[v1.9] Qaether: 기본공리 및 정식화

0. 접촉 네트워크와 2-셀(플라켓)

Qaether는 정점 집합 $V$ (셀)와 유향 인접(접촉) 간선 집합 $E$로 이루어진 유향 그래프 $G=(V, E)$ 위에 정의된다.

그래프 \(G\)의 단순(simple) 최소 루프(더 작은 루프의 합으로 분해 불가)중 길이 3(삼각) 및 길이 4(사각) 루프들의 선택된 집합을 플라켓 집합 \(P\)라 하고, 각 \(p\in P\)를 2-셀(plaquette)로 붙여 2-차원 복합체(2-complex) \(X=(V,E,P)\)를 이룬다.
각 플라켓 \(p\in P\)에는 방향(orientation) 이 주어지며, 이에 따라 경계 \(\partial p\)는 유향 간선들의 순환열(cyclic word) \((i_1 \to  i_2),(i_2 \to  i_3),\dots,(i_n \to  i_1)\)로 고정된다(시작점 선택은 순환치환까지 동치로 본다).

범위(Scope): 본 공리는 고정된 네트워크 $G$ 위의 운동학(Kinematics)을 정의한다. 네트워크의 재배열 및 위상 변화(동역학)는 별도의 업데이트 규칙(Update Rule)으로 정의될 수 있다.

1. 셀 프레임 자유도(Internal Frame)

각 셀 $i \in V$는 로컬 프레임(스피너 프레임) 자유도 $\mathbf q_i$를 가진다.
$$ \mathbf q_i = \exp \left( i \frac{\phi_i}{2} \mathbf{n}_i \cdot \boldsymbol{\sigma} \right) \in SU(2), \quad |\mathbf{n}_i|=1$$
여기서 $\phi_i \sim \phi_i + 4\pi$ (스피너 주기성)이며, $\boldsymbol{\sigma}$는 파울리 행렬 벡터이다.

2. 링크 커넥션(Connection Variable)

각 유향 간선 $(i \to j) \in E$에 대해 커넥션 변수 $\mathbf h_{ij}$를 정의한다.
$$\mathbf h_{ij} \in SU(2), \quad \mathbf h_{ji} = \mathbf h_{ij}^{-1} = \mathbf h_{ij}^\dagger$$

3. 관측 링크(Observable Link)

물리적으로 유의미한 기본 관측량인 관측 링크 $U_{ij}$를 다음과 같이 정의한다.
$$\boxed{U_{ij} := \mathbf q_i^{-1} \mathbf h_{ij} \mathbf q_j \in SU(2)}$$

4. 관측량 원리(Frame Re-representation Invariance)

$U_{ij}$는 물리적 관측량이므로, ${\mathbf q_i, \mathbf h_{ij}}$의 로컬 프레임 재표현에 대해 불변이어야 한다. 임의의 $g_i \in SU(2)$에 대하여,
$$\mathbf q_i \mapsto g_i \mathbf q_i, \quad \mathbf h_{ij} \mapsto g_i \mathbf h_{ij} g_j^{-1}$$
의 변환이 일어나더라도,
$$\boxed{U_{ij} \mapsto (g_i \mathbf q_i)^{-1} (g_i \mathbf h_{ij} g_j^{-1}) (g_j \mathbf q_j) = U_{ij}}$$
로 유지됨을 요구한다.

해석: 여기서의 $SU(2)$ 변환은 물리적 '내부 대칭'을 새로 가정하는 것이 아니라, 각 셀에서 프레임을 표현하는 방식의 수학적 중복성을 의미한다. 따라서 ${\mathbf q_i, \mathbf h_{ij}}$는 잉여 변수(Redundant variables)이며, 오직 ${U_{ij}}$만이 실재적인 물리 데이터이다.

5. 플라켓 홀로노미(Curvature/Defect Index)

플라켓 $p$의 경계 $\partial p$에 대하여, $\partial p$의 방향(Orientation)을 따라 링크를 경계 위의 유향 링크들을 순서대로 곱한 기저점(based) 홀로노미를 정의한다.
경계의 순환열을
\[
\partial p=(i_1 i_2)(i_2 i_3)\cdots(i_n i_1)
\]
로 택하면
\[
\boxed{U_p(i_1):=\prod_{k=1}^{n} U_{i_k i_{k+1}} \in SU(2)\quad (i_{n+1}=i_1)}
\]
이다. 기저점을 \(i_m\)로 바꾸면 홀로노미는 일반적으로 켤레변환만큼 달라져
\[
U_p(i_m)=\Bigl(U_{i_1 i_2}\cdots U_{i_{m-1}i_m}\Bigr)^{-1} U_p(i_1) \Bigl(U_{i_1 i_2}\cdots U_{i_{m-1}i_m}\Bigr)
\]
를 만족한다. 따라서 플라켓의 물리적(기저점-독립) 관측량은 \(U_p\) 자체가 아니라 켤레류 \([U_p]\) 또는 \(\mathrm{Tr}(U_p)\) 같은 클래스 함수로 취한다. 순회 방향을 반대로 택할 경우 홀로노미는 \(U_p^{-1}\)가 된다.

6. 스피너-민감 곡률의 창발(Defect Condition)

특정 플라켓이 다음 조건을 만족할 때,
$$\boxed{U_p = -\mathbb{I}}$$
해당 플라켓은 스핀-1/2에 민감한 위상 결함(Topological Defect) 또는 곡률 섹터를 가진다고 정의한다.

설명: $SO(3)$ 수준(고전적 회전)에서는 $\mathbb{I}$과 동일하게 보여 '회전이 없는' 것처럼 측정되지만, $SU(2)$ 수준에서는 중심 원소(Center element) $-\mathbb{I}$로 구별되어 물리적으로 완전히 다른 섹터(Spinor-sensitive sector)를 형성한다.

7. 패턴 해석(Pattern Candidates)

글루온 패턴(후보): 삼각 루프들이 닫힌 구조를 이루는 정사면체(Tetrahedron) 복합 패턴을 상호작용의 최소 단위로 해석한다.
기본 페르미온 패턴(후보): 사각 플라켓의 국소 상태, 특히 $U_p = -\mathbb{I}$인 결함 상태를 기본 페르미온적 특징을 갖는 패턴으로 해석한다.