Basic axioms (v0.7)

A1. 근원적 실재: Void와 Qaether, 유효 압력

• Void: 비공간 경계조건 
  • 공간도, 시간도, 에너지도 없는 절대 무(無), 그러나 공간에게는 에너지의 팽창을 억제하는 비공간적 저항으로 작용. 
  • 정보 전달, 에너지 흐름, 공간 확장은 전혀 허용되지 않으며, 반사율 100%를 가정
  • Void는 셀 내부 에너지에 대해 완전 반사조건을 부과하며, 그 결과 자기응력을 유도
• Qaether: 공간의 최소단위
  • 반지름 \(r_q \approx l_p/2\) 를 갖는 구형 셀, FCC lattice의 lattice site에 배치됨
  • 셀당 최대 12방향으로 결합 가능하며, 결합은 에너지 해소이자 공간의 발생 조건임
•  
• 유효 외부 저항 압력: Qaether는 에너지를 가지고 있기 때문에 팽창하려는 경향이 있다. 그러나 Void는 비공간이기 때문에 격자 외부 경계 조건으로 작용. (비유: 박스안에서 풍선을 불면 커지다가 박스 크기로 인해 크게 제한)
  • 가상 부피정의
    • \(V_{FCC}\): 가상의 FCC격자 부피크기 추정
    • \(V_Q\): 1개 Qaether 부피
    • \(V_{void}\): \(V_{FCC}\)에서 결합된 갯수 만큼 \(V_Q\) 제거해가는 방식
  • 최대 Void 부피: $$V_{void}(0) = V_{FCC} - V_Q $$
  • 최소 Void 부피: $$V_{void}(12) = V_{FCC} - 4V_Q $$
  • \(m_i\)개의 결합을 가진 \(V_{void}\) (\(0 \leq m_i \leq 12\))
    $$V_{void}(m_i) = V_{void}(0) - (m_i / 4) * V_Q$$
• 위에 Void의 부피는 계산의 편의를 위하여 Qaether의 배치를 이용해 추측한 가상의 부피변수이다.

 

A2. 격자 구조 및 시계순환순서: FCC 격자, 결합 벡터 그리고 순환순서

• 공간은 플랑크 길이 \(\ell_p\)를 단위로 하는 FCC(face-centered cubic) 격자
• FCC 격자 각 셀 부피: $$V_{FCC} \approx 2 \sqrt{2} l_p^3 $$
• 각 Qaether는 최대 12개의 최근접 이웃과 결합 가능
• 결합벡터 \(\hat{b}_{ij}\) 는 FCC 12방향의 단위벡터 중 하나
• 국소 (111) 평면으로 결합벡터 투영 후 극각 \(\theta_{ij}\) 계산, 오름차순(⟳ 시계방향) 정렬.
• 정렬 인덱스 \(i=1,\dots,12\) 고정, 이를 통해 각 셀 내부의 순환순서 정의.

 

A3. Qaether 상태 함수 정의

각 Qaether i는 다음과 같은 상태벡터로 정의됨:

$$\boxed{\text{State}(Q_i) = \left(\phi_i,\; \Omega_i(n),\; \hat{z}_i,\; \{\hat{b}_{ij}\}\right) }$$

• 위상: \(\phi_i\)
• 각주파수: \(\Omega_i(n)={2\pi c_\phi }/{ n l_p } \) \(\to\) 최소 파장이 \(l_p\)이고 정수(\(n\))배로 증가한다는 조건에서 유도
• 스핀축: $$\hat{z}_i = \frac { D_i }{ ||D_i|| } \quad (단, D_i=0 이면 \frac { B_i }{ ||B_i|| })$$ $$ D_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \Delta \phi_{ij} \, \hat{b}_{ij} \quad (\Delta \phi_{ij} = \phi_{i} - \phi_{j}) $$ $$ B_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)}  \, \hat{b}_{ij} $$
• 결합벡터 집합: \(\{\hat{b}_{ij}\}\)

 

A4. 유효 시간 정의

• 최소 파장: \(λ_0 = l_p\)
• 위상 속도: \(c_\phi\)
• 최소 주기: \(\tau_0 = l_p / c_\phi\)
• 위상속도제한: \(\dot \phi_i \leq {2\pi}/{\tau_0} = \frac{2 \pi c_\phi}{l_p} \)
• 유효시간의 정의:
  • 각 Qaether i 에 대해 $$ d\tau_i(\phi_i) = \frac{\tau_0}{2\pi} d\phi_i \to \tau_i(\phi_i) = \frac{\tau_0}{2\pi} \phi_i $$
    1. 여기서 \(d\phi_i\)는 셀 i 위상 변화량, \(\tau_0 = l_p/c_\phi\)는 최소위상주기
    2. \(\tau_i\)는 오직 i번째 셀의 위상 누적에 의해서만 증가하므로, 셀 수에 무관합니다.
  • 전체시간으로의 집계: N개의 셀을 가진 시스템 전체의 “공통적 시간 지표”를 국소 시간들의 평균으로 정의 $$\tau_{global} = \frac{1}{ N } \sum_{i=1}^N  \tau_i = \frac{\tau_0}{2\pi N} \sum_{i=1}^N \phi_{i}$$
    1. 모든 셀의 위상 누적을 동등하게 반영하므로, 특정 셀 수·결합수에 비례하지 않습니다.
    2. 물리적으로는 격자 전체의 평균 위상 흐름이 시간이 됩니다.

 

A5. 결합 위상 조건

• 결합 위상차: $$Δ\phi_{ij} = (\phi _i - \phi _j) \ mod \ 2\pi, \quad \Delta \phi_{ij} \in (-\pi, \pi]$$
• 위상 양자화$$\Delta \phi_{ij} \in \mathbb{Z}_6 \cdot \pi/3 \quad (Z₆ 허용 위상차 )$$
• 국소 위상 불일치 (토폴로지 전하의 근원):  셀 i와 그 최근접 이웃 \( (j \in \mathcal{N}(i)) \)간의 위상차들의 총합으로 국소적인 위상불일치 (\Theta\)를 정의한다. 이는 셀 i가 지니는 토폴로지적 전하의 근원이 된다.

$$\Theta_i \;=\;\sum_{j\in\mathcal N^(i)}\Delta\phi_{ij}, \quad \Theta_i=2\pi\,n_i,\;n_i\in\mathbb Z$$

여기서 \(\mathcal{N}(i)\)  는 셀i의 최근접 이웃 Qaether들의 집합이다.

• \(n_i=0\) 일 때 국소 위상 불일치 없음 (무전하)
• \(n_i\neq0\) 일 때 국소 위상 불일치 발생 (전하·토폴로지 결함 발생)

 

A6. 로렌츠 대칭성 회복조건 

• FCC 격자는 미시적 수준에서는 이산적이지만, 장파장/장시간 스케일에서는 등방적 유효 연속체 동역학이 복원됨

$$\lim_{\lambda \gg l_p} \to Lorentz \quad 유효 대칭$$

 

A7. 전하·색전하 연산자 정의

1. 국소 전하 연산자$$Q_i = \frac{e}{2\pi}\,\Theta_i = e\,n_i, \quad n_i = \frac{\Theta_i}{2\pi} \in \mathbb Z,\Theta_i = \sum_{j\in\mathcal N(i)}\Delta\phi_{ij}, \quad \Delta\phi_{ij} = (\phi_i - \phi_j) \bmod 2\pi$$
2. 국소 색전하 연산자 (Cartan 성분)$$C_i^a = \omega^a\,n_i, \quad a\in\{3,8\},\omega^3\in\{\tfrac12,-\tfrac12,0\},\quad \omega^8\in\{\tfrac1{2\sqrt3},\tfrac1{2\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3}\}$$
3. 양자화 단위 정의$$\varepsilon^a \equiv \frac{\omega^a}{6}$$
4. 링크 색전기장
   • 위상 양자화 조건 \(\Delta\phi_{ij}\in \mathbb Z_6\cdot\tfrac\pi3\)에 따라$$m_{ij} = \frac{\Delta\phi_{ij}}{\pi/3} \;\in\;\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$$
   • 정의$$E_{ij}^a = m_{ij}\,\varepsilon^a. $$
   • 반대 방향일 때: $$E_{ji}^a = -E_{ij}^a$$
5. 국소 가우스 법칙 $$\sum_{j\in\mathcal N(i)} E_{ij}^a = \varepsilon^a \sum_j m_{ij} = \varepsilon^a \,\Bigl(\tfrac{3}{\pi}\sum_j\Delta\phi_{ij}\Bigr) = \varepsilon^a\,(6n_i) = \omega^a\,n_i = C_i^a,$$ $$\Longrightarrow\quad G_i^a = \sum_j E_{ij}^a - C_i^a \;=\;0$$
6. 색전하 생성·소멸 연산자
   • 생성 \(\mathcal C^\dagger_\alpha(i): n_i\to n_i+1\)
     ⇒ \(\Delta C_i^a=+\omega^a\)
     ⇒ \(\sum_j\Delta m_{ij}=+6\)
     ⇒ \(\sum_j\Delta E_{ij}^a=+6\,\varepsilon^a=+\omega^a\)
   • 소멸 \(\mathcal C_\alpha(i): n_i\to n_i-1\)
     ⇒ \(\Delta C_i^a=-\omega^a\)
     ⇒ \(\sum_j\Delta m_{ij}=-6\)
     ⇒ \(\sum_j\Delta E_{ij}^a=-6\,\varepsilon^a=-\omega^a\)
   각 링크별 \(\Delta m_{ij}\in\mathbb Z\)를 “총합 ±6”이 되도록 분배하면, Gauss 법칙이 동적으로도 보존됩니다.

 

A8. 입자 정의

Qaether 이론에서는 입자를 결합패턴으로 분류한다. 아래는 입자 패턴 분류 기준이다.

1. 전하 (Q) $$Q = \frac{e}{ 2\pi } \sum_i \Theta_i$$​
2. 색전하 (Color)
   • 완전 대칭: white (색중성)
   • 비대칭: R/G/B (개별 패턴은 색중성 보존 조건 \(R+G+B\) 만족)
3. 스핀 (S): \(n_i\)의 짝수·홀수 여부로 구분. 닫혀있지 않은 입자는 결합을 통해 닫혀야만 스핀을 갖게된다.

$$S = 1 - \frac{n_i \bmod 2}{2} = \begin{cases} 1, \quad n_i\equiv0\pmod2 \\ \tfrac12, \quad n\equiv1\pmod2 \end{cases}$$

 

기호 설명 값/차원

기호	설명	값/차원
\(\ell_p\)	플랑크 길이	약 1.616\(\times10^{-35}\, m\)
\(r_q\)	Qaether 반지름	\(\tfrac12\,\ell_p\)
\(V_Q\)	단일 Qaether 부피	\(\tfrac43\pi\,r_q^3\approx0.524\,\ell_p^3\)
\(V_{FCC}\)	FCC 기저 부피	\(2\sqrt2\,\ell_p^3\approx2.828\,\ell_p^3\)
\(c_\phi\)	위상 속도	모델별 정의 필요  (일반적으로 빛의 속도 c로 예상)
\(\lambda_0\)	최소 파장	\(\ell_p\)
\(\tau_0\)	최소 위상주기	\(\tfrac{\,\ell_p}{c_\phi}\)
\(\pi\)	원주율	무차원
\(e\)	기본 전하량	약 1.602 \(\times10^{-19} C \)
\(\omega^3,\omega^8\)	SU(3) 무게 벡터 성분	무차원 집합: \(\{\tfrac12,-\tfrac12,0\}\), \(\{\tfrac1{2\sqrt3},\tfrac1{2\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3}\}\)