[v1.8] Qaether Lattice Chirality (Γ₅) 정의

여기에서는 표준모형의 chiral 구조를 다음과 같이 Qaether 격자 위상에서 정확하게 구현해보려고 한다.
\[
\psi_L,\ \psi_R,\qquad
\Gamma_5\psi_{L/R}=\mp\psi_{L/R}
\]

핵심 아이디어는 다음과 같다:

• FCC 격자의 정팔면체 중심들은 스스로 2-colorable bipartite graph를 이룬다.
• 이 bipartition(A/B)이 곧 좌·우 chirality의 Z₂ 구조가 된다.
• 이 chirality는 색전하 κ, 전하공액 C, 전하 Q, 이소스핀 T₃, 하이퍼전하 Y 모두와 독립적이며 교환한다.

아래에서 이를 엄밀히 정식화한다.

 

13.1 FCC dual complex의 2-색칠 (A/B bipartition)

FCC 정팔면체–정사면체 타일링에서 정팔면체 중심들의 집합을 다음과 같이 정의하자
\[
\mathcal V= \{\text{all octahedral centers}\}
\]
이는 다음 성질을 가진다.

정리 13.1 (Bipartite).
그래프 (\(\mathcal V, E\))는 2-colorable bipartite graph이다.
즉
\[
\mathcal V = \mathcal V_A ,\sqcup, \mathcal V_B
\]
로 쪼갤 수 있으며, 인접한 모든 정팔면체 중심은 서로 다른 집합에 속한다.

이 분해는 \(\mathbb Z_2\) 대칭을 이룬다.

 

13.2 플라켓 상태의 배치

각 플라켓 상태는

• 패턴(내부 구조): \([w] \in \mathcal W/D_4\),
• 정팔면체 중심(위치): \(x \in \mathcal V\),

두 정보를 함께 가진 상태로 표현한다:
\[
\lvert w,x\rangle,\qquad w=[k_1,k_2,k_3,k_4]
\]

• 내부 정보 \(w\)는 κ(color charge)와 C(charge conjugation)이 작용.
• 외부 정보 \(x\)는 chirality가 작용.

이 둘은 원래 독립적인 층위이므로, 여기에 우리가 찾던 SM의 \(\Gamma_5\)를 그대로 정의할 수 있다.

 

13.3 Qaether chirality 연산자 \(\Gamma_5\) 정의

정의 13.2 (Qaether Γ₅)

\[
\Gamma_5\lvert w,x\rangle =
\begin{cases}
+\lvert w,x\rangle & x\in\mathcal V_A,\\
-\lvert w,x\rangle & x\in\mathcal V_B
\end{cases}
\]

즉

• \(\mathcal V_A\)에서 온 플라켓은 Right-handed
• \(\mathcal V_B\)에서 온 플라켓은 Left-handed

로 정의된다.

따라서 투영 연산자는
\[
P_L=\frac{1-\Gamma_5}{2},\qquad
P_R=\frac{1+\Gamma_5}{2}
\]

SM의 chirality 연산자와 구조가 완전히 동일하다.

 

13.4 SU(2)(_L) 작용과의 관계 — SM의 L/R 분리 재현

가정 13.3 (약한 상호작용의 chiral 작용).

\[
U(g) = U_L(g)P_L + 1\cdot P_R \qquad g\in SU(2)_L
\]

즉,

• Left-sector (\(\mathcal V_B\)) 에서만 SU(2)\(_L\)이 비자명하게 작용
  → doublet 존재
• Right-sector (\(\mathcal V_A\)) 는 SU(2) singlet
  → \(T_3=0\)

이는 표준모형의 “좌측이 doublet, 우측이 singlet”과 정확히 일치한다.

 

13.5 색전하 κ, 전하공액 C, U(1)·SU(2) 양자수와의 정합성

(1) 색전하 \(\kappa\)와 교환

\[
[\Gamma_5,\kappa]=0
\]
이유: κ는 오직 플라켓 내부의 \([k_i]\) 조합학에만 의존하고, \(\Gamma_5\)는 정팔면체 위치 \(x\)에만 의존하므로.

 

(2) 전하공액 \(C\)와 교환

전하공액은
\[
C: [k_1,k_2,k_3,k_4]\mapsto [-k_1,\dots,-k_4]
\]
이므로
\[
C\lvert w,x\rangle = \lvert Cw,x\rangle
\]

위치 \(x\)는 바뀌지 않으므로
\[
[\Gamma_5,C]=0
\]

→ 입자 ↔ 반입자 변환은 chirality를 바꾸지 않는다

 

(3) 전하 \(Q\), 이소스핀 \(T_3\), 하이퍼전하 \(Y\)

앞에서 정의한 양자수
\[
\hat Q=\frac{2Q}{e},\qquad
Y=\hat Q-2T_3
\]
은 모두 플라켓 패턴과 내부 이징 DOF로 결정되고, 위치 (x)에는 무관.

따라서
\[
[\Gamma_5,Q]=[\Gamma_5,T_3]=[\Gamma_5,Y]=0
\]

→ chirality는 SU(2)·U(1) 양자수와 독립 층위

 

 

13.6 Sector 구조(1+1+1+1 / 2+2 / 4-equal)와의 독립성

플라켓 sector:

패턴	κ(color)	Q	sector
1+1+1+1	≠0	±1/3, ±2/3	quark
2+2	0	-1,0,+1	charged lepton
4-equal	0	0	neutrino

chirality:

• \(\mathcal V_A\): R-sector
• \(\mathcal V_B\): L-sector

둘은 완전히 독립이므로 자연스럽게 다음이 전부 만들어진다.

• \(u_L,u_R\)
• \(d_L,d_R\)
• \(e_L,e_R\)
• \(\nu_L,(\nu_R)\)

 

13.7 바리온/메손 기하학과의 정합성

정팔면체 바리온(3플라켓 결합), 메손(플라켓 + C플라켓) 구조는

• 모두 flavor/color 내부 조합학(\(κ\)와 \(k_i\)) 으로 결정되고,
• chirality는 정팔면체 위치(A/B) 라서 그 결합에 영향하지 않는다.

즉:

• 바리온은 \(x\)에 상관없이 양쪽 chirality copy로 존재.
• 메손 루프도 chirality 독립.

이는 SM에서 hadron이 L/R symmetric 복사본으로 존재하는 것과 정확히 같다.

 

13.8 최종 정리

정리 13.8 (Qaether emergent chirality)

FCC 정팔면체 dual-cell complex의 A/B bipartition은 자연스럽게
\[
\Gamma_5 =
\begin{cases}
+1 & x\in\mathcal V_A\\
-1 & x\in\mathcal V_B
\end{cases}
\]
를 정의하며,

\[
[\Gamma_5,\kappa]=[\Gamma_5,C]=[\Gamma_5,Q]=[\Gamma_5,T_3]=[\Gamma_5,Y]=0.
\]

또한 SU(2)\(_L\) 작용은
\[
U(g)=U_L(g)P_L + P_R
\]
형태로만 작용하여, SM의 left-handed doublet / right-handed singlet 구조를 완전히 재현한다.

 

13.9 결론

Qaether 이론에서의 chirality는 플라켓 내부 조합학과 독립적인 “기하학적 Z₂”, 즉 FCC dual lattice의 bipartition topology에서 자발적으로 등장하는 구조이다.