[v0.2] Lattice Phases: 2D Closure to 3D Flatness

정팔면체 위상 폐합 조건을 위한 $\mathbb{Z}_{12}$ 위상차 분류

초록

본 문서는 Qaether의 이산 위상 규약(링크 위상차가 $\frac{\pi}{6}$ 단위로 양자화되고, 대표는 $\mathbb{Z}_{12}=\{0,1,\dots,11\}$로 취함) 아래에서 다음 두 가지 문제를 해결한다.

1. 정사각 플라켓(plaquette) 경계의 위상차 4-튜플(tuple)이 닫힘 조건을 만족하는 모든 조합을 완전 분류한다.
2. 동일한 4-집합을 정팔면체의 세 직교 플라켓(XY, YZ, ZX)에 배치할 때, 생성되는 8개의 삼각 루프가 모두 $\pmod{2\pi}$로 닫히는지($\pmod{12}$로 0) 여부를 판정한다.

결론적으로 문제 1의 해는 총 42개이며, 문제 2(삼각 루프 전부 폐합)는 $0\in K$일 때만 가능하며, 이를 만족하는 $K$는 총 14개이다.

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1. 설정 및 표기

1.1 $\mathbb{Z}_{12}$ 위상차 규약

각 링크(변)의 위상차 $a$를 다음과 같이 둔다.
$$
a = \frac{\pi}{6}k, \qquad k \in \mathbb{Z}_{12} = \{0, 1, \dots, 11 \}
$$
즉, 위상차 대표 범위는 $[0, 2\pi)$이며, 허용되는 값은 다음과 같다.
$$ \{ 0, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{6}, \dots, \frac{11\pi}{6} \}$$

1.2 플라켓 닫힘 조건 (사각/삼각)

정사각 플라켓 (사각 루프) 경계 합:
$$
a+b+c+d \equiv 0 \pmod{2\pi} \quad \Longleftrightarrow \quad k_1+k_2+k_3+k_4 \equiv 0 \pmod{12}
$$
삼각 루프 (삼각 플라켓) 경계 합:
$$
\text{(세 변 합)} \equiv 0 \pmod{2\pi} \quad \Longleftrightarrow \quad T \equiv 0 \pmod{12}
$$

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2. 문제 1: 정사각 플라켓의 모든 가능한 위상차 조합

문제 정의

정사각 플라켓의 네 변에 위상차 $(a,b,c,d)$가 배정되어 있다고 하자.

• $a,b,c,d \in \{0, \frac{\pi}{6}, \dots, \frac{11\pi}{6}\}$
• 네 값은 서로 다르며 오름차순으로 정렬됨 ($a<b<c<d$)
• 닫힘 조건: $a+b+c+d \equiv 0 \pmod{2\pi}$

정리 2.1 (문제 1의 완전 분류)

정수 표기 $(k_1, k_2, k_3, k_4)$로 두면,
$$
k_i \in \{0, \dots, 11\}, \quad k_1 < k_2 < k_3 < k_4, \quad \sum k_i \equiv 0 \pmod{12}
$$
위 조건을 만족하는 4-튜플은 총 42개이며, 가능한 합 $\sum k_i$는 12, 24, 36 중 하나이다.

증명 (핵심)

서로 다른 4개를 고를 때 합의 범위는 최소 $0+1+2+3=6$, 최대 $8+9+10+11=38$이다. 이 구간 내에서 12의 배수는 12, 24, 36뿐이다. 조합론적 열거를 통해 총 42개임을 확인할 수 있다. $\blacksquare$

해답 1: 42개 해의 목록

(A) 합이 12인 경우 (9개)
$$
\begin{aligned}
&(0,1,2,9), \quad (0,1,3,8), \quad (0,1,4,7), \quad (0,1,5,6), \\
&(0,2,3,7), \quad (0,2,4,6), \quad (0,3,4,5), \\
&(1,2,3,6), \quad (1,2,4,5)
\end{aligned}
$$

(B) 합이 24인 경우 (31개)
$$
\begin{aligned}
&(0,3,10,11), \ (0,4,9,11), \ (0,5,8,11), \ (0,5,9,10), \\
&(0,6,7,11), \ (0,6,8,10), \ (0,7,8,9), \\
&(1,2,10,11), \ (1,3,9,11), \ (1,4,8,11), \ (1,4,9,10), \\
&(1,5,7,11), \ (1,5,8,10), \ (1,6,7,10), \ (1,6,8,9), \\
&(2,3,8,11), \ (2,3,9,10), \ (2,4,7,11), \ (2,4,8,10), \\
&(2,5,6,11), \ (2,5,7,10), \ (2,5,8,9), \ (2,6,7,9), \\
&(3,4,6,11), \ (3,4,7,10), \ (3,4,8,9), \ (3,5,6,10), \\
&(3,5,7,9), \ (3,6,7,8), \ (4,5,6,9), \ (4,5,7,8)
\end{aligned}
$$

(C) 합이 36인 경우 (2개)
$$
(6,9,10,11), \quad (7,8,10,11)
$$

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3. 문제 2: 정팔면체에서 8개 삼각 루프가 모두 닫히는 조건

문제 정의

정팔면체 꼭지점 $(\pm1,0,0), (0,\pm1,0), (0,0,\pm1)$을 취한다. 문제 1의 해 중 하나의 4-집합 $K=\{k_1, k_2, k_3, k_4\} \subset \{0,\dots,11\}$를 고른다.
세 개의 직교하는 사각 루프(XY, YZ, ZX 평면)의 경계에 $K$의 원소 4개를 순환열(회전 및 반전 허용)로 배치했을 때, 정팔면체가 생성하는 8개의 삼각 루프 합이 모두 $0 \pmod{12}$가 되도록 할 수 있는 $K$의 조건을 구하고 가능한 목록을 나열하라.

정리 3.1 (필요충분조건)

문제 2의 배치가 가능할 필요충분조건은 다음과 같다.
$$
\boxed{0 \in K}
$$
(단, 문제 1의 조건인 사각 루프 합이 $0 \pmod{12}$임은 전제한다.)

증명

(1) 충분성: $0 \in K$이면 항상 구성 가능
$K=\{0, x, y, z\}$라 하자. ($x+y+z \equiv 0 \pmod{12}$)
다음과 같이 각 평면에 위상차를 배치한다 (순환열 $0 \to x \to y \to z$).
$$
\begin{aligned}
\mathrm{XY}: \quad &[0, x, y, z] \\
\mathrm{YZ}: \quad &[0, y, z, x] \\
\mathrm{ZX}: \quad &[0, z, x, y]
\end{aligned}
$$
이때 정팔면체의 8개 삼각 루프는 위 행렬의 '열(column)' 합과 연관된다. 각 열의 합은 다음과 같다.
$$
(0, \ x+y+z, \ y+z+x, \ z+x+y) \equiv (0, 0, 0, 0) \pmod{12}
$$
따라서 모든 삼각 루프가 닫힌다.

(2) 필요성: $0 \notin K$이면 불가능
세 사각 루프의 배치를 $3 \times 4$ 표로 생각하자. 각 행은 $K$의 순열이고, 각 열(삼각 루프 조건)의 합 $T_j \equiv 0 \pmod{12}$이어야 한다.

• 만약 어떤 열이 서로 다른 세 원소 ${a, b, c} \subset K$로 구성된다면, 그 합은 $K$의 전체 합에서 나머지 한 원소 $m$을 뺀 것과 같다.
  $$ T \equiv (a+b+c+d) - m \equiv -m \pmod{12} $$
  $T \equiv 0$이면 $m \equiv 0$이어야 하는데, $0 \notin K$라고 가정했으므로 모순이다.
• 따라서 모든 열은 중복 원소를 포함해야 한다. 즉, 모든 열은 $\{x, x, y\}$ ($x \neq y$) 형태여야 한다.
• 이 경우 열 닫힘 조건은 $2x + y \equiv 0 \pmod{12} \implies y \equiv -2x \pmod{12}$이다. 이는 $y$가 짝수임을 의미한다.
• 표 전체에서 각 원소는 정확히 3번 등장한다. 어떤 원소가 '중복 원소($x$)' 위치에만 등장하면 짝수 번 나오므로 3번이 될 수 없다. 즉, 모든 원소는 적어도 한 번은 '단독 원소($y$)' 위치에 와야 한다.
• 단독 원소 위치($y$)는 항상 짝수여야 하므로, $K$의 모든 원소는 짝수여야 한다.
• $K$가 모두 짝수이면 $k=2k'$로 치환하여 $\pmod 6$ 문제로 축소할 수 있다. 조건식은 $2x' + y' \equiv 0 \pmod 6 \implies y' \equiv -2x' \pmod 6$이 된다.
• $\mathbb{Z}_6$에서 $-2x'$가 취할 수 있는 값은 $\{0, 2, 4\}$뿐이다.
• 가정에 의해 $0 \notin K$이므로 $0 \notin K'$이다. 따라서 $y'$가 될 수 있는 값은 ${2, 4}$뿐이다.
• 앞서와 같은 논리로 모든 원소가 단독 위치($y'$)에 적어도 한 번 와야 하므로 $K' \subset \{2, 4\}$여야 한다. 그러나 $K'$의 원소 개수는 4개여야 하므로 이는 불가능하다.
• 따라서 $0 \notin K$라는 가정은 모순이며, $0 \in K$가 반드시 성립해야 한다. $\blacksquare$

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4. 문제 2의 해: 가능한 $K$의 완전 목록 (14개)

문제 1의 42개 해 중 $0$을 포함하는 집합을 추려내면 정확히 14개이며, 정리 3.1에 의해 이들은 모두 정팔면체 구성을 만족한다.

합이 12인 경우 (7개)

$$
\{0,1,2,9\}, \{0,1,3,8\}, \{0,1,4,7\}, \{0,1,5,6\}, \{0,2,3,7\}, \{0,2,4,6\}, \{0,3,4,5\}
$$

합이 24인 경우 (7개)

$$
\{0,3,10,11\}, \{0,4,9,11\}, \{0,5,8,11\}, \{0,5,9,10\}, \{0,6,7,11\}, \{0,6,8,10\}, \{0,7,8,9\}
$$
(참고: 합이 36인 경우는 0을 포함하는 해가 없음)

구성 알고리즘

입력된 집합이 $K={0, x, y, z}$일 때, 다음 배치는 항상 유효하다.
$$
\mathrm{XY}: [0, x, y, z], \quad \mathrm{YZ}: [0, y, z, x], \quad \mathrm{ZX}: [0, z, x, y]
$$

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5. 부록: 전하 공액 (부호 반전) 동치

$\mathbb{Z}_{12}$에서 부호 반전 연산 $K \mapsto -K := {(12-k) \pmod{12} \mid k \in K}$을 적용하면, 위 14개의 해는 7쌍의 대칭 관계를 갖는다.

1. ${0,1,2,9} \longleftrightarrow \{0,3,10,11\}$
2. ${0,1,3,8} \longleftrightarrow \{0,4,9,11\}$
3. ${0,1,4,7} \longleftrightarrow \{0,5,8,11\}$
4. ${0,1,5,6} \longleftrightarrow \{0,6,7,11\}$
5. ${0,2,3,7} \longleftrightarrow \{0,5,9,10\}$
6. ${0,2,4,6} \longleftrightarrow \{0,6,8,10\}$
7. ${0,3,4,5} \longleftrightarrow \{0,7,8,9\}$