Qaether 연구일지

(Geometric Definition of Color Charge and Confinement in Qaether Lattice Theory)1. 서론: 이산 기하학적 게이지 이론의 기초본 문서는 연속적인 시공간 및 대칭성을 가정하는 표준적인 양자장론과 달리, 이산적인 격자 구조와 기하학적 대칭을 통해 색전하(Color Charge)와 그 가둠(Confinement) 현상을 설명하려는 Qaether 격자 이론의 기본 개념을 제시한다. Qaether 이론은 격자 위에서 물질(페르미온)의 스핀 대칭성과 힘(게이지 보손)의 색 대칭성을 통합적으로 정의하며, 표준 모형의 특정 패턴을 순수한 기하학적 제약으로부터 유도하고자 한다.1.1 Qaether 네트워크의 정의Qaether 이론은 다음 요소들로 구성된 이산..

0. 접촉 네트워크와 2-셀(플라켓)Qaether는 정점 집합 $V$ (셀)와 유향 인접(접촉) 간선 집합 $E$로 이루어진 유향 그래프 $G=(V, E)$ 위에 정의된다. 그래프 \(G\)의 단순(simple) 최소 루프(더 작은 루프의 합으로 분해 불가)중 길이 3(삼각) 및 길이 4(사각) 루프들의 선택된 집합을 플라켓 집합 \(P\)라 하고, 각 \(p\in P\)를 2-셀(plaquette)로 붙여 2-차원 복합체(2-complex) \(X=(V,E,P)\)를 이룬다. 각 플라켓 \(p\in P\)에는 방향(orientation) 이 주어지며, 이에 따라 경계 \(\partial p\)는 유향 간선들의 순환열(cyclic word) \((i_1 \to i_2),(i_2 \to i_3),\do..

여기에서는 표준모형의 chiral 구조를 다음과 같이 Qaether 격자 위상에서 정확하게 구현해보려고 한다.\[\psi_L,\ \psi_R,\qquad\Gamma_5\psi_{L/R}=\mp\psi_{L/R}\]핵심 아이디어는 다음과 같다:FCC 격자의 정팔면체 중심들은 스스로 2-colorable bipartite graph를 이룬다.이 bipartition(A/B)이 곧 좌·우 chirality의 Z₂ 구조가 된다.이 chirality는 색전하 κ, 전하공액 C, 전하 Q, 이소스핀 T₃, 하이퍼전하 Y 모두와 독립적이며 교환한다.아래에서 이를 엄밀히 정식화한다. 13.1 FCC dual complex의 2-색칠 (A/B bipartition)FCC 정팔면체–정사면체 타일링에서 정팔면체 중심들의 집..

1. 대칭 작용과 “색 후보”의 조합학정의 1 (원순열 공간과 \(D_4\) 작용)다음을 한 플라켓의 지향된 원순열들의 집합이라 하자.\[\mathcal W=\{w=[k_1,k_2,k_3,k_4]\ |\ k_i\in\mathbb Z_{12},\ \sum_{i=1}^4 k_i\equiv 0\pmod{12}\}\]시작점 변경은 순환시프트로 본다. 이는 정사각형의 회전에 해당하므 \(D_4\) 회전 부분군에 포함된다. \[[k_1,k_2,k_3,k_4]\sim[k_2,k_3,k_4,k_1]\sim\cdots\]정사각형의 이면대칭군 \(D_4\)가 회전·반사로 지표를 치환하여 \(\mathcal W\)에 작용한다고 하자. 즉, 각 \(g\in D_4\)는 어떤 순열 \(\sigma_g\in S_4\)를 통해 다..

수정의 이유: Qaether 이론에서는 기존 site에 쿼터니안을 배치하기로 했다. 그런 경우에는 순수 게이지가 되지 않기 때문에 이에 맞춰 수정했다. 단, 여기에는 아직 SU(3) 구조는 포함하지 않았다. 1) FCC 격자와 최소 루프기본 구조면심입방격자(Face-Centered Cubic, FCC)는 각 격자점이 12개의 최근접 이웃을 가지는 조밀한 3차원 격자다.중심을 \((0,0,0)\)으로 두면 최근접 이웃은 다음 좌표로 표현된다.\[(\pm1,\pm1,0),\ (0,\pm1,\pm1),\ (\pm1,0,\pm1)\]이 격자는 삼각형과 사각형 루프가 동시에 존재해, SO(3) 회전의 짝·홀 패리티와 U(1) 위상축을 모두 정의할 수 있는 최소 구조를 제공한다.최소 루프 (사이클 생성 집합)삼각 ..

FCC 격자와 이를 바탕으로 한 최소 결합 루프를 수학적으로 정의할 필요가 있다고 생각되어 다음과 같이 구조화를 진행한다. FCC 격자의 위상장(cochain) 구조격자 정의FCC 격자의 그래프를 다음과 같이 둔다. (여기서 \(V\)는 site(정점) 집합, \(E\)는 link(변) 집합이다.)\[G = (V, E)\]격자의 최소 닫힌 루프는 정삼각형과 정사각형 경계로 이루어진다.\[\mathcal{P} = \mathcal{P}_3 \cup \mathcal{P}_4\] 위상(cochain) 변수의 정의 각 site \(i \in V\)에는 위상을 둔다:\[\phi_i \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \qquad \text{(0-cochain)}\]각 link \(e = (i ..