Basic axioms (v0.8)

A1. 근원적 실재: Void와 Qaether, 유효 압력

• Void: 비공간 경계조건 
  • Void는 물리적 실체가 아니라, Qaether 시스템이 존재할 수 있는 영역의 한계를 규정하는 수학적 경계조건입니다. Qaether가 에너지를 가지고 팽창하려 할 때, 이 경계 너머로는 팽창이 불가능하므로 Qaether 자체의 팽창 에너지가 내부 응력 또는 외부로 향하는 압력으로 전환되고, 이는 마치 경계면에서 100% 반사되는 것과 같은 효과를 낳습니다. 즉, Void가 힘을 '가하는' 것이 아니라, Qaether의 팽창이 '막히는' 조건입니다.
• Qaether: 공간의 최소단위
  • 플랑크 스케일인 반지름 \(l_p\)의 구형 셀, FCC lattice의 lattice site에 배치됨
  • 셀당 최대 12방향으로 결합 가능하며, 결합은 에너지 해소이자 공간의 발생 조건임
•  
• 유효 외부 저항 압력: Qaether는 에너지를 가지고 있기 때문에 팽창하려는 경향이 있다. 그러나 Void는 비공간이기 때문에 격자 외부 경계 조건으로 작용. (비유: 박스안에서 풍선을 불면 커지다가 박스 크기로 인해 크기 제한)
  • 가상 부피정의
    • FCC 격자 큐브의 한변의 길이는 \(2\sqrt{2} l_p\)
    • \(V_{FCC}\): 가상의 FCC격자 부피크기 추정 (\(\approx 16 \sqrt{2} l_p^3\))
    • \(V_Q\): 1개 Qaether 부피 (\( \approx \frac{4}{3} r_p^3 = \frac{4}{3} l_p^3 \))
    • \(V_{void}\): Void의 부피는 계산의 편의를 위하여 Qaether의 배치를 이용해 추측한 가상의 부피변수이다. 따라서, Void의 부피 계산 방법은 \(V_{FCC}\)에서 결합이 일어날 경우 격자안에 포함되는 \(V_Q\)의 부분 부피를 제거해가는 방식 (FCC 격자 구조에서 완전 결합이 일어나면 큐브안에는 최대 4개 Qaether의 부피까지 들어간다)
  • 최대 Void 부피: $$V_{void}(0) = V_{FCC} - V_Q $$
  • 최소 Void 부피: $$V_{void}(12) = V_{FCC} - 4V_Q $$
  • \(m_i\)개의 결합을 가진 \(V_{void}\) (\(0 \leq m_i \leq 12\))
    $$V_{void}(m_i) = V_{FCC} - (1+m_i / 4) * V_Q$$

 

A2. FCC 격자 구조 및 결합벡터 결합순서: 시계순환순서

• 각 Qaether는 최대 12개의 최근접 이웃과 결합 가능
• 결합벡터 \(\hat{b}_{ij}\) 는 FCC 12방향의 단위벡터 중 하나
• 국소 (111) 평면으로 결합벡터 투영 후 극각 \(\theta_{ij}\) 계산, 오름차순(⟳ 시계방향) 정렬.
• 정렬 인덱스 \(i=1,\dots,12\) 고정, 이를 통해 각 셀 내부의 순환순서 정의.

 

A3. 결합 위상 조건

$$\Theta_i \;=\;\sum_{j\in\mathcal N(i)}\Delta\phi_{ij}, \quad \Theta_i=2\pi\,n_i,\;n_i\in\mathbb Z$$

여기서 \(\mathcal{N}(i)\)  는 셀i의 최근접 이웃 Qaether들의 집합이다.

• \(n_i=0\) 일 때 국소 위상 불일치 없음 (무전하)
• \(n_i\neq0\) 일 때 국소 위상 불일치 발생 (전하·토폴로지 결함 발생)

 

A4. 유효 시간 정의 및 동기화

1. 시간의 근본 정의 — 관계적 위상 누적
   • 시간의 정의: 시간 ≡ Qaether 셀들 사이의 상호작용(결합) 이 일으키는 위상차 \(\Delta \phi_{ij}\) 의 누적.
   • 관점: 각 셀 내부에 고유 시계가 존재하지 않는다. ‘시간’은 사건(위상차 발생) 의 횟수·크기에만 의존하는 관계적(relational) 물리량.
2. \(t_q\) 결정 — ‘최소 루프’ 원리
   • 최소 결합 루프 = 가장 작은 폐결합 패턴(삼각형): 총 길이 \(\approx 6 l_p\)
   • 위상 닫힘 조건 : 루프 전체 위상 \(\sum \Delta \phi_{ij} = 2\pi\)
   • 위상 양자화 : \(\Delta\phi_{ij}\in \mathbb Z_6\cdot\tfrac\pi3\)
   • 비례식 (위상 누적 ≡ 시간 누적):$$\frac{ \sum \Delta \phi_{ij} }{\Delta\phi_{\min}} = \frac{t_{\text{loop}}}{t_q}, \qquad \; \Delta\phi_{\min}=\frac{\pi}{3} \;\Longrightarrow\; 6=\frac{t_{\text{loop}}}{t_q}$$
3. 결합 loop 계산 : $$t_{\text{loop}}=\frac{6\,l_p}{c_\phi}$$ 대입 ⇒ 내적 정합성 $$c_\phi t_q = l_p \quad(\therefore c_\phi=\tfrac{l_p}{t_q})$$
4. 핵심 가정 (Planck 동일시):

"의미 있는 최소 물리사건 (\(\Delta \phi = \pi/3\))은 플랑크 시간\(t_p\)동안 발생한다."

$$\boxed{t_q = t_p}$$

따라서

$$c_\phi = \frac{l_p}{t_p}=c$$

 

기본 상수와 기호

기호	의미	값/관계
\(l_p\)	플랑크 길이	기본 입력 상수
\(t_p\)	플랑크 시간	\(t_p = l_p / c\)
\(t_q\)	Qaether 단위 시간(미정)	\(≥ t_p\)
\(c_\phi\)	위상 전이 속도	\(c_\phi = l_p / t_q ≤ c\)
\(\Delta \phi_{min}\)	최소 위상차	\(\pi/3\) (양자화 단위)

 

A5. 전역 시간 정의 (Einstein 동기화 프로토콜)

1. Phase Pulse 전송·반사
   • 기준 셀 r이 크기 \(\Delta \phi = \pi/3\) 위상 펄스를 셀 i로 발사(send)하고, i가 이를 즉시 반사(reflect)하여 되돌려보낼 때의 왕복 소요시간을\(t_{r\leftrightarrow i}\)로 정의한다.
2. 동기 오프셋 계산
   • 왕복 시간이 유한 속도 \(c_\phi=c\) 에 의해 측정되므로, 셀 i와 r 사이의 시간 오프셋을\(\Delta t_i \;=\;\tfrac12\,t_{r\leftrightarrow i}\)로 취한다.
3. 전역 시간 좌표 부여
   • 각 셀 i에서의 글로벌 시각 \(t_i\)는, 셀 r의 발사 시각 \(t_r\)에 오프셋을 더한 값으로 일관되게 정의된다:$$t_i \;=\; t_r \;+\;\Delta t_i$$
   • 이 절차를 격자 전체에 적용하면, 모든 국소적 위상 펄스 측정을 통해 전역 Qaether 시간이 인과율을 보존하며 동기화된다.

 

A6. 로렌츠 대칭성 회복조건 

• FCC 격자는 미시적 수준에서는 이산적이지만, 장파장/장시간 스케일에서는 등방적 유효 연속체 동역학이 복원됨

$$\lim_{\lambda \gg l_p} \to Lorentz \quad 유효 대칭$$

 

A7. Qaether 상태 함수 정의

각 Qaether \(i\)는 다음과 같은 상태벡터로 정의됨:

$$\boxed{\text{State}(Q_i) = \left(\phi_i,\; \Omega_i(n),\; \hat{z}_i,\; \{\hat{b}_{ij}\}\right) }$$

• 위상: \(\phi_i\)
• 각주파수: \(\Omega_i(n)={2\pi c }/{ n l_p } \) \(\to\) 최소 파장이 \(l_p\)이고 정수(\(n\))배로 증가한다는 조건에서 유도
• 스핀축 : 결합 안정화와 자유도 최대를 위해 수직축 선택$$\hat{z}_i = \frac { D_i \times B_i }{ || D_i \times B_i || } \quad (단, D_i \times B_i =0 이면 \frac { D_i }{ ||D_i|| })$$ $$ D_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \Delta \phi_{ij} \, \hat{b}_{ij} \quad (\Delta \phi_{ij} = \phi_{i} - \phi_{j}) $$ $$ B_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \, \hat{b}_{ij} $$
• 결합벡터 집합: \(\{\hat{b}_{ij}\}\)
• 미분정의
  $$\ddot \phi_i = \frac{\phi_i^{N+1}-2\phi_i^N+\phi_i^{N-1}}{t_p^2} $$ $$\dot \phi_i = \frac{ \phi_i^N-\phi_i^{N-1} }{t_p} $$

 

A8. 스핀의 정의

1. 공액운동량$$P_i \;=\; I_i\,\dot\phi_i, \quad I_i \approx \tfrac25\,\varepsilon_i\,V_{void}(m_i)\,\frac{r_q^2}{c^2}$$
2. 스핀축$$\hat z_i =\frac{\mathbf D_i\times\mathbf B_i}{\|\mathbf D_i\times\mathbf B_i\|}, \quad \mathbf D_i=\sum_j\Delta\phi_{ij}\,\hat b_{ij},\;\; \mathbf B_i=\sum_j\hat b_{ij}$$
3. 사각형 루프 위상 폐합
   최소 사각형 루프$$\sum_{(ij)\in\ell_4}\Delta\phi_{ij} \;=\; 4\pi\,n_i, \qquad n_i\in\mathbb Z_{\ge1}$$
4. Emergent 최소 작용량
   루프 하나(한 주기)당$$\oint P_i\,d\phi_i = \hbar_q \quad\Longrightarrow\quad P_{\min}=\frac{\hbar_q}{4\pi}$$
5. 공액운동량 양자화$$P_i = n_i\,P_{\min} = n_i\,\frac{\hbar_q}{4\pi}$$
6. 스핀 벡터 $$S_i = P_i\,\hat z_i = n_i\,\frac{\hbar_q}{4\pi} \, \hat z_i = n_i\,\frac{\hbar_q}{2}\,\hat z_i$$ 따라서$$|\mathbf S_i| = n_i\,\frac{\hbar_q}{2}, \quad \text{특히 }n_i=1\Rightarrow|\mathbf S_i|=\frac{\hbar_q}{2}$$
7. 제한:
   • 각형 루프에서만 스핀 결합이 발생하며,
   • 루프 한 바퀴(폐합 \(4\pi = 2\times(2\pi)\))당 스핀½이 emergent 되도록 보장합니다.
   • 별도의 스핀 연산자를 도입하지 않고, 강체-위상 동역학과 위상 패턴만으로 정수·반정수 스핀을 완결적으로 정의합니다.

 

A9. 위상-스핀 동역학 방정식

각 Qaether 셀 \(i\) 의 위상 \(\phi_i\) 는 다음 방정식에 따라 진화한다:

$$ I_i(m_i)\; \ddot \phi_i \;+\; \gamma_i(m_i)\; \dot \phi_i = \sum_{j\in\mathcal N(i)} K_{ij}\;\sin\bigl(\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\bigr) + g\sum_{a=1}^{8} T^a_{ij}\,\mathcal G_{ij}^a $$

\(\mathcal G_{ij}^a\) : 링크 트위스트 \(\Delta m=\pm6\) 를 실시간 삽입·제거.

• 관성모멘트
  $$\displaystyle I_i\approx\frac25\,\varepsilon_i\,V_{void}(m_i)\,r_q^2/c^2$$
• 감쇠계수
  $$\displaystyle \gamma_i=\gamma_0\,(1+\frac{V_Q}{4 V_{void,max}}\,m_i)$$
• 커플링 상수
  $$\displaystyle K_{ij}=K_0\,\exp\!\bigl[-\lambda\frac{V_{void}(m_i)+V_{void}(m_j)}2\bigr]\bigl|\hat b_{ij}\cdot\hat n_{ij}\bigr|$$
• 게이지 공변 위상차
  $$\Delta\phi_{ij}^{\rm tot, N}=(\phi_j^N-\phi_i^N)-q_e\,A_{ij}^N-g\,\vec C_i^N\!\cdot\!\vec A_{ij}^N$$

 

A10. 전하 연산자 정의

1. 전하는 링크가 아니라, 닫힌 면(face)에 귀속됩니다.
2. 삼각형·사각형 면들이 모여 입자를 이루므로, 면의 전하가 곧 물리적 전하입니다.
3. 쉽게 설명하면 전하는 링크 단위 분수 전하를 매긴 뒤, 닫힌 면(face)의 전하 합으로 입자의 전하를 정의합니다.
   이렇게 하면 면이 모여 공간을 닫고 입자가 형성된다는 Qaether 이론의 물리적 직관이 그대로 반영됩니다.
4. 링크별 분수 전하 할당
   • 삼각형 결합 링크 $$q_{ij} = \frac{e}{3}\,\operatorname{sgn}(\Delta\phi_{ij}), \quad \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}+1&(x>0),\\0&(x=0),\\-1&(x<0)\end{cases}$$
   • 사각형 결합 링크 \((ij)\in\ell_4\) $$q_{ij} = \frac{e}{4}\,\operatorname{sgn}\bigl(\Delta\phi_{ij}\bigr)$$
   • 그 외 링크: \(q_{ij}=0\)
5. 닫힌 면(face) 전하
   • 삼각형 면 \(\ell_3\) 에 부여된 전하는$$Q_{\ell_3} = \sum_{(ij)\in\ell_3}q_{ij} \;\in\;\{-e,\,-\tfrac{e}{3},\,0,\,\tfrac{e}{3},\,e\}$$
   • 사각형 면 \(\ell_4\) 의 전하는$$Q_{\ell_4} = \sum_{(ij)\in\ell_4}q_{ij} \;\in\;\{-e,\,-\tfrac{e}{2},\,0,\,\tfrac{e}{2},\,e\}$$
6. 셀 전하 연산자
   셀 \(i\) 의 물리적 전하는 인접한 모든 닫힌 면의 전하 합으로 정의합니다.$$ Q_i \;=\;\sum_{\substack{\ell\ni i\\\ell=\ell_3,\ell_4}} Q_{\ell} $$
   • 열린 결합과 3·4 외의 면에는 전하가 없습니다.
   • 이렇게 모인 면 전하들이 공간을 봉쇄(closed)하며 입자를 형성합니다.
7. 비교: 기존 전하 개념과의 차이
   • 전통적 전하 연산자는 점 입자나 링크 중심이지만,
   • Qaether 모델에서는 “면” 단위로 전하가 생성·집적되어야 공간 폐합이 일어나고 입자가 드러납니다.

 

A11. 색전하 연산자 정의

1. 쿼크 셀 ≡ 정사각뿔(4 △ + 1 □) ― 기본 3색

색 사각형 위상합 \(S_{\mathcal C}\) Cartan \((C^3,C^8)\) 위상 정수 \(n_{\mathcal C}=S/4\pi\)

R	$$+4\pi$$	$$\left(+\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3}\right)$$	+1
G	$$-4\pi$$	$$\left(-\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3}\right)$$	-1
B	0	$$\left(0,\;-\tfrac1{\sqrt3}\right)$$	0

$$S_{\mathcal C}=\sum_{\ell_4\subset\mathcal C}\;\sum_{(ij)\in\ell_4}\!\Delta\phi_{ij}, \qquad S_{\mathcal C}\in\{+4\pi,\;0,\;-4\pi\}$$

 

2. 링크 위상 단위

• 양자화 $$\displaystyle \Delta\phi_{ij}=m_{ij}\,\frac{\pi}{3},\qquad m_{ij}\in\mathbb Z$$.
• 플라켓 제약 네 변 모두 \(+\pi\) 혹은 \(-\pi\), 또는 \(+2\pi\)·\(-2\pi\)가 상쇄되도록$$m_{ij}\in\{+3,\,-3\} \quad\Longrightarrow\quad \Delta\phi_{ij}\in\{+\pi,\,-\pi\}$$

 

3. 플라켓(□) = 국소 곡률 패치

$$\sum_{(ij)\in\ell_4}\!\Delta\phi_{ij}\;=\;n_{\ell_4}\,4\pi, \quad n_{\ell_4}\in\{-1,\,0,\,+1\}$$

\(n_{\ell_4}=+1,0,-1\)이 각각 R, B, G 색전하의 \(C^3\) 성분과 1 : 1 대응.

 

4. 글루온 링크 — 위상 트위스트 \(\Delta m=\pm6\)

• 인접 셀 \(\mathcal C_i,\mathcal C_j\) 가 공유하는 링크(또는 동일 링크의 2회 반전)에서$$m_{ij}:\;\;+3 \;\longleftrightarrow\; -3 \quad\Longrightarrow\quad \Delta m_{ij}= \pm6 \;\;(\Delta\phi=\pm2\pi)$$
• 결과적으로$$\Delta S_i = \mp4\pi,\qquad \Delta S_j = \pm4\pi$$즉 색 1단위가 한 셀에서 다른 셀로 이동한다.
• 색–반색 8 상태 (SU(3) adjoint)
  9 가지 \(q\bar q\) 조합 중 singlet
  \((R\bar R+G\bar G+B\bar B)/\sqrt3\) 를 제외한 다음 8개가 글루온:$$G^{R\bar G},\,G^{R\bar B},\,G^{G\bar R},\,G^{G\bar B},\, G^{B\bar R},\,G^{B\bar G},\, G^{(R\bar R-G\bar G)},\, G^{(R\bar R+G\bar G-2B\bar B)}$$

 

5. 국소 Gauss 법칙 (색유량 보존)

$$\sum_{(ij)\in\partial\mathcal C} E_{ij}^a \;=\; C_{\mathcal C}^a, \qquad E_{ij}^a \;=\; m_{ij}\,\varepsilon^a, \quad a=3,8$$

 

6. 결합 계층 및 색중성

위상 구조 위상 조건 물리적 의미

링크	$$\Delta m=\pm6$$	글루온 플럭스 튜브
플라켓(□)	$$\sum m=\pm12,0$$	국소 \(F_{\mu\nu}\)
정사각뿔 셀	$$S=4\pi n$$	쿼크 색전하
Y 결합	$$S_R+S_G+S_B=0$$	바리온 색중성
\(q\bar q\) 쌍	$$S+\bar S=0$$	메손 색중성
링크 루프	외부 셀 없음	글루볼