[v2.0] 이산 위상 게이지 기하학 구조

제1장: 공간의 기하학적 구조

1.1 FCC 접촉 네트워크의 3-복합체

공리 1.1 (기본 셀 복합체)
공간은 다음과 같은 3-차원 셀 복합체(Cell Complex)로 정의된다.
$$
X = (V, E, P, C_3)
$$
여기서 각 요소는 다음과 같다:

• $V$: 0-셀 (사이트, Qaether 위치, 정점)
• $E$: 1-셀 (유향 링크). $i \to j$와 $j \to i$는 동일한 접촉의 반대 방향을 나타낸다.
• $P = P_3 \cup P_4$: 2-셀 (플라켓).
  • $P_3$: 정삼각 플라켓 (Triangular Plaquette)
  • $P_4$: 정사각 플라켓 (Square Plaquette)
• $C_3$: 3-셀 (부피 셀, Volume Cell)

1.2 혼합 3-셀 분해: 정팔면체 + 정사면체

공리 1.2 (Tetra–Octa 혼합 분해)
FCC(면심입방) 격자 구조의 특성에 따라, 공간을 채우는 3-셀은 정팔면체(Octahedron)와 정사면체(Tetrahedron)로 혼합 분해된다.
$$
\boxed{C_3 = C_3^{(O)} \sqcup C_3^{(T)}}
$$

공리 1.3 (3-셀 경계와 삼각 플라켓)
모든 3-셀의 경계는 삼각 플라켓($P_3$)들로만 구성된다. 각 정팔면체 $O \in C_3^{(O)}$와 정사면체 $T \in C_3^{(T)}$에 대하여 경계 연산자 $\partial_3$는 다음과 같이 정의된다.
$$
\boxed{\partial_3 O = \sum_{i=1}^{8} \mathrm{sgn}(O, f_i) f_i, \quad f_i \in P_3}
$$
$$
\boxed{\partial_3 T = \sum_{i=1}^{4} \mathrm{sgn}(T, f_i) f_i, \quad f_i \in P_3}
$$
여기서 $\mathrm{sgn}$은 방향(orientation)에 따른 부호($\pm 1$)이다.

공리 1.4 (체인 복합체 항등식)
부피의 경계를 다시 경계로 취하면 위상학적으로 0이 된다.
$$
\boxed{\partial_2 \circ \partial_3 = 0}
$$

1.3 물질 셀 vs 글루온 셀

정의 1.5 (물질 셀과 게이지 셀의 분류)

1. 물질 셀(Matter Cell): 정팔면체 $O \in C_3^{(O)}$ 위에서 정의된다. 위상적으로 완결되고, 국소적으로 안정한 닫힌 상태(Closed State)를 형성하여 정지 질량과 전하를 가진 입자로 해석된다.
2. 글루온 셀(Gluon Cell): 정사면체 $T \in C_3^{(T)}$ 위에서 정의된다. 삼각 플라켓의 국소 진동 및 곡률 여기가 매개하는 힘의 장(Field)으로 해석된다.

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제2장: 이산 위상 자유도와 $\mathbb{Z}_{12}$ 리프트 구조

2.1 컴팩트 위상

공리 2.1 (U(1) 컴팩트성)
관측 가능한 위상 값 $\Phi$는 원군(Circle Group)의 원소이다.
$$
\boxed{\Phi \in \mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z}}
$$

2.2 링크 위상 양자화 ($\mathbb{Z}_{12}$)

공리 2.2 (링크 위상)
각 유향 링크 $i \to j$에 대해 위상 변수 $k_{ij}$는 $\mathbb{Z}_{12}$ 값을 갖는다.
$$
\boxed{k_{ij} \in \mathbb{Z}_{12}, \quad k_{ji} \equiv -k_{ij} \pmod{12}}
$$
이에 대응하는 물리적 연속 위상차는 다음과 같다.
$$
\boxed{\Delta\phi_{ij} = \frac{\pi}{6}k_{ij} \in \mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z}}
$$

2.3 플라켓 위상합: Principal 값 + 정수 리프트

정의 2.3 (플라켓 Principal 합)
임의의 플라켓 $f \in P$에 대해 경계 링크들의 위상 합을 계산하고, 이를 $\mathbb{Z}_{12}$의 대표값(Principal Value)으로 선택한다. 대표값의 구간은 $\{-5, -4, \dots, 6\}$으로 정한다.
$$
\bar{S}_f := \left( \sum_{e \in \partial f} \mathrm{sgn}(f, e) k_e \right) \pmod{12} \in \{-5, \dots, 6\}
$$

정의 2.4 (정수 리프트와 감김수 $m_f$)
플라켓마다 정수 감김수(Winding Number) $m_f \in \mathbb{Z}$를 도입하여, 전체 위상 합을 정수열 $\mathbb{Z}$로 리프트(Lift)한다.
$$
\boxed{\tilde{S}_f := \bar{S}_f + 12m_f \in \mathbb{Z}}
$$
이에 따른 총 자속(Flux)은 다음과 같다.
$$
\boxed{\tilde{\Phi}_f := \frac{\pi}{6}\tilde{S}_f \in \mathbb{R}}
$$
관측 가능한 홀로노미는 $\tilde{\Phi}_f \pmod{2\pi}$이지만, $m_f$는 위상 섹터를 구별하는 핵심적인 물리적 데이터이다.

2.4 안정 섹터: $m \in {0, 1}$

공리 2.5 (이진 감김수와 최저에너지 원리)
저에너지 유효 이론에서 플라켓 감김수 $m_f$는 다음의 값만을 안정적으로 가진다.
$$
\boxed{m_f \in \{0, 1\}}
$$

• $m_f = 0$: 진공 (Vacuum, 최저 에너지 상태)
• $m_f = 1$: 기본 여기 (Elementary Excitation, 최저 비자명 에너지 상태)
• $m_f \ge 2$: 에너지 비용이 너무 커서 불안정하며, 국소 붕괴 과정을 통해 $m=1$ 결함들의 조합으로 분해된다.

공리 2.6 (저에너지 정합: Principal 곡률 억제)
안정한 물질 혹은 진공 구성에서 Principal 합 $\bar{S}_f$는 강하게 억제된다.
$$
\boxed{\bar{S}_f = 0}
$$
따라서 "진공"과 "기본 여기"의 차이는 $\bar{S}_f$ 값이 아니라 감김수 $m_f \in \{0, 1\}$에 의해 결정된다.

2.5 이산 시간과 광속

공리 2.7 (플랑크 시간 업데이트)
각 Qaether(사이트)는 플랑크 시간 $t_p$ 단위로 자신의 상태를 갱신한다. 정보는 인접한 링크를 통해서만 전달될 수 있다.

정의 2.8 (광속 유도)
정보 전달의 최대 속도인 광속 $c$는 격자 간격 $\ell_p$와 업데이트 시간 $t_p$의 비율로 정의된다.
$$
\boxed{c := \frac{\ell_p}{t_p}}
$$

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제3장: 사각 플라켓 물질 분류 — 쿼크(색)와 렙톤(무색)

3.1 사각 플라켓 위상 벡터

정의 3.1 (사각 플라켓 위상 벡터)
사각 플라켓 $p \in P_4$의 경계를 이루는 4개 링크의 위상 값 순서열을 위상 벡터로 정의한다.
$$
\boxed{w(p) = [a, b, c, d], \quad \{a, b, c, d \} \in \mathbb{Z}_{12}}
$$

정의 3.2 (기본 물질 플라켓 조건)
사각 플라켓이 물질로 작동하기 위해서는 저에너지 정합 조건($\bar{S}_p=0$)과 기본 여기 조건($m_p=1$)을 동시에 만족해야 한다.
$$
\boxed{\sum \text{links} = a+b+c+d = 12, \quad (\text{즉, } \bar{S}_p = 0, \ m_p = 1)}
$$

3.2 쿼크 vs 렙톤

정의 3.3 (쿼크형 패턴: $\mathcal{W}_q$)
기본 물질 플라켓 중 네 개의 링크 값이 모두 서로 다른 경우를 쿼크형이라 한다.
$$
\boxed{\mathcal{W}_q = { w \in (\mathbb{Z}_{12})^4 : \bar{S}=0, \ m=1, \ \{a,b,c,d \} \text{ 모두 상이} }}
$$

정의 3.4 (렙톤형 패턴: $\mathcal{W}_\ell$)
기본 물질 플라켓 중 값의 중복이 존재하여 네 값이 모두 다르지는 않은 경우를 렙톤형이라 한다.
$$
\boxed{\mathcal{W}_\ell = { w : \bar{S}=0, \ m=1, \ \exists x \neq y \text{ s.t. } a_x = a_y }}
$$

3.3 동치 및 반입자

정의 3.5 (회전 동치 $C_4$)
플라켓의 회전은 물리적으로 동일한 상태로 간주한다.
$$
\rho([a, b, c, d]) = [b, c, d, a], \quad C_4 = \langle \rho \rangle
$$

정의 3.6 (전하 공액/반입자 연산 $\mathcal{A}$)
링크의 방향을 반대로 바꾸는 연산은 반입자(Anti-particle)에 대응한다.
$$
\boxed{\mathcal{A}([a, b, c, d]) = [-d, -c, -b, -a]}
$$

3.4 색 3중성(쿼크)과 무색성(렙톤)

정리 3.7 (쿼크형 패턴에서 3색 유도)
쿼크형 패턴((a,b,c,d) 모두 상이)은 회전군 $C_4$ 작용에 대해 고정점(Fixed Point)이 없다. 따라서 가능한 24개의 순열($4!$)은 6개의 궤도(Orbit)로 분해되며($24/4=6$), 이는 다시 전하 공액 $\mathcal{A}$에 의해 3쌍의 입자-반입자 쌍으로 묶인다.
$$
\boxed{24 \xrightarrow{C_4} 6 \xrightarrow{\mathcal{A}} 3 \text{ pairs}}
$$
이 3쌍이 쿼크의 색 전하 $\{r, g, b\}$ 및 반색 $\{\bar{r}, \bar{g}, \bar{b}\}$에 대응한다.

정리 3.8 (렙톤형 패턴의 무색성)
렙톤형 패턴은 값의 중복으로 인해 회전 대칭에 대한 안정자(Stabilizer)가 존재한다. 이로 인해 "24→6→3"과 같은 궤도 분해가 발생하지 않으며, 색 대칭성(SU(3)와 유사한 구조)이 발현되지 않는다. 따라서 렙톤은 색을 가지지 않는(무색, Colorless) 입자로 분류된다.

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제4장: $SU(2)$ 병렬 수송, 곡률, 글루온

4.1 기본 변수 ($h_{ij} \in SU(2)$)

공리 4.1 (링크 연결 변수)
각 유향 링크 $i \to j$에는 위상 변수 $k_{ij}$ 외에도 스핀 상호작용을 위한 $SU(2)$ 그룹 원소가 할당된다.
$$
\boxed{h_{ij} \in SU(2), \quad h_{ji} = h_{ij}^{-1}}
$$

공리 4.2 (게이지 변환)
각 정점 $i$에서의 게이지 변환 $g_i \in SU(2)$에 대해 링크 변수는 다음과 같이 변환한다.
$$
\boxed{h_{ij} \mapsto g_i h_{ij} g_j^{-1}}
$$

4.2 병렬 수송과 플라켓 홀로노미

정의 4.3 (병렬 수송)
정점 $i$의 물질장(스핀 섹터) $\psi_i$는 인접 정점 $j$로 다음과 같이 병렬 수송된다.
$$
\boxed{\psi_j = h_{ij} \psi_i}
$$
(위상 섹터와 결합 시: $\psi_j = e^{i(\pi/6)k_{ij}} h_{ij} \psi_i$)

정의 4.4 (플라켓 홀로노미)
플라켓 $p$를 한 바퀴 도는 윌슨 루프(Wilson Loop) 값은 다음과 같다.
$$
\boxed{W_p = \prod_{(ij) \in \partial p} h_{ij} \in SU(2)}
$$

정의 4.5 (곡률각)
홀로노미의 트레이스로부터 게이지 장의 곡률(Curvature) $\theta_p$를 정의한다.
$$
\boxed{\theta_p = \arccos\left(\frac{\mathrm{Tr} W_p}{2}\right) \in [0, \pi]}
$$

4.3 글루온(삼각 플라켓 진동)

정의 4.6 (글루온)
글루온은 삼각 플라켓 $f \in P_3$ 위에서 정의되는 여기 상태이다. 구체적으로 $\theta_f(t)$(스핀 곡률) 또는 $k_e(t)$(위상 진동)가 시간에 따라 변동하는 것을 의미한다.

공리 4.7 (기하학적 색 변환)
삼각 플라켓(글루온)의 진동은 공유하는 엣지를 통해 인접한 사각 플라켓(쿼크)의 위상 벡터 $w(p)$ 구성을 국소적으로 변화시킨다. 쿼크형 패턴에서 이러한 변화는 색 라벨 ${r, g, b}$ 간의 전이로 관측된다. 즉, 강력(Strong Force)은 기하학적 인접성에 의한 위상 벡터의 변환 과정이다.

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제5장: 정팔면체 물질 셀 — 바리온 및 렙톤의 기하학

5.1 쿼크는 루프(Loop)이다

정의 5.1 (쿼크 루프)
Qaether 이론에서 기본 입자인 쿼크(또는 렙톤)는 점 입자가 아니라 사각 플라켓 $p \in P_4$의 경계인 유향 루프(1-Cycle)로 정의된다.
$$
\boxed{\Gamma(p) := \partial p \in Z_1(X)}
$$

5.2 직교 사각 결합이 정팔면체를 생성

정의 5.2 (정팔면체 생성 결합)
FCC 격자에서 서로 직교하는 세 사각 플라켓 $p_x, p_y, p_z \in P_4$가 십자 형태로 결합하면, 이들의 경계 합은 정팔면체 $O$의 1-스켈레톤(모서리 구조)을 형성한다.
$$
\boxed{\partial p_x \cup \partial p_y \cup \partial p_z = \mathrm{Skel}_1(O)}
$$

정의 5.3 (정팔면체의 8개 삼각 플라켓)
생성된 정팔면체 $O$의 표면은 8개의 삼각 플라켓 $\{f_1, \dots, f_8\} \subset P_3$로 닫혀 있다. 이들은 내부 사각 플라켓들과 엣지를 공유하며 상호작용한다.

5.3 바리온 정의

정의 5.4 (바리온 뼈대)
세 사각 플라켓 $p_x, p_y, p_z$가 모두 쿼크형 패턴($\mathcal{W}_q$)이면서 서로 직교 결합된 구조를 바리온 뼈대라 한다.

정의 5.5 (바리온: 완전 폐합 조건)
바리온은 바리온 뼈대를 포함하는 정팔면체 $O$의 표면(8개의 삼각 플라켓)이 모두 진공 조건($m=0, \bar{S}=0$)을 만족하여 위상적으로 완결된 상태이다.
$$
\boxed{\forall i \in \{1, \dots, 8\}, \quad m_{f_i} = 0 \text{ and } \bar{S}_{f_i} = 0}
$$
이것이 쿼크 3개가 모여 색 전하가 외부로 새어 나가지 않는(Color Singlet) 상태의 기하학적 구현이다.

5.4 렙톤(정팔면체 내의 또 다른 완결)

정의 5.6 (렙톤 플라켓)
렙톤은 렙톤형 패턴 $\mathcal{W}_\ell$에 속하는 사각 플라켓 하나로 정의된다.

정의 5.7 (렙톤 셀)
렙톤 셀은 정팔면체 $O$ 내부에서 단일(혹은 소수) 렙톤 플라켓 루프 $\Gamma(p)$가 결함면(Defect Surface)과 함께 닫힌 구조를 형성하고, 정팔면체의 외부 경계(삼각 플라켓들)는 진공 조건을 만족하는 상태이다. 이는 바리온과 달리 내부 구조가 단순하지만, 여전히 정팔면체 단위의 완결성을 갖는다.

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제6장: 동역학, 결함면, 가둠(Confinement)

6.1 해밀토니안

공리 6.1 (총 해밀토니안)
시스템의 총 에너지는 $SU(2)$ 상호작용, 위상 감김수 에너지, 그리고 Principal 곡률 억제 항의 합으로 주어진다.
$$
\boxed{H = H_{SU(2)} + H_{\text{wind}} + H_{\text{prin}}}
$$

정의 6.2 ($SU(2)$ 곡률 에너지)
$$
\boxed{H_{SU(2)} = -J \sum_{p \in P} \cos \theta_p}
$$

정의 6.3 (감김수 결함 에너지)
감김수 $m_f \in {0, 1}$에 대한 에너지 비용으로, $m=0$(진공)을 선호한다.
$$
\boxed{H_{\text{wind}} = \mu \sum_{f \in P_3 \cup P_4} m_f^2}
$$

정의 6.4 (Principal 곡률 억제 항)
$$
\boxed{H_{\text{prin}} = \kappa \sum_{f \in P_3 \cup P_4} \bar{S}_f^2}
$$
($\kappa$는 매우 큰 상수로, 저에너지 극한에서 $\bar{S}_f = 0$을 강제한다.)

6.2 결함면과 색원(Loop)

정의 6.5 (결함면)
감김수가 $m_f=1$인 2-셀(플라켓)들의 집합을 결함면 $S$라고 한다.

정의 6.6 (색원/쿼크 = 결함면의 경계)
색원(Color Source)은 점이 아니라 결함면 $S$의 경계인 루프로 정의된다.
$$
\boxed{\partial S = \sum_a \Gamma_a}
$$
여기서 $\Gamma_a$는 쿼크 또는 렙톤 루프이다.

정리 6.7 (위상학적 제약: 결함면의 보존)
$\partial_2 \circ \partial_3 = 0$ (공리 1.4)에 의해, 결함면은 공간 상에서 갑자기 끊어질 수 없다. 결함면은 반드시 닫혀 있거나(Closed Surface), 그 경계가 물질 루프(쿼크)에 닿아 있어야 한다.

6.3 가둠(Confinement)의 정의

정의 6.8 (가둠과 선형 퍼텐셜)
두 색원 루프 $\Gamma_1, \Gamma_2$를 공간적으로 거리 $R$만큼 분리할 때, 이들을 경계로 갖는 결함면 $S$가 형성되어야 한다. 이때 결함면의 최소 면적에 비례하는 에너지 비용이 발생한다.
$$
E(\Gamma_1, \Gamma_2) = \min_{\partial S = \Gamma_1 + \Gamma_2} (\mu \cdot \text{Area}(S))
$$
분리 거리 $R$이 커질수록 에너지가 선형적으로 증가하면 이를 가둠이라 한다.
$$
\boxed{E(R) \sim \sigma R \quad (R \to \infty)}
$$
여기서 $\sigma$는 장력(String Tension)이다.

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제7장: 질량과 시간의 거시적 창발

7.1 질량 = 결합 결손(Binding Deficit)

공리 7.1 (질량의 기원)
질량은 입자의 내재적 속성이 아니라, 위상 결함($m_f=1, \bar{S} \neq 0$ 등)이 유발하는 국소적 결합 손실로 인한 진공 에너지와의 차이로 정의된다.
$$
\boxed{M_{\text{eff}} \propto \Delta E = E_{\text{defect}} - E_{\text{vac}} > 0}
$$
즉, 질량은 기하학적 결함이 격자 구조 내에 존재하기 위해 지불해야 하는 에너지 비용이다.

7.2 시간 지연(상대론적 효과)의 기하학적 유도

공리 7.2 (위상 연산 자원 보존과 시간 지연)
각 Qaether 사이트가 단위 시간당 처리할 수 있는 총 연산 자원 $\Omega$는 일정하게 보존된다. 이 자원은 내부 상태 갱신(시간의 흐름)과 외부 상호작용(공간적 변화)에 분배된다.
$$
\boxed{\omega_\tau^2 + \omega_{\text{space}}^2 = \Omega^2}
$$

• $\omega_\tau$: 내부 시간 진행 속도 (Proper Time)
• $\omega_{\text{space}}$: 결함면 유지, 곡률 진동, 운동량 등 공간적 활동에 소모되는 자원

결함(질량)이 크거나 입자의 속도가 빨라지면 $\omega_{\text{space}}$가 증가하므로, 보존 법칙에 의해 $\omega_\tau$가 감소한다. 이는 거시적으로 시간 지연(Time Dilation) 현상으로 창발된다.