다."

 

 

A1. 근원적 실재: Void와 Qaether

1. Qaether는 우주를 구성하는 공간의 최소단위 셀이다. (Quantum Aether)
   • 플랑크 스케일인 반지름 \(l_p\)의 구형 셀로 FCC lattice의 lattice site에 배치됨.
   • 셀당 최대 12방향으로 다른셀과 결합 가능하며, 결합은 에너지 해소이자 공간의 발생 조건.
     • 셀이 다른 Qaether 셀과 더 많이 결합할수록, Void와 접촉하는 경계면이 감소하여, 외부로부터의 경계 압력도 선형적으로 감소한다. 동시에, 결합면의 수가 많아짐에 따라 셀의 관성 모멘트도 더 강하게 억제.
     • 이 두 효과는 Cell간 결합면의 공유와 Locking이라는 동일한 미시적 구조적 구속에서 동시에 기원.
2. Qaether 구체 표면적
   • Qaether 구체의 반지름을 \(r_p = l_p\)라 하면, 셀 하나의 전체 표면적(total surface area)은\(\mathfrak{A}_s \;=\; 4\pi\,r_p^2 \;=\; 4\pi\,l_p^2\)이고 전체 부피는 \(V_s \;=\; \frac43\pi\,l_p^3\)이다
3. Void: 비공간 경계조건
   • Void는 물리적 실체가 아니라, Qaether 시스템이 존재할 수 있는 영역의 한계를 규정하는 수학적 경계조건. 즉, 공간·시간·장(field)·물리량 모든 자유도가 0으로 고정된, 계산 불가능한 절대 경계
   • Qaether는 기본적으로 위상 에너지를 보유. 이 에너지로 인해 팽창하려하는데, Void 너머로는 팽창이 불가능하므로 Qaether 자체의 팽창 에너지가 내부 응력 또는 외부로 향하는 압력으로 전환되고, 이는 마치 경계면에서 100% 반사되는 것과 같은 효과 발생. 즉, 외부 진동·에너지는 Dirichlet(\(ψ=0\))와 Neumann(\(∂ψ/∂n=0\)) 조건의 비물질적 ‘벽’에서 100% 반사
   • 정리하자면 Void는 힘을 가하는 것이 아니라, Qaether의 팽창이 수학적 경계 조건에 의해 막히는 효과만을 제공한다. 이로 인해 경계 압력과 관성 모멘트는 결합수에 의해 동시에 제약
4. Qaether Cell \(i\)의 내부 위상 진동 에너지
   • Qaether의 파장은 플랑크 길이 \(l_p\)라고 가정하자.
   • 이를 기준으로 Qaether의 각주파수를 계산하면 \(\Omega_q={2\pi c }/{ l_p } \)이며 내부 위상 진동에너지는 $$E_q = \hbar \Omega_q = \hbar \frac{2\pi c}{l_p}$$
   • 이걸 가지고 위상 에너지 밀도를 계산하면 $$u_{\phi} = \frac{E_q}{V_s} = \frac{\hbar \Omega_q}{\frac43\pi\,l_p^3} = \frac{3\hbar c}{2l_p^4} \sim 6.9 \times 10^{113} \, \text{J/m}^3 = 4.3 \times 10^{123} \text{GeV/m}^3$$
   • 따라서 내부 위상 모드는 항상 플랑크 스케일 최소 파장 모드이며, 이후 다중 결합 구조에서 발생하는 collective 모드의 에너지 계층화를 통해 저에너지 구조가 형성됨

 

A2. FCC 격자 구조

1. Qaether는 Face-Centered Cubic 격자구조로 packing되어 있다고 가정.
2. 따라서 각 Qaether는 최대 12개의 최근접 이웃과 결합 가능하여 FCC 12방향의 단위벡터를 갖는다.
3. 결합이란 것은 두 개의  Qaether가 한점을 중심으로 접하고 위상차를 조절하면서 안정적인 상태를 만드는 것을 결합이라고 하며 다른 말로 링크(Link)라고 한다. 이 링크가 아래 위상차 양자화 조건과 위상차 조건을 만족하면서 폐합되면 우리는 이를 루프(Loop)라고 부른다.
4. 루프 결합망의 진동 모드와 위상 변동은 포논(phonon) 동역학과 상당 부분 일치
5. FCC 격자 구조를 선택한 이유
   • 최소 에너지 배치
     • Qaether도 플랑크 반지름 규모의 구형 셀로 모델링하므로, 서로 거리가 가까울수록 위상 상호작용 퍼텐셜이 강해집니다.
     • FCC 배치에서는 각 셀이 열두 개의 최근접 결합벡터를 갖고, 모든 결합 간 각도가 60° 또는 90° 등으로 균일해 위상차 퍼텐셜이 고르게 분포.
     • 결과적으로 격자 전체 위상 퍼텐셜 에너지가 최소화되므로, 에너지적으로 매우 안정한 상태.
   • 등방성(Isotropy) 복원
     • 장파장(long-wavelength) 근사에서 동역학이나 파동전파 속도등을 고려할 때, FCC는 미시적으로는 이산 격자지만, 격자 간격이 균일하여 장거리에서는 등방성을 가장 잘 복원. $$\lim_{\lambda \gg l_p} \to Lorentz \quad \text{유효 대칭}$$
     • 이는 시방향에 따라 물리량(전파 속도, 스핀 상호작용 에너지 등)이 다르게 나타나지 않고, 모든 방향에서 동일하게 보인다는 의미로, 에너지 벌크(전체 평균 에너지 분포)가 균일하다는 뜻.

 

A3. Qaether의 수학적 정의

각 Qaether cell \(i\)는 다음과 같은 상태벡터로 정의됨:

$$Q_i = \left(\phi_i,\; \{\hat{b}_{ij}\}, \{\Delta\phi_{ij}\} \right) $$

1. 위상: \(\phi_i\)
   • 각 Qaether 셀이 갖고 있는 “내부 진동 상태”를 나타내는 주기적 순환 변수로 마치 파동이 위상을 갖는것 처럼 각 셀 내부에는 \(\phi_i\)만큼의 위상 상태가 존재한다고 가정 (\(\phi_i \in (-\pi, \pi]\))
   • 위상차 양자화: 위상차\(\Delta \phi_{ij} = \phi_{i} - \phi_{j}\)가 반드시 \(\pi/6\)단위로 양자화됨. ('위상차 양자화 증명' 확인)
   • 물리적 상호 매개체: 위상차의 양자화가 전자기·색전하·스핀·토폴로지 결함을 결정짓는 핵심 전제이며 관계적 시간의 기준
   • 이산 위상미분 형태 $$\ddot \phi_i = \frac{\phi_i^{N+1}-2\phi_i^N+\phi_i^{N-1}}{t_q^2} $$ $$\dot \phi_i = \frac{ \phi_i^{N+1}-\phi_i^{N-1} }{2t_q} $$
2. 결합벡터 집합: 셀간의 결합방향 벡터의 집합 \(\{\hat{b}_{ij}\}\)
   • 결합벡터합 \(B_i\)$$ B_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \, \hat{b}_{ij} $$
   • 결합수 \(m_i = |\{\hat{b}_{ij}\}|\)
     • \(0 \le m_i \le 12\)의 조건을 만족해야하기 때문에 \(|\{\hat{b}_{ij}\}| \le 12\)
   • 이를 이용해서 이후에 계산할 결합유효압력 \(P_i(m_i)\)를 정의 가능.
3. 위상차 집합: 셀간의 결합위상차의 집합 \(\{\Delta\phi_{ij}\}\)
   • 결합벡터가 발생하는 모든 결합간의 위상차를 모아놓은 집합
   • 각각의 위상차 집합의 원소들은 다른 Qaether 셀들과 결합하여 폐합루프를 형성하기도 하며 그 규칙은 루프 위상차 조건을 참조하기 바란다.
   • 위상차 결합벡터합 \(D_i\) $$ D_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \Delta \phi_{ij} \, \hat{b}_{ij} $$

 

A4. Qaether의 결합 유효 압력

1. 결합 하나당 Void 압력 해소 면적
   • 앞 Qaether 하나의 면적을 \(\mathfrak{A}_s\)로 정의했다.
   • 셀이 다른 Qaether와 결합할 때 두 구형이 접촉하게 된다. 이 접촉부를 단위 면적 \(\mathfrak{A}_b\)로 근사.
   • 실제 구면 접촉형태는 spherical cap이지만, 플랑크 스케일에서 모델 단순화를 위해 “결합 하나당 막히는 면적”을 모두 동일한 상수 \(\mathfrak{A}_b\)로 가정.
   • 일반적으로$$0 < \mathfrak{A}_b \;\ll\; \mathfrak{A}_s \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha \;\equiv\; \frac{\mathfrak{A}_b}{\mathfrak{A}_s} \;\ll\; 1$$
2. 미결합 경계면 면적
   • 셀이 실제로 \(m_i\)개 이웃과 결합했다면, 그만큼의 면적\(m_i\,\mathfrak{A}_b\)가 막힌 상태이다.
   • 따라서 반사 가능한 빈 경계면 총 넓이는$$\mathfrak{A}_i(m_i) = \mathfrak{A}_s \;-\; m_i\,\mathfrak{A}_b = (1-\alpha \; m_i) \mathfrak{A}_s$$
   • 이때, FCC 구조에서 최대 결합 수 \(m_i=12\)이고 플랑크 스케일에서 \(\mathfrak{A}_s \gg 12 \, \mathfrak{A}_b\)이기 때문에 \(\alpha \ll \frac{1}{12}\)이다.
3. 반사 압력 모델
   • 단위 면적당 위상파가 100% 반사될 때 받는 압력을 \(p_0\)라 정의한다. (단위: 압력)
   • \(p_0\)의 단위는 압력(즉, 에너지 밀도)이며, 위상파 에너지 밀도 \(u_\phi\)가 주어지면 \(p_0=2u_\phi\)와 같은 형태로 정의할 수 있다. (위상파 속도 c 가정) $$p_0 \; = \; 2 u_\phi \; = \; \frac{3 \hbar c}{l_p^4}$$
   • \(p_0\)는 결합으로 가려진 영역은 위상파가 닿지 않으므로 압력이 0이기 때문에 열려 있는 표면에서만 작용한다. 따라서 단위 면적 압력은 \(m_i\)와 무관하게 항상 \(p_0\)이다.
   • 이 \(p_0\)를 기준으로 셀 \(i\)가 받는 기저 압력(경계 압력) \(P_i(m_i)\)는 반사 가능한 면적 비율에 비례하여$$ P_i(m_i) \;=\; p_0 \;\frac{\mathfrak{A}_i(m_i)}{\mathfrak{A}_s} \;=\; p_0\,\Bigl(1 \;-\;\alpha\,m_i\Bigr), \quad \alpha = \frac{\mathfrak{A}_b}{\mathfrak{A}_s}$$
   • 최대, 최소 압력
     • \(m_i=0\)일 때 \(P_i(0) = p_0\)(최대 압력),
     • \(m_i\)가 클수록 \(P_i(m_i)\)는 선형적으로 감소하며,
     • FCC 구조 최대 결합 수(예:\(m_i\le12\)) 범위에서 \(P_i(m_i)\ge p_0(1 - 12\alpha)\)이 되어 음수가 되지 않는다.
4. 종합하자면 Void에 의한 경계효과로 Qaether 자체는 항상 기저 압력을 갖게 되고 이 기저압력은 격자 내에서 국소적으로 공간을 휘게 하여 유효 곡률을 만들고, 그 결과로 ‘기저 질량 조건’을 얻게 된다.
5. 표면 질량-면밀도
   • 위상파 압력을 질량으로 환산할 “thick-to-thin” 인자(두께)로 플랑크 길이 \(l_p\)를 취한다. $$\sigma=\frac{p_0 l_p}{c_{eff}^2}, \quad c_{eff} ≃ c $$
6. 국소 관성 모멘트 (\(I_i\)):
   • 셀 \(i\) 중심을 원점으로 하고, 열려 있는 표면 \(\mathfrak A_i(m_i)\)에서만 압력-면밀도 \(\sigma\)가 작동한다고 두면$$I_i(m_i) =\int_{\mathfrak A_i(m_i)}\!\!\sigma \;r^2\,dA \; \approx \; \frac{p_0 l_p}{c^2} \; l_p^2 \; \mathfrak A_i(m_i) \; = \; \frac{p_0 l_p^3}{c^2} \; (1-\alpha m_i) \; \mathfrak A_s$$
     • \(r\) : 셀 중심에서 표면점까지의 거리
   • 여기서 \(m_i = 0\) 일때를 \(I_0\)로 정의하면 $$I_0 \; = \; \frac{p_0 l_p^3}{c^2} \; \mathfrak A_s = \; \frac{3 \hbar}{c \, l_p} \; \mathfrak A_s $$
   • 따라서 관성모멘트 \(I_i\)를 계산하면 $$I_i(m_i) = \; I_0 \; (1-\alpha m_i)$$
   • \(\alpha \ll 1\) 이고 \(m_i\le12\) 이므로 1차 근사 \(I_i\simeq I_0(1-\alpha m_i)\) 자체가 정확도 \(\lt 1\)% 수준이다.

 

A5. 유효 시간과 전역 시간 정의 (Proper time 가중 형태)

1. \(D_s\phi_i\)를 공간 방향의 중심 차분(discrete spatial derivative)으로 정의하자. 즉, 셀 \(𝑖\)에 있는 위상 \(\phi_i\)가 이웃 셀들과 어떻게 달라지는지를 나타내는 1-form이다.
   • 구체적으로 3차원 격자에서 다음과 같다. $$D_s\phi_i \equiv (D_x \phi_i, D_y \phi_i, D_z \phi_i)$$
   • 각 컴포넌트의 예를 보자 $$D_x\phi_i = \frac{\phi_{i+x} - \phi_{i-x}}{2l_p}$$
2. 국소 proper-time \(d\tau_i\)를 다음과 같이 정의하면
   • 위상장의 국소 “4-속도”를 $$\mathbf v_i \;=\; \frac{c}{\Omega_0}\,\bigl|D_s\phi_i\bigr|, \qquad \Omega_0 = \frac{2\pi c}{l_p}$$
   • 특이점 없는 범위에서 \(|\mathbf v_i|<c\)
   • Lorentz 요인 $$\Gamma_i = \frac{1}{\sqrt{1-\mathbf v_i^{\,2}/c^{2}}}$$ 을 쓰면 셀 내부 proper-time 요소를 $$d\tau_i \;\equiv\; \frac{t_p}{\Gamma_i} = t_p\,\sqrt{1-\frac{|D_s\phi_i|^2}{\Omega_0^{2}}}. \tag{1}$$
   • UV 일치: \(D_s\phi_i\!\to\!0 \;\Rightarrow\; d\tau_i\!=\!t_p\) 
   • IR·계층성: 저에너지 블록에서 \(|D_s\phi|\!\ll\!\Omega_0\) 이면 \(d\tau_i\!\approx\!t_p\), 로렌츠 등방성 회복.
   • 동형성·게이지 불변: (1)은 \(|D_s\phi|\) 만 쓰므로 내부 U(1)·SU(3) 변환에 불변.
3. 블록-유효시간 \(\Delta T_{\text{eff}}(B)\)
   • 격자 블록 B (예: \(b^3\) 셀)에서 $$\Delta T_{\text{eff}}(B) = \frac{1}{|B|}\sum_{i\in B}d\tau_i. \tag{2}$$
   • 수치 적분: 한 시뮬레이션 step 을 \(\min_B\Delta T_{\text{eff}}(B)\) 로 잡으면, 고주파 영역만 자동으로 fine-graining.
   • 블록 계단식: \(b=2,4,\dots\) 를 늘리면 자연히 RG-like coarse-graining이 구현된다.
4. 전역(좌표)시간 \(t_{\text{glob}}\)
   • 준광속 위상펄스는 링크 \((ij)\)를 시간$$\delta t_{ij} = \frac{l_p}{c}\,\Gamma_{ij}, \qquad \gamma_{ij}=\tfrac12(\Gamma_i+\Gamma_j)$$동안 진행-반사(왕복 \(\delta t_{ij}\)).
   • 기준 셀 \(r\)이 펄스를 보내고 되돌아오기까지 총 왕복 시간$$t_{r\leftrightarrow i} = 2\sum_{\text{path }r\to i} \delta t_{jk}$$
   • 셀 i의 전역 좌표시간을$$t_i \;=\; \tau_r \;+\;\frac12\,t_{r\leftrightarrow i}, \tag{3}$$로 정의하면,
     • \(d\tau_r = t_p\) 일 때 \(t_q = t_p\) 식으로 귀착,
     • \(\Gamma_{ij}\) 가 크면 펄스가 “느려져” 중력적 시간지연과 동형의 효과가 자동 포함됩니다.
5. 속성
   • 인과 순서 보존, 심플렉틱(gauge-invariant) 구조 유지
   • UV 극한에서 \(t_q = t_p\), IR 극한에서 Lorentz 대칭 복원
   • 모든 중심 차분 표현(1st/2nd)와 수치안정성 확보

 

A6. 루프 패턴 및 루프 위상차 조건

1. 기본 루프(폐합결합) 패턴의 정의
   • 기본 루프(Loop)는 삼각루프, 사각루프 두가지 형태만 존재한다. 이는 FCC 격자 구조에서 루프를 만드는 최소 위상차 링크로 다른 어떤 루프도 기본 루프의 점,선,면결합으로 만들어 낼 수 있다. (단, 접힌 사각루프는 추가적으로 정의)
     • 삼각루프는 트라이앵글릿(Trianglet)이라고 부르며 3개의 결합(링크)으로 2차원 삼각형 평면을 만드는 구조
     • 사각루프는 플라켓(Plaquette)이라고 부르며 4개의 링크로 2차원 사각형 평면을 만드는 구조
     • 90도 접힌 사각루프는 스피너릿(Spinnerlet)이라고 부르며 플라켓의 대각선을 기준으로 한쪽 삼각형을 면의 수직 방향으로 90도 접어 만드는 구조
   • 루프간 결합 방법으로는 다음과 같은 세가지 방법이 있다.
     • 점결합: 여러개의 루프가 Qaether 셀 하나를 공유하는 결합으로 하나의 셀은 12개의 링크가 가능하고 루프와 결합하려면 최소 2개의 링크가 필요한 점을 감안하면 최대 6개의 다른 루프와 결합 가능
     • 선결합: 2차원 루프를 구성하는 2개의 루프가 링크 하나를 공유하는 결합으로 한개의 선결합에는 최대 4개의 2차원 폐합루프의 결합 가능
     • 면결합: 면을 구성한 루프 자체를 두개의 입체 루프가 공유하는 결합으로 한개의 면결합에는 오직 2개의 입체 루프만 결합 가능
   • 루프의 위상차 조건 $$\Phi_ℓ\;=\;\sum_{(ij)\in ℓ}\Delta\phi_{ij}, \quad \Phi_ℓ=2\pi\,n_ℓ,\; \quad n_ℓ\in\{-1, 0, 1\}$$ 
     • 여기서 ℓ은 루프를 의미하며 비루프는 국소 위상합 계산에서 제외
     • \(n_\ell\neq0\) 일 때 국소 위상 불일치 발생
   • 위상차 양자화 조건: $$\Delta\phi_{ij} \;\in\; \mathbb{Z}_12\,\cdot \frac{\pi}{6} \;\;=\;\;\Bigl\{\;0,\;\pm\tfrac{\pi}{6},\;\pm\tfrac{2\pi}{6},\;\pm\tfrac{3\pi}{6},\;\pm\tfrac{4\pi}{6},\;\pm\tfrac{5\pi}{6},\;\pi\Bigr\}$$
     • 위와 같은 양자화 조건을 만족할때 위상 양자화 상태가 에너지 안정화 상태를 이룬다.
     • 한개 링크의 위상차가 0인 경우는 에너지 불일치가 없는 완벽히 동기화된 안정적인 결합
   • 투영 평면 결정과 결합순서
     • 결합벡터 순서를 정하는 기준 평면은 루프가 이루는 평면이며 루프가 입체로 닫히는 경우는 법선합벡터의 수직인 평면.
     • 결합방향은 시계방향을 (+), 반시계방향을 (-)로 한다.
2. 기본 루프 설명
   • 트라이앵글릿 (Δ, \(\ell_3\))
     • 구성: 3개의 링크가 닫힌 형태.
     • 위상 폐합식:$$\Phi_{\ell_3}= \sum_{(ij)\in\ell_3} \Delta\phi_{ij} \;=\; 2\pi\,n_{Δ}, \quad n_{Δ}\in\{\,-1,\,0,\,+1\,\}$$
     • \(n_{Δ}\)를 트라이앵글릿 지수라 부른다.
   • 플라켓 (□, \(\ell_4\))
     • 구성: 4개의 링크가 닫힌 형태.
     • 위상 폐합식(일반형):$$\Phi_{\ell_4}= \sum_{(ij)\in\ell_4} \Delta\phi_{ij} \;=\; 2\pi\,n_{□}, \quad n_{□}\in\{\,-1,\,0,\,+1\,\}$$
     • \(n_{□}\)를 플라켓 지수라 부른다
   • 스피너릿 (◇, \(\ell_s\))
     • 구성: ℓ₄ 플라켓(loop) 형태로 \(Q_1-Q_2\)를 기준으로 사각형 면이 90도 꺾임: $$F_1\xrightarrow{\ell_1}Q_1\xrightarrow{\ell_2}F_2\xrightarrow{\ell_3}Q_2\xrightarrow{\ell_4}F_1$$
     • 위상 폐합식(일반형): $$\Phi_{\ell_s}= \sum_{(ij)\in\ell_s} \Delta\phi_{ij} \;=\; 2\pi\,n_{◇}, \quad n_{◇}\in\{\, -1,\,0,\,+1 \,\} $$
     • \(n_{◇}\)를 스피너릿 지수라 부른다.
3. 입체루프와 결합 그림은 별도로 정의

 

A7. 게이지 공변 위상차

1. 기호 정의 

   기호 정의	의미
   \(\displaystyle \Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\)	게이지 공변 위상차 $$\Delta\phi_{ij}^{\rm tot} =\bigl(\phi_j-\phi_i\bigr) \;-\;q_e\,A_{ij} \;-\;g\,\vec C_i\!\cdot\!\vec A_{ij}$$
   \(A_{ij}\)	U(1) 링크 전자기 퍼텐셜 $$\displaystyle A_{ij}=\!\int_i^j A\cdot d\boldsymbol\ell$$
   \(\vec A_{ij}\)	SU(3) (색) 게이지 링크 벡터 $$\displaystyle \vec A_{ij}=\!\int_i^j \vec A\cdot d\boldsymbol\ell$$
   \(\vec C_i\)	셀 \(i\)의 색전하(컬러) 벡터
   \(q_e,\;g\)	각각 U(1),SU(3)결합 상수

2. 루프전체위상 $$\Phi_{\ell}^{tot}=\sum_{(ij)\in\ell}\Delta\phi_{ij}^{tot}=\sum_{(ij)\in\ell}\left[(\phi_j-\phi_i)-q_eA_{ij}-g\mathbf{C}_i\cdot A_{ij}\right]= \Phi_{\ell}-\sum_{(ij)\in\ell}(q_eA_{ij}+g\mathbf{C}_i\cdot A_{ij})$$
3. 공변 위상 링크변수: $$\chi_{ij} \;\equiv\; e^{\,i\,\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}}, \qquad \chi_{ji} = \chi_{ij}^{-1}$$
4. 공변 루프 변수: $$\chi_\ell=\prod_{(ab)\in\ell}\chi_{ab}=\exp(i\Phi_\ell^{tot})$$

 

A8. 스핀의 정의

1. 위상·결합 벡터 

   기호	정의
   $$\displaystyle \theta_\ell=\arccos\!\frac{B_\ell\!\cdot\!D_\ell}{\|B_\ell\|\|D_\ell\|}\in\{0,\tfrac{\pi}{2}\}$$	꺾임 각
   $$\displaystyle g_\ell=\sin\theta_\ell=\frac{\|B_\ell\times D_\ell\|}{\|B_\ell\|\|D_\ell\|}\in\{0,1\}$$	기하 지표
   $$N_i = \begin{cases} \frac{D_i \times B_i}{\| D_i \times B_i \|}, & D_i \times B_i \neq 0 \\ 0, & D_i \times B_i = 0 \end{cases}$$	셀\(i\)의 유효 법선축
   $$N_{\rm eff} \;=\; \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^4N_i} {\Bigl\|\displaystyle\sum_{i=1}^4N_i\Bigr\|} \;\quad\bigl(\text{단, }\sum_iN_i\neq0\bigr)$$	루프의 유효 법선축

2. 정준 대수 $$\{\Phi_\ell^{tot},P_m\}_{\rm cl}=\delta_{\ell m}, \qquad [\hat\Phi_\ell^{tot},\hat P_m]=i\hbar\,\delta_{\ell m}$$
3. 루프 운동방정식: $$M_\ell \ddot{\Phi}_\ell^{tot} = - \frac{\partial}{\partial \Phi_\ell^{tot}}(U_\ell \Im \chi_\ell + \;\sum_{i \in \ell}\frac{\Lambda_\ell}{N_\ell}\Im [\chi_\ell \cdot \chi_{i\ell}^*]) $$
4. 스피너(4-성분) 위상 구조
   • 각 링크 위상 차분 $$\Delta\phi_\ell^{(k)} =\phi_{\text{head}(\ell_k)}-\phi_{\text{tail}(\ell_k)} \quad(k=1,\dots,4)$$
   • half-angle 위상을 부여한 국소 스피너장 $$\Psi_\ell =\begin{pmatrix} \psi_\ell^{(1)}\\[2pt]\psi_\ell^{(2)}\\[2pt]\psi_\ell^{(3)}\\[2pt]\psi_\ell^{(4)} \end{pmatrix}, \qquad \psi_\ell^{(k)}=\exp\!\Bigl(\tfrac{i}{2}\Delta\phi_\ell^{(k)}\Bigr)$$
   • 총 루프 위상 $$\Phi_\ell=\sum_{k=1}^4\Delta\phi_\ell^{(k)}=2\pi n_\ell\;\Longrightarrow\; \prod_{k=1}^4\psi_\ell^{(k)}=\exp\!\Bigl(\tfrac{i}{2}\Phi_\ell\Bigr)=e^{i\pi n_\ell}$$
5. SU(2) 홀로노미와 스핀 연산자
   • \(2\pi\) 회전 변환 $$S(2\pi):\; \Psi_\ell\mapsto(-1)^{\,g_\ell}\,\Psi_\ell \quad \bigl(g_\ell=0\!\to\!+1,\;g_\ell=1\!\to\!-1\bigr)$$
   • 스핀 연산자 (3성분) 
     • 루프별 국소법선축 \(N_{\text{eff}}\)위에 pauli 행렬 \(\sigma\) 투사 $$\boxed{\; \hat S_\ell = |\mathbf S_\ell| \frac{N_{\text{eff}}}{||N_{\text{eff}}||} \cdot \frac\hbar 2 \sigma , \qquad |\mathbf S_\ell| =\hbar\Bigl(1-\frac{g_\ell}{2}\Bigr) =\begin{cases} \hbar & (\text{플라켓},\,g_\ell=0),\\[4pt] \dfrac{\hbar}{2} & (\text{스피너릿},\,g_\ell=1). \end{cases} \;}$$
     • 이에 따라 $$[\hat S_\ell^i, \hat S_\ell^j] = i \hbar \epsilon^{ijk} \hat S_\ell^k \quad (i,j,k \in \{x,y,z\})$$
6. 스핀-벡터(공간 방향)
   • 꼭지점 기여 스핀 $$\mathbf s_i =\dfrac{\hbar}{4\pi}\, \Bigl(\tfrac12\!\!\sum_{(ij)\in\ell}\!\!\Delta\phi_{ij}\Bigr) N_i$$
   • 전체 스핀-벡터$$ \boxed{\; \mathbf S =\sum_{i=1}^{4}\mathbf s_i =\begin{cases} \mathbf0 & (g_\ell=0),\\[6pt] \dfrac{\hbar}{2} & (g_\ell=1). \end{cases} \;}$$ 

 

A9. 전하 연산자 정의

1. 글로벌 U(1) 위상 대칭과 Noether 전하
   • 루프 라그랑지안은 \(\Phi_\ell^{tot} \!\to\! \Phi_\ell^{tot}+\alpha\) 변환(상수 \(\alpha\))에 불변 → Noether 보존량 $$J^0_\ell =\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\Phi_\ell^{tot}}=M_\ell\dot\Phi_\ell^{tot} \quad\Longrightarrow\quad P_\ell =\int J^0_\ell dV =M_\ell\dot\Phi_\ell^{tot}$$
2. 전하 = (기본전하 / \(\hbar\) ) × 공액운동량   $$ \boxed{\; Q_\ell \;=\;\frac{e}{\hbar}\,P_\ell \;=\;\frac{e}{\hbar}\,M_\ell\dot\Phi_\ell^{tot} \;}$$
   • \(P_\ell\) 고유값이 \(\hbar k\,(k\in\mathbb Z)\) 이므로,
   • \(Q_\ell\) 고유값은 \(ek\) ― 기본 전하 \(e\)의 정수배.
3. 양자 전하 연산자 $$\hat Q_\ell =\frac{e}{\hbar}\,\hat P_\ell =-\,i\,e\,\frac{\partial}{\partial\Phi_\ell^{tot}}, \qquad [\hat\Phi_\ell^{tot},\hat Q_m]=i\,e\,\delta_{\ell m}$$
4. 전하 양자화의 기원 (위상차 × 전하단위) $$\Phi_\ell^{tot} \text{ 는 각도(주기 }2\pi) \;\Longrightarrow\; \Psi(\Phi_\ell^{tot} +2\pi)=\Psi(\Phi_\ell^{tot})$$
   • 고유파동함수 \(\Psi_k(\Phi_\ell^{tot})=e^{i k\Phi_\ell^{tot}}\)에 대해 $$e^{ik2\pi}=1\Rightarrow k\in\mathbb Z$$
   • 즉, 위상차 \(2\pi k\) × 기본전하 \(e\) = 총전하 $$\hat Q_\ell\ket{k}=e\,k\,\ket{k}, \quad Q_\ell=\frac{e}{2\pi}\,\Phi_\ell^{tot}$$
5. 네트워크 가우스 법칙 $$Q_i=\sum_{\ell\in\mathcal N(i)}\epsilon_{i\ell}Q_\ell, \qquad \epsilon_{i\ell} =\begin{cases}+1&(\text{전하 유입})\\-1&(\text{전하 유출})\end{cases}, \quad \frac{dQ_i}{dt}=0$$
6. 스핀과의 대비

연산자	기원	스펙트럼
$$\hat Q_\ell = \dfrac{e}{\hbar}\hat P_\ell$$	글로벌 U(1) 위상	정수 × \(e\)
$$\hat S_\ell = \bigl(1-\tfrac{g_\ell}{2}\bigr)\hat P_\ell$$	SU(2) half-angle	정수/반정수 × \(\hbar\)
$$q_e= \dfrac{e}{\hbar}$$	위상차에 곱해지는 \(q_e\)는 전하 단위당 각도 변화율”로서, 전하 연산자 정의의 \(e/\hbar\)와 정확히 동일해야 위상 결합에 의해 생성되는 전하량이 올바르게 양자화	\(q_e\)

 

 

A10. 색전하 연산자 정의

1. 색전하란: 입자 내부 고정 속성이 아니라, Qaether 격자에서 셀 내부 플라켓(□) 위상이 만들어 내는 국소적 위상 패턴이 SU(3) 게이지 대칭으로 재해석된 값이다.
   • 셀 \(\mathcal{C}\)를 둘러싸는 네 개의 링크 위상차 \(\Delta\phi_{ij}\)를 합하면 $$\mathfrak S_{\mathcal C}\;=\;\sum_{\square\subset\mathcal C}\,\Phi_{\square} \;=\;\sum_{(ij)\in\square}\!\!\Delta\phi_{ij} \;\;\in\;\{+2\pi,\;0,\;-2\pi\}$$(\(\Delta\phi_{ij}=m_{ij}\pi/6,\;m_{ij}\in\mathbb Z\))
   • 이 불연속 위상합이 셀의 Cartan 생성자 고유값 \((C^3,\;C^8)\)로 사상된다.
   • 플라켓 위상합   

     \(\mathfrak S_{\mathcal C}\)	\((C^3,\;C^8)\)	물리적 색
     \(+2\pi\)	\(\bigl(\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3}\bigr)\)	Red (R)
     0	\(\bigl(0,\;-\tfrac1{\sqrt3}\bigr)\)	Blue (B)
     \(-2\pi\)	\(\bigl(-\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3}\bigr)\)	Green (G)

     이렇게 R·G·B 세 기본색은 \(C^3,C^8\) 평면의 꼭짓점(정육각형 격자)으로 자리 잡는다. 반입자(반색)는 위상 부호만 뒤집힌 동일 패턴이다.
   • 아래에 \(C^3\)뿐 아니라 \(C^8 (\lambda_8)\) 패턴까지 모두 포함한 SU(3) 글루온 8상태 위상차 Y-패턴을 정리합니다.

     글루온	Cartan (eigen)	\(m = (m_R, m_G, m_B)\)	\(\Delta \phi = (m· \pi/6)\)	\(\sum m^2\)	비고
     \(\lambda_1\) (R↔G)	\((0,0)\)	\((6, −4, −2)\)	\((\pi, −2\pi/3, −\pi/3)\)	56	off-diag
     \(\lambda_2\) (R↔G imag)	\((0,0)\)	\((4, −6, 2)\)	\((2\pi/3, −\pi, \pi/3)\)	56	off-diag
     \(\lambda_4\) (R↔B)	\((0,0)\)	\((6, −2, −4)\)	\((\pi, −\pi/3, −2\pi/3)\)	56	off-diag
     \(\lambda_5\) (R↔B imag)	\((0,0)\)	\((4, 2, −6)\)	\((2\pi/3, \pi/3, −\pi)\)	56	off-diag
     \(\lambda_6\) (G↔B)	\((0,0)\)	\((−2, 6, −4)\)	\((−\pi/3, \pi, −2\pi/3)\)	56	off-diag
     \(\lambda_7\) (G↔B imag)	\((0,0)\)	\((−4, 6, −2)\)	\((−2\pi/3, \pi, −\pi/3)\)	56	off-diag
     \(\lambda_3\) (Cartan \(C^3\))	\((2,−2,0)\)	\((2, −2, 0)\)	\((\pi/3, −\pi/3, 0)\)	8	diagonal
     \(\lambda_8\) (Cartan \(C^8\))	\((2, 2, −4)\)	\((2, 2, −4)\)	\((\pi/3, \pi/3, −2\pi/3)\)	8	diagonal

   • 이로써 에너지 최소화와 군론적 폐합성 두 조건을 동시에 만족하는 유일한 8가지 위상차 패턴이 완성됩니다.
   • \(\sum m^2\): 에너지 최소화기준으로, off-diag 6개는 모두 56, diagonal 2개는 8
   • Weyl 군 폐합:
     • off-diag 6상태는 색 인덱스 순열·부호반전으로 서로 궤도(orbit)를 이루고,
     • \((C^3,\;C^8)\) 두 상태는 Weyl 반사에 따라 상호 변환되어 Cartan 부분공간을 채웁니다.
2. 게이지 공변 위상차와 색전하 결합
   • 케이서 링크 \((i,j)\)의 공변 위상차 $$\Delta\phi_{ij}^{\text{tot}} = (\phi_j-\phi_i)\;-\;q_e\,A_{ij}\;-\;g\,\vec C_i\!\cdot\!\vec A_{ij}, \qquad \vec C_i=(C_i^3,\;C_i^8)$$ 
   • \(q_e=e/\hbar\) : 전기전하 결합 상수
   • \(g\) : 색 결합 상수
   • \(A_{ij}, \vec A_{ij}\) : U(1)·SU(3) 게이지 퍼텐셜 링크 적분
   • 이 식에서 \(g\,\vec C_i\) 항이 바로 원초적 색전하 연산자로 작동해 글루온(색 퍼텐셜)과 최소 결합한다.
3. 색전하의 이동 = 글루온 교환 = 위상 시프트
   • 한 링크 위상차를 \(\pm2\pi\)만큼(즉 \(m_{ij}\to m_{ij}\pm6)\) “꺼내거나 넣으면” $$\Delta\mathfrak S_{\mathcal C}=\pm2\pi \;\;\Longrightarrow\;\; \Delta(C^3,C^8)=\Bigl(\pm\tfrac12,\;\pm\tfrac1{2\sqrt3}\Bigr)$$ 이는 셀 간에 색전하가 이동한 것이며, Y-자형 3-링크 위상 패턴(글루온)으로 해석된다.
   • 위상차 최소 에너지 + Weyl 군 폐합 조건을 만족하는 8개의 Y-패턴이 SU(3) 글루온 \(\lambda_{1\sim8}\)를 이룸.
4. 국소 Gauss 법칙 (색전하 보존) $$\sum_{(ij)\in\partial\mathcal C}E^{a}_{ij}=C^{a}_{\mathcal C}, \qquad E^{a}_{ij}= \frac{\Delta\phi_{ij}}{2\pi}\,\varepsilon^{a}, \quad(a=3,8)$$ 경계로 나가는 색 유량 총합이 셀 내부 색전하와 정확히 일치하므로, 격자 수준에서 색전하가 엄밀히 보존된다.
5. 결론적으로 이 정의를 통해 색가둠·색중성의 위상학적 기원을 구성
   • 렙톤 : 스피너릿(◇)만으로 구성 → \(\mathfrak S_{\mathcal C}=0\) ⇒ \(\vec C=0\) (색중성)
   • 쿼크 : 3-D 위상 골격 + Y-패턴 결합 → \(\vec C\neq0\)
     → 글루온 교환 없이는 격자에서 분리 불가 → 색가둠
   • 글루온 : \(\sum\Delta\phi=0\) 조건 하 minimal‐energy 궤도(56, 8) 8패턴만 안정

 

A11. 위상-루프-스핀 동역학 방정식

1. 커플링 상수: $$\displaystyle K_{ij}=K_0\,\exp\!\bigl[\beta \; \frac{\;(m_i + m_j)}{2}\bigr]\bigl|\hat b_{ij}\cdot\hat n_{ij}\bigr|$$
   • 여기서 β는 결합수 증가에 따른 커플링 증폭률을 나타내는 무차원 상수로, Qaether 이론의 집단파동성과 연속 극한 복원을 위해 보통 0.03~0.08 범위에서 선택한다.
   • 결합수가 많아질수록 격자의 국소위상 동조가 강해지지만, β값이 과도하면 지나친 강결합·고체적 거동이 나타날수있으므로 적정범위를 유지한다.
2. 동역학 방정식
   • Qaether 셀 \(i\) 의 이산위상 \(\phi_i\) 동역학 방정식: $$I_i(m_i)\,\ddot\phi_i = \sum_{j\in\mathcal N(i)} [K_{ij} -\; \mathfrak{A}_s P_i(m_i)] \cdot \Im\chi_{ij} \; + \;\sum_{\ell \ni i}\frac{\Lambda_\ell}{N_\ell}\Im [\chi_\ell \cdot \chi_{i\ell}^*]$$
     
     • \(\mathfrak{I}\) 의 의미는 \(\exp\bigl(i\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\bigr)\)의 허수부분만 취한다는 뜻
     • \(K_{ij}\,\Im\chi_{ij}\):위상 결합 항\(\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\)에 따른 기본 진동 커플링
     • \(N_\ell\): 루프에 포함된 셀 수(플라켓: 4, 트라이앵글릿: 3이다. 만약 8개 또는 12개로 확대된 플라켓이 만들어진다면 그 숫자를 여기에 포함해야한다)
     • \({L_\ell}\): 루프의 길이로 \(2l_pN_\ell\)이다. 즉, 플라켓은 \(8\,l_p\), Trianglet \(6\,l_p\)이다.
     • \(\Lambda_\ell\): 루프가 Qaether 셀 위상에 되돌림 토크를 얼마나 강하게 걸어주느냐를 결정 (앞서 정의한 \({L_\ell}\)를 대입) $$\Lambda_\ell=\Lambda_0 \cdot ( {2\pi \hbar c}/{L_\ell}) =\Lambda_0 \cdot ( {\pi \hbar c}/{l_p N_\ell}) $$ 
   • Loop의 동역학방정식: $$M_\ell \ddot{\Phi}_\ell^{tot} = -U_\ell \Im \chi_\ell - \;\sum_{i \in \ell}\frac{\Lambda_\ell}{N_\ell}\Im [\chi_\ell \cdot \chi_{i\ell}^*] $$
     • \(M_\ell\): 루프 집단 관성 (둘레 길이 \(L_\ell\)에 비례)
     • \(U_\ell \sim \hbar \frac{2\pi c}{N_\ell\,L_\ell}\): 집단 위상모드 에너지
     • \(\chi_{i\ell}^* = \exp\bigl(-i \, \Delta \phi_{i\ell}^{\text{tot}}\bigr)\): 루프\(\ell\)과 셀\(i\)의 위상차 비교
   • Loop 기준 디렉방정식: $$\Bigl( \,i\,\hbar\,c\,\gamma^{\circlearrowleft}\,\Delta^{(\phi)}_\ell -\;m_\ell \, c^2\Bigr)\Psi_\ell \;=\;0$$
     • \(\Delta^{(\phi)}_\ell\)는 루프-평균 공변 차분(길이 차원).
     • \(m_\ell\) 는 루프 질량
     • \(\gamma^{\circlearrowleft}\) 는 루프 방향으로 정해진 유효 γ-행렬.
     • 루프 한 바퀴에서의 순(average) 위상 이동을 다음과 같이 정의한다. $$\Delta^{(\phi)}_\ell \;=\; \frac{1}{L_\ell}\; \sum_{(ab)\in\ell} Arg(\chi_{ab}) \quad \Bigl[\;\simeq\; \frac{1}{L_\ell}\; \Phi_\ell^{tot}\Bigr] $$
     • 루프 tangent \(\gamma\)-행렬 (\(\hat e_{ab}\): 링크 단위벡터) $$\gamma^{\circlearrowleft} \;=\; \frac{1}{N_\ell} \sum_{(ab)\in\ell} \hat e_{ab}^{\mu}\,\gamma_\mu$$ 
     • 특성 및 정합성

       항목	확인
       게이지 불변	\(\Im\chi_{ab}\) 합은 각 링크의 위상 차분이므로 U(1)·SU(3) 변환에 대해 불변.
       반정수 스핀 조건	\(\chi_\ell=e^{i\Phi_\ell^{tot}}\) 이 \(e^{i\pi}\)일 때(스피너릿) ⇒ \(\Delta^{(\phi)}_\ell=\pi/L_\ell\) ⇒ spin-½ 조건 그대로 유지.
       연속 극한	\(l_p\!\to\!0,\;N_\ell\!\to\!\infty\)에서 \(\Delta^{(\phi)}_\ell\to\hat t^\mu D_\mu\)가 되어 표준 \(i\,\hbar\,c\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi=m\,c^2\,\Psi\) 로 수렴.