정팔면체 경계의 4쌍 삼각플라켓과 SU(3) 8-모드(글루온) 구조

0. 설정: $\mathbb{Z}_{12}$ 위상과 플라켓 폐합 조건

각 방향 엣지의 위상 증분을
$$
\Delta\phi = k \cdot \frac{\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}_{12} = \{0, 1, \dots, 11\}
$$
로 둡니다. 루프 $\gamma$의 (가환) 홀로노미가 경계합
$$
\sum_{e \in \gamma} k_e \equiv 0 \pmod{12}
$$
일 때, 해당 루프는 “닫힌다(closed)”고 정의합니다. 구체적으로 다음과 같습니다.

• 사각 플라켓(4-사이클): $k_1 + k_2 + k_3 + k_4 \equiv 0 \pmod{12}$
• 삼각 플라켓(3-사이클): $u + v + w \equiv 0 \pmod{12}$

이제 정팔면체를 서로 직교하는 3개의 사각 루프(XY, YZ, ZX 평면)로 조립하고, 그 골격에서 유도되는 8개의 삼각 플라켓(면)이 모두 닫히도록 만드는 구성을 다룹니다. 이 “정팔면체 삼각 루프의 동시 폐합”이 가능할 필요충분조건은 사용된 라벨 집합 $K$에 $0$이 포함되는 것이며($0 \in K$), 이에 대한 구성적 배치는 다음과 같습니다.

 

1. 구성적 정리: $K=\{0, a, b, c\} \subset \mathbb{Z}_{12}$로부터 유도되는 8개 삼각면

1.1 (입력) 사각 플라켓의 네 라벨 집합 $K$

서로 다른 4원소
$$
K = \{0, a, b, c\} \subset \mathbb{Z}_{12}
$$
를 택하고, 사각 플라켓의 폐합 조건을
$$
0 + a + b + c \equiv 0 \pmod{12} \quad \Longleftrightarrow \quad a + b + c \equiv 0 \pmod{12}
$$
로 가정합니다. (즉, $a+b+c = 12$ 또는 $24$인 경우입니다.)

1.2 (배치 규칙) 세 사각 루프(XY, YZ, ZX)에 대한 “부호쌍 순환” 고정

정팔면체의 꼭지점을 ${\pm X, \pm Y, \pm Z}$로 두고, 각 좌표평면의 사각 루프를
$$
(+,+) \to (+,-) \to (-,-) \to (-,+)
$$
순서(사분면 순환)로 도는 것으로 고정합니다. 각 부호쌍(엣지 슬롯)에 $K$의 원소를 다음과 같이 배치합니다.

• XY 루프:
  $$ (+,+) \mapsto 0, \quad (+,-) \mapsto a, \quad (-,-) \mapsto b, \quad (-,+) \mapsto c $$
• YZ 루프:
  $$ (+,+) \mapsto a, \quad (+,-) \mapsto c, \quad (-,-) \mapsto b, \quad (-,+) \mapsto 0 $$
• ZX 루프:
  $$ (+,+) \mapsto a, \quad (+,-) \mapsto b, \quad (-,-) \mapsto 0, \quad (-,+) \mapsto c $$

이는 “순환열 동치(회전/반사)” 관점에서 보았을 때 각각 다음과 같으며, 사각 루프의 대칭군($D_4$) 아래에서 본질적으로 같은 형태의 배치입니다.
$$
\text{XY}: [0, a, b, c], \quad
\text{YZ}: [0, a, c, b] \text{ (순환이동)}, \quad
\text{ZX}: [0, b, a, c] \text{ (순환이동)}
$$

 

2. (절댓값 수준) 8개 삼각면에서 나타나는 3-튜플의 분류

정팔면체의 삼각면은 8개이며, 각 삼각면은 한 옥탄트(Octant, $(s_x, s_y, s_z) \in {\pm 1}^3$)에 대응합니다. 해당 삼각면의 세 변은 각각 다음 부호쌍을 갖습니다.

• XY 변: $(s_x, s_y)$
• YZ 변: $(s_y, s_z)$
• ZX 변: $(s_z, s_x)$

1.2의 “부호쌍 $\to$ 라벨” 규칙을 대입하면, 8개 삼각면에서 얻어지는 라벨 3-튜플의 종류(절댓값 기준)는 멀티셋(multiset)으로 다음과 같이 정리됩니다.

$$
(0, a, a) \times 2, \quad (0, b, b) \times 2, \quad (0, c, c) \times 2, \quad (a, b, c) \times 2
$$

즉, 정팔면체 경계의 8개 삼각면은 항상 4가지 ‘형(type)’이 각각 정확히 두 번씩 나타나는 구조로 강하게 고정됩니다. (이 단계는 방향성을 반영하지 않은 분류입니다.)

 

3. (부호 포함) 삼각 플라켓의 실제 패턴

삼각 플라켓은 방향을 가진 경계합이므로, 같은 라벨이더라도 삼각 경로를 도는 방향에 따라 $(+k)$ 또는 $(-k)$로 기여합니다. 삼각 폐합 조건은 $u+v+w \equiv 0 \pmod{12}$입니다.

3.1 $(0, k, k)$형의 폐합 $\Rightarrow \pm(0, k, -k)$

$(0, a, a)$로 분류된 삼각면이 닫히려면 $0 \pm a \pm a \equiv 0 \pmod{12}$이어야 합니다. 일반적인 경우($a \not\equiv 6$)에는 $0 + a - a \equiv 0$만이 가능하므로, 두 $a$의 부호는 서로 반대여야 합니다. (특수한 경우인 $a \equiv 6$일 때도 $a \equiv -a$이므로 성립합니다.)
따라서 $(0, a, a)$형인 두 삼각면은 실제 패턴에서 서로 부호 반전인 한 쌍이 됩니다.
$$
(0, a, -a), \quad (0, -a, a)
$$
동일한 논리로 $(0, b, b)$와 $(0, c, c)$ 형도 각각 $\pm(0, b, -b)$, $\pm(0, c, -c)$ 쌍이 됩니다.

3.2 $(a, b, c)$형의 폐합 $\Rightarrow \pm(a, b, c)$

$(a, b, c)$형 삼각면은 $a+b+c \equiv 0 \pmod{12}$일 때 닫히며, 이는 1.1의 초기 가정과 일치합니다. 따라서 이 두 삼각면은
$$
(a, b, c), \quad (-a, -b, -c)
$$
의 부호 반전 쌍이 됩니다.

3.3 결론: 정팔면체 경계 8삼각 패턴의 완전한 형태

결국 정팔면체 경계에서 얻는 8개 삼각 플라켓 패턴의 멀티셋은 항상 다음의 4쌍(총 8개)으로 정리됩니다.
(여기서 $-k$는 $\mathbb{Z}_{12}$에서 $12-k$를 의미합니다.)

$$
\boxed{\ \pm(0, a, -a), \quad \pm(0, b, -b), \quad \pm(0, c, -c), \quad \pm(a, b, c)\ }
$$

 

4. 따름정리: 전하공액(부호반전)과 패턴 불변성

전하 공액(모듈러 부호반전) 연산을 $\mathcal{A}: k \mapsto -k \pmod{12}$라 하면, 입력 집합 $K$의 공액은 $\mathcal{A}(K) = \{0, -a, -b, -c\}$가 됩니다.
그러나 경계 삼각 패턴 집합 자체가 이미 $\pm$ 쌍으로 닫혀 있으므로, 전체에 $\mathcal{A}$를 적용해도 멀티셋의 구성은 변하지 않습니다.
$$
\boxed{\ \mathcal{T}(\mathcal{A}(K)) = \mathcal{T}(K)\ }
$$
따라서 가능한 14개의 $K$ 집합들이 7개의 전하공액 쌍으로 묶일 때, 각 쌍은 동일한 정팔면체 경계 삼각 패턴을 공유합니다.

 

5. 예시 검증: $K=\{0, 3, 4, 5\}$인 경우

$(a, b, c) = (3, 4, 5)$이며, $3+4+5=12 \equiv 0$이므로 조건을 만족합니다. 정리에 의해 경계 8패턴은 자동으로 다음과 같이 결정됩니다.
$$
\pm(0, 3, -3), \quad \pm(0, 4, -4), \quad \pm(0, 5, -5), \quad \pm(3, 4, 5)
$$
이는 실제로 모든 삼각면을 계산하여 열거한 목록과 정확히 일치합니다.

 

6. 삼각패턴 공간 $\to$ Cartan 평면: SU(3) 루트격자 $A_2$의 엄밀한 출현

위의 조합론적 구조를 연속군 $SU(3)$의 대각(Cartan) 부분공간으로 보내는 선형 사상을 정리합니다.

6.1 삼각 플라켓 패턴 공간

방향을 가진 삼각 플라켓을 $t = (u, v, w) \in \mathbb{Z}_{12}^3$ (단, $u+v+w \equiv 0$)로 둡니다.

6.2 Cartan 투영

선형 Cartan 투영 $t \mapsto (t_3, t_8)$을 다음과 같이 정의합니다.
$$
\boxed{t_3(t) = \frac{u - v}{2}}, \qquad \boxed{t_8(t) = \frac{u + v - 2w}{2\sqrt{3}}}
$$
제약 조건 $u+v+w \equiv 0$ 때문에 $(u,v,w)$는 사실상 2자유도이며, 위 투영은 그 정보를 정확히 $(t_3, t_8)$ 좌표로 추출합니다.

6.3 $(0, k, -k)$류와 SU(3) 루트 방향 생성

대표적인 “쌍극(dipole)” 3종 패턴에 대해 투영을 계산하면 다음과 같습니다.

1. RG형 $t_{RG}(k) = (k, -k, 0)$:
   $$ t_{RG}(k) \mapsto k(1, 0) $$
2. GB형 $t_{GB}(k) = (0, k, -k)$:
   $$ t_{GB}(k) \mapsto k\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$
3. BR형 $t_{BR}(k) = (-k, 0, k)$:
   $$ t_{BR}(k) \mapsto k\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$

이 방향 벡터들, 즉
$$
\alpha_1 = (1, 0), \quad \alpha_2 = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \quad \alpha_3 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
$$
는 정확히 $SU(3)$의 루트격자 $A_2$를 구성하는 3개의 양의 루트 방향과 일치합니다.

결론: 삼각패턴 $(0, k, -k)$류(색 순환 포함)를 Cartan 평면에 선형으로 투영하면, $SU(3)$의 루트격자 구조가 엄밀하게 생성됩니다.

 

7. 정팔면체의 4쌍(=8개) 삼각패턴이 “8 글루온 모드”로 해석되는 구조적 이유

조합론적 정리의 결과인 4쌍의 패턴
$$
\pm(0, a, -a), \quad \pm(0, b, -b), \quad \pm(0, c, -c), \quad \pm(a, b, c)
$$
을 $SU(3)$의 adjoint 표현(차원 8)과 구조적으로 접합합니다.

7.1 “마주보는 삼각면 한 쌍” $\Rightarrow$ 실수 2자유도

정팔면체에서 삼각면은 서로 마주보는 쌍으로 자연스럽게 짝지어집니다. 이를 물리적 “장(Field)”의 진동으로 해석하면, 한 쌍은 일반적으로 코사인/사인 모드와 같이 2개의 실수 자유도를 제공합니다.
$$
\text{삼각면 쌍 4개} \quad \Longrightarrow \quad \text{실 모드 } 4 \times 2 = 8
$$
이 숫자는 $SU(3)$의 생성자 개수(글루온의 종류)인 8과 정확히 일치합니다.

7.2 4쌍 $\leftrightarrow$ $SU(3)$ 생성자의 4블록 분해

표준적으로 $SU(3)$ 생성자(Gell-Mann 행렬)는 다음과 같이 4개의 블록으로 분류됩니다.

• 오프대각(Off-diagonal) 3블록 (각 2개): $(\lambda_1, \lambda_2), (\lambda_4, \lambda_5), (\lambda_6, \lambda_7)$
• 대각(Cartan) 1블록 (2개): $(\lambda_3, \lambda_8)$

이에 대한 대응은 다음과 같습니다.

1. 오프대각 블록: 세 쌍 $\pm(0, a, -a), \pm(0, b, -b), \pm(0, c, -c)$는 구조상 “한 성분은 0(spectator), 두 성분이 $\pm k$로 교환”되는 형태이므로, 색 전하를 교환하는 오프대각 채널(루트 공간 $E_{\pm\alpha}$류)에 대응됩니다. 정팔면체의 회전 및 Weyl군($S_3$) 작용을 고려하면 이 세 가지는 각각 RG, RB, GB 채널을 실현합니다.
2. Cartan 블록: 남는 한 쌍 $\pm(a, b, c)$는 $a+b+c \equiv 0$ 제약 하에서 유효 자유도가 2이며, Cartan 투영 시 $(t_3, t_8)$ 두 성분을 모두 가질 수 있으므로 Cartan 블록 $(\lambda_3, \lambda_8)$에 대응시키는 것이 수학적으로 가장 정합적입니다.

$$
3 \times 2 (\text{Off-diag}) + 1 \times 2 (\text{Cartan}) = 8
$$
이 구조는 “정팔면체 경계의 삼각 진동 = 8 글루온 모드”라는 해석을 $SU(3)$ 대수 구조와 완벽하게 연결하는 핵심 골격이 됩니다.

 

8. 예시 $K=\{0, 3, 4, 5\}$의 Cartan 좌표 해석

• $(0, k, -k)$류의 패턴들은 Cartan 평면에서 항상 루트 벡터 방향(예: $\alpha_2$)에 놓이며, $k$값은 그 방향에서의 이산적 크기(양자화된 세기)를 나타냅니다.
• $(3, 4, 5)$ 패턴의 경우:
  $$ t_3 = \frac{3-4}{2} = -0.5, \qquad t_8 = \frac{3+4-10}{2\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$
  이는 다른 루트 방향(여기서는 $-\alpha_3$)에 해당합니다.

즉, 정팔면체 하나에서 여러 루트 방향이 동시에 나타나는 현상은, FCC 네트워크상에서 정팔면체가 부착되는 방향(회전)과 색 라벨링(RGB 좌표계)의 선택에 따라 Weyl군이 작용하는 것으로 이해할 수 있습니다. 중요한 점은, 어떤 경우든 이 삼각 패턴들은 선형 Cartan 사상 하에서 $A_2$ 루트 격자 위에 정확히 놓인다는 사실입니다.

 

최종 요약

$K=\{0, a, b, c\}$로 구성된 정팔면체 경계의 8개 삼각 플라켓 패턴은 항상 $\pm(0, a, -a)$, $\pm(0, b, -b)$, $\pm(0, c, -c)$, $\pm(a, b, c)$의 4쌍으로 고정됩니다. 이 삼각 패턴들을 Cartan 평면으로 선형 투영하면, $(0, k, -k)$류는 $SU(3)$ 루트격자 $A_2$의 3방향을 엄밀히 생성하며, 전체 4쌍($\times$2 실모드)은 총 8개의 자유도를 가져 $SU(3)$의 8개 생성자(글루온 모드)와 구조적으로 정합합니다.