기본 가정 및 공리 (v0.9)

A1. 근원적 실재: Void와 Qaether

1. Qaether는 우주를 구성하는 공간의 최소단위 셀이다. (Quantum Aether)
   • 플랑크 스케일인 반지름 \(l_p\)의 구형 셀로 FCC lattice의 lattice site에 배치됨.
   • 셀당 최대 12방향으로 다른셀과 결합 가능하며, 결합은 에너지 해소이자 공간의 발생 조건.
2. Qaether 구체 표면적
   • Qaether 구체의 반지름을 \(r_p = l_p\)라 하면, 셀 하나의 전체 표면적(total surface area)은\(V_s \;=\; 4\pi\,r_p^2 \;=\; 4\pi\,l_p^2\)이다.
3. Void: 비공간 경계조건 
   • Void는 물리적 실체가 아니라, Qaether 시스템이 존재할 수 있는 영역의 한계를 규정하는 수학적 경계조건.
   • Qaether는 기본적으로 위상 에너지를 보유. 이 에너지로 인해 팽창하려하는데, Void 너머로는 팽창이 불가능하므로 Qaether 자체의 팽창 에너지가 내부 응력 또는 외부로 향하는 압력으로 전환되고, 이는 마치 경계면에서 100% 반사되는 것과 같은 효과 발생.
   • 즉, Void가 힘을 가하는 것이 아니라, Qaether의 팽창이 막히는 경계 조건.

 

A2. FCC 격자 구조

1. 1. Qaether는 Face-Centered Cubic 격자구조로 packing되어 있다고 가정.
2. 따라서 각 Qaether는 최대 12개의 최근접 이웃과 결합 가능하여 FCC 12방향의 단위벡터를 갖는다.
3. FCC 격자 구조를 선택한 이유
   • 최소 에너지 배치
     • Qaether도 플랑크 반지름 규모의 구형 셀로 모델링하므로, 서로 거리가 가까울수록 위상 상호작용 퍼텐셜이 강해집니다.
     • FCC 배치에서는 각 셀이 열두 개의 최근접 결합벡터를 갖고, 모든 결합 간 각도가 60° 또는 90° 등으로 균일해 위상차 퍼텐셜이 고르게 분포.
     • 결과적으로 격자 전체 위상 퍼텐셜 에너지가 최소화되므로, 에너지적으로 매우 안정한 상태.
   • 등방성(Isotropy) 복원
     • 장파장(long-wavelength) 근사에서 동역학이나 파동전파 속도등을 고려할 때, FCC는 미시적으로는 이산 격자지만, 장거리에서는 등방성을 가장 잘 복원. $$\lim_{\lambda \gg l_p} \to Lorentz \quad 유효 대칭$$
     • 이는 시방향에 따라 물리량(전파 속도, 스핀 상호작용 에너지 등)이 다르게 나타나지 않고, 모든 방향에서 동일하게 보인다는 의미로, 에너지 벌크(전체 평균 에너지 분포)가 균일하다는 뜻.

 

A3. Qaether의 수학적 정의

각 Qaether \(i\)는 다음과 같은 상태벡터로 정의됨:

$$Q_i = \left(\phi_i,\; \{\hat{b}_{ij}\}, \; k_i,\; \hat{z}_i\right) $$

1. 위상: \(\phi_i\)
   • 각 Qaether 셀이 갖고 있는 “내부 진동 상태”를 나타내는 주기적 순환 변수로 마치 파동이 위상을 갖는것 처럼 각 셀 내부에는 \(\phi_i\)만큼의 위상 상태가 존재한다고 가정 
   • 불연속 양자화: 위상차 \(\Delta \phi_{ij} = \phi_{i} - \phi_{j}\)가 반드시 \(\pi/3\)단위로 양자화됨.
   • 물리적 상호 매개체: 위상차의 양자화가 전자기·색전하·스핀·토폴로지 결함을 결정짓는 핵심 전제이며 관계적 시간의 기준
   • 이산 위상미분 형태 $$\ddot \phi_i = \frac{\phi_i^{N+1}-2\phi_i^N+\phi_i^{N-1}}{t_p^2} $$ $$\dot \phi_i = \frac{ \phi_i^N-\phi_i^{N-1} }{t_p} $$
     • \(t_p\)는 플랑크시간. Qaether의 유효 시간 \(t_q\)을 정의하고 아래 동기화 항목에서 풀어보면 두 값이 같아지기 때문에 플랑크시간으로 대체
2. 결합벡터 집합: 셀간의 결합방향 벡터의 집합 \(\{\hat{b}_{ij}\}\)
   • 결합벡터합 \(B_i\) $$ B_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \, \hat{b}_{ij} $$
   • 결합수 \(m_i = |\{\hat{b}_{ij}\}|\) 
     • \(0 \le m_i \le 12\)의 조건을 만족해야하기 때문에 \(|\{\hat{b}_{ij}\}| \le 12\)
   • 이를 이용해서 이후에 계산할 결합유효압력 \(P_i(m_i)\)를 정의 가능. 
3. 각주파수 상수: \(k_i\)
   • 각주파수 \(\Omega_i(k_i)={2\pi c }/{ k_i l_p } \) 이다.
   • 플랑크 스케일에서 최소 파장이 \(l_p\)이고 정수(\(k_i\))배로 증가한다는 조건에서 유도
4. 스핀축 : \(\hat{z}_i\)
   • 결합 안정화와 자유도 최대를 위해 수직축 선택$$\hat{z}_i = \frac { D_i \times B_i }{ || D_i \times B_i || } \quad (단, D_i \times B_i =0 이면 \frac { D_i }{ ||D_i|| })$$ $$ D_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \Delta \phi_{ij} \, \hat{b}_{ij} $$ 

 

A4. 결합 위상 조건

$$\Theta_i \;=\;\sum_{j\in\mathcal N(i)}\Delta\phi_{ij}, \quad \Theta_i=2\pi\,n_i,\;n_i\in\{-1, 0, 1\}$$

여기서 \(\mathcal{N}(i)\)  는 셀i의 최근접 이웃 Qaether들의 집합이다.

1. 위상 양자화 :$$\Delta\phi_{ij} \;\in\; \mathbb{Z}_6\,\cdot \frac{\pi}{3} \;\;=\;\;\Bigl\{\;0,\;\pm\tfrac{\pi}{3},\;\pm\tfrac{2\pi}{3},\;\pm\pi\Bigr\}$$
2. \(n_i=0\) 일 때 국소 위상 불일치 없음 (무전하)
3. \(n_i\neq0\) 일 때 국소 위상 불일치 발생 (전하·토폴로지 결함 발생)
4. 투영 평면 결정과 결합순서
   • 투영평면
     • 각 셀 에서 결합벡터 순서를 정하는 기준 평면은 A3의 스핀 \(\hat{z}_i\)에 직교하는 평면
     • 단, 셀 i의 스핀축이 0일 경우에는 국소 (111) 평면
   • 결합방향은 시계방향을 (+), 반시계방향을 (-)로 한다.

 

A5. 결합 패턴 및 위상차 제약

1. 기본루프 정의
   • 루프를 이루는 링크는 A4 결합위상조건의 위상 양자화 조건을 따르지만 위상차가 0인 경우와 \(\pi\)인 경우는 미리 다음과 같이 정의하도록 한다.
     • 링크의 값이 0인 경우 (위상차가 0인 경우)는  에너지 불일치가 없는 완벽히 동기화된 안정적인 결합
     • 링크의 값이 1/2인 경우 (위상차가 \(\pi\)인 경우)는  순환위상이 반대가 되어 결합점에서 위상파가 정지파를 만들기 때문에 이 결합점에서 위상파 반사도 발생하지 않는다. 따라서 에너지 덩어리가 일정한 위치에 고정되어 입자처럼 보일수 있다.
   • 삼각루프(Δ, 트라이앵글릿, \(\ell_3\))
     • 구성: 3개의 링크가 닫힌 형태.
     • 위상 폐합식:$$\sum_{(a\,b)\in\ell_3} \Delta\phi_{a b} \;=\; 2\pi\,n_{Δ}, \quad n_{Δ}\in\{\,-1,\,0,\,+1\,\}$$
     • \(n_{Δ}\)를 삼각루프 지수라 부른다.
     • \(n_{Δ}=0\) → \((-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}), (\frac{2\pi}{3},-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3})\)인 패턴과 링크 하나의 위상차가 0인 패턴
       \(n_{Δ}=\pm1\) → \((-\frac{2\pi}{3},-\frac{2\pi}{3},-\frac{2\pi}{3}), (\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3})\) 인 패턴과 링크 하나의 위상차 값이 \(\pi\)인 패턴
   • 사각루프(□, 플라켓, \(\ell_4\))
     • 구성: 4개의 링크가 닫힌 형태.
     • 위상 폐합식(일반형):$$\sum_{(a\,b)\in\ell_4} \Delta\phi_{a b} \;=\; 4\pi\,n_{□}, \quad n_{□}\in\{\,-1,\,0,\,+1\,\}$$
     • 사각플라켓 지수 \(n_{□}\in\{-1,0,1\}\)
     • \(n_{□}=\pm1\) →위상합이 \(\pm4\pi\) (스핀½·색전하 패치),
       \(n_{□}=0\) →무스핀·무색전하(국소 평탄).
     • 특히, 플라켓에 \(n_{□}=\pm1\)인 경우 스핀 공액운동량 \(\pm\tfrac{\hbar}{2}\)과 색전하 Cartan 성분 \(\displaystyle C^3=\pm\tfrac12,\;C^8=\pm\tfrac{1}{2\sqrt3}\)를 동시에 부여할 수 있다(자세한 정의는 A9, A11 참조)
2. 입체 구조별 “겉넓이 플럭스 보존” 조건
   • 플럭스 보존이란, 하나의 닫힌 입체(Polyhedron)를 구성하는 모든 면의 루프 지수 합이 ‘0’이어야 한다는 뜻이다. 각 모서리(링크)의 위상차는 두 면 간에 공유되기 때문에, 모든 면 방정식을 더하면 내부 공유 링크들의 \(\Delta\phi\)항은 상쇄된다. 결과적으로 “오직 외부 면(겉넓이)의 합만” 남아야 위상적으로 결함(monopole)이 없는 상태가 된다.
   • Tiara (정사면체)
     • 구성면: 4개의 트라이앵글릿 \(\ell_{3,1},\ell_{3,2},\ell_{3,3},\ell_{3,4}\)
     • 플럭스 보존:$$\sum_{k=1}^4 n_{\Delta_k} \;=\; 0, \quad n_{\Delta;_k}\in\{\,-1,0,1\}$$
     • 예제: \((\,n_{Δ_1},n_{Δ_2},n_{Δ_3},n_{Δ_4}\,)=\{(1,1,-1,-1),(1,-1,0,0), (0,0,0,0)\}\)
     • 구현 불가: (1,1,1,1) 등 합 \(\neq0\) 조합.
   • Pyramid (정사각뿔)
     • 구성면: 4개의 트라이앵글릿 \(\ell_{3,1},\dots,\ell_{3,4}\) + 1개의 플라켓 \(\ell_{4}\) (밑면).
     • 플럭스 보존:$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k} \;+\; 2\,n_{□} \;=\; 0, \quad n_{□}\in\{\,-1,0,1\}$$
     • 플라켓 \(n_{□}=\pm1\)일 때, 트라이앵글릿 합 \(\sum n_{Δ}=-2n_{□}\)
     • 해 예시 (스핀/색 발생용):$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k}=-2$$ 예: \((n_{Δ_1},n_{Δ_2},n_{Δ_3},n_{Δ_4})=(-1,-1,0,0)\)
       • \(n_{□}=-1\) 일 때 \(\sum n_{Δ}=+2\) 예: (1,1,0,0)(1,1,0,0).
     • 해 예시 (평탄): \(n_{□}=0,\;\sum n_{Δ}=0\). 예: (1,-1,1,-1) 등.
   • Diamond (정팔면체)
     • 구성면: 8개의 트라이앵글릿 \(\ell_{3,1},\dots,\ell_{3,8}\)
     • 플럭스 보존:$$\sum_{k=1}^{8} n_{Δ_k} \;=\; 0.$$
     • 해 예시:
       • 4개 면 \(n_{Δ}=+1\), 4개 면 \(n_{Δ}=-1\) (합 0).
       • 모두 0인 면 8개 (완전 평탄).
3. 패턴별 구체 예시

패턴	플럭스 보존식	허용루프	권장링크	물리적구성
Tiara (정사면체)	$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k}=0$$	• (1,1,–1,–1), (1,–1,0,0), (0,0,0,0)	• 대부분 링크 \(\Delta\phi=0,\pm\pi/3\) • \(\pm2\pi/3·\pm\pi\) 가능하나 고에너지	플라켓 없음 → 스핀·색전하 없음
Pyramid (정사각뿔)	$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k} + 2\,n_{□}=0$$	• \(n_{□}=1\)→ \(\sum n_{Δ}=-2\) 예: (–1, –1, 0, 0 ∥ □:+1) •\(n_{□}=–1→ \sum n_{Δ}=+2\) 예: (1, 1, 0, 0 ∥ □:–1) •평탄: \(n_{□}=0,\;\sum n_{Δ}=0\) 예: (1, –1, 1, –1 ∥ □:0)	• 밑면 □ 링크: \(\Delta\phi=\pm\pi\) (스핀½·색전하 패치) • 트라이앵글릿 면 링크: \(0,\pm\pi/3\) (저에너지) • \(\pm2\pi/3·\pm\pi\) 가능하나 고에너지	쿼크 원형 셀 → 플라켓 \(n_{□}=\pm1\)일 때 스핀½·색전하 구현
Diamond (정팔면체)	$$\sum_{k=1}^8 n_{Δ_k}=0$$	• (+1 × 4번, –1 × 4번) • (0,0,0,0,0,0,0,0) • 기타 (+1 × n, –1 × n, 나머지 0) 단 \(n_{+}=n_{–}\)	• 대부분 링크 \(\Delta\phi=0,\pm\pi/3\) • \(\pm2\pi/3·\pm\pi\) 가능하나 고에너지	플라켓 없음 → 스핀·색전하 없음 바리온 중성 셸 등 활용 가능

 

A6. 유효 시간 정의 및 동기화

• 의미 있는 최소 물리사건 (\(\Delta \phi = \pi/3\))은 플랑크 시간 \(t_p\)동안 발생한다. $$\boxed{t_q = t_p}$$ 따라서 $$c_\phi = \frac{l_p}{t_p}=c$$

 

A7. 전역 시간 정의 (Einstein 동기화 프로토콜)

1. Phase Pulse 전송·반사
   • 기준 셀 r이 크기 \(\Delta \phi = \pi/3\) 위상 펄스를 셀 i로 발사(send)하고, i가 이를 즉시 반사(reflect)하여 되돌려보낼 때의 왕복 소요시간을\(t_{r\leftrightarrow i}\)로 정의한다.
2. 동기 오프셋 계산
   • 왕복 시간이 유한 속도 \(c_\phi=c\) 에 의해 측정되므로, 셀 i와 r 사이의 시간 오프셋을\(\Delta t_i \;=\;\tfrac12\,t_{r\leftrightarrow i}\)로 취한다.
3. 전역 시간 좌표 부여
   • 각 셀 i에서의 글로벌 시각 \(t_i\)는, 셀 r의 발사 시각 \(t_r\)에 오프셋을 더한 값으로 일관되게 정의된다:$$t_i \;=\; t_r \;+\;\Delta t_i$$
   • 이 절차를 격자 전체에 적용하면, 모든 국소적 위상 펄스 측정을 통해 전역 Qaether 시간이 인과율을 보존하며 동기화된다.

 

A8. Qaether의 결합 유효 압력

1. 결합 하나당 Void 압력 해소 면적
   • 셀이 다른 Qaether와 결합할 때 두 구형이 접촉하게 된다. 이 접촉부를 단위 면적 \(V_b\)로 근사.
   • 실제 구면 접촉형태는 spherical cap이지만, 플랑크 스케일에서 모델 단순화를 위해 “결합 하나당 막히는 면적”을 모두 동일한 상수 \(V_b\)로 가정.
   • 일반적으로$$0 < V_b \;\ll\; V_s \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha \;\equiv\; \frac{V_b}{V_s} \;\ll\; 1$$
2. 미결합 경계면 면적
   • 셀이 실제로 \(m_i\)개 이웃과 결합했다면, 그만큼의 면적 \(m_i\,V_b\)가 막힌 상태이다.
   • 따라서 반사 가능한 빈 경계면 총 넓이는$$V_i(m_i) = V_s \;-\; m_i\,V_b = (1-\alpha) V_s$$
   • 이때, FCC 구조에서 최대 결합 수 \(m_i=12\)이고 플랑크 스케일에서 \(V_s \gg 12 \, V_b\)이기 때문에 \(\alpha \ll \frac{1}{12}\)이다.
3. 반사 압력 모델
   • 단위 면적당 위상파가 100% 반사될 때 받는 압력을 \(p_0\)라 정의한다. (단위: 압력)
   • \(p_0\)의 단위는 압력(즉, 에너지 밀도)이며, 위상파 에너지 밀도 \(u_\phi\)가 주어지면 \(p_0=2u_\phi\)와 같은 형태로 정의할 수 있다. (위상파 속도 c 가정)
   • \(p_0\)는 외부 위상펄스 세기의 함수로 볼 수 있으며, 모델링 목적에 따라 상수 혹은 국소 \(\phi\)분포에 따라 달라질 수 있다
   • 이 \(p_0\)를 기준으로 셀 i가 받는 기저 압력(경계 압력) \(P_i(m_i)\)는 반사 가능한 면적 비율에 비례하여$$ P_i(m_i) \;=\; p_0 \;\frac{V_i(m_i)}{V_s} \;=\; p_0\,\Bigl(1 \;-\;\alpha\,m_i\Bigr),  \quad \alpha = \frac{V_b}{V_s}$$
   • 최대, 최소 압력
     • \(m_i=0\)일 때 \(P_i(0) = p_0\) (최대 압력),
     • \(m_i\)가 클수록 \(P_i(m_i)\)는 선형적으로 감소하며,
     • FCC 구조 최대 결합 수(예: \(m_i\le12\)) 범위에서 \(P_i(m_i)\ge p_0(1 - 12\alpha)\)이 되어 음수가 되지 않는다.
4. 종합하자면 Void에 의한 경계효과로 Qaether 자체는 항상 기저 압력을 갖게 되고 이 기저압력은 격자 내에서 국소적으로 공간을 휘게 하여 유효 곡률을 만들고, 그 결과로 ‘기저 질량 조건’을 얻게 된다.(자세한 내용은 A9 참조) 
5. 다만, 플랑크스케일임을 감안하여 \(\alpha \approx 0\)이라고 가정하면 \(P_i(m_i) = p_0\)로 대체 가능하다.

 

A9. 스핀의 정의

1. 기본공액운동량
   • 각 Qaether 셀 \(i\)의 공액운동량은 $$L_i \,=\, I_i(m_i)\,\dot{\phi}_i$$
   • 여기서 \(I_i(m_i)\)는 $$I_i(m_i) \,=\, I_0\,(1-\eta \, \frac{m_i}{12})$$
   • 차원: \([L_i]=\hbar\)
2. 부분 스핀
   • 셀 \(i\)는 플라켓(4개의 링크로 구성된 최소 루프) 한 바퀴를 돌아야 \(\sum \Delta\phi_{ij}=4\pi\) 가 되어 비로소 스핀½을 얻는다.
   • 각 링크 구간에서 위상 차분 \(\Delta\phi_{ij}가 \pm\pi\)만큼 발생할 때마다, 국소적으로 생성되는 공액운동량을 부분 스핀이라 정의한다.$$\Delta S_{ij} \;=\; \frac{\hbar}{8}\;\times \operatorname{sgn}(\Delta\phi_{ij}) \quad\bigl(\Delta\phi_{ij}=\pm \pi\bigr)$$여기서 \(\tfrac{\hbar}{8}\)은 전체 \(4\pi\) 위상 누적 시 \(\hbar/2\)가 되도록 네 번에 걸쳐 분배된 값이다.
   • 플라켓(4링크) 한 바퀴를 돌며 위상이 \(\pi\)씩 네 차례 누적되면, 총합 \(\sum \Delta\phi_{ij}=4\pi\)가 되고, 이에 대응하여$$\sum_{\text{4 링크}} \Delta S_{ij} \;=\; 4 \times \frac{\hbar}{8} \;=\; \frac{\hbar}{2}$$가 되어 최종 스핀½이 완성된다.
   • 플라켓은 4개의 Qaether 셀이 결합하여 하나를 이루는데 각 Qaether 셀을 \((i,j,k,l)\)이라고 정하면 이에 맞는 부분 스핀은 각각 (\(\Delta S_{ij}, \Delta S_{jk},\Delta S_{kl}, \Delta S_{li})\)가 된다.
   • 이걸 \(\psi_i^{(k)} (k=1,2,3,4)\)는 i번째 셀의 플라켓을 이루는 k번째 링크 구간에서 위상 \(\pi\)가 찍힐 때 생기는 부분 공액운동량(부분 스핀) 생성 모드로 정의하면 계산이 편리해진다.
   • 즉, 정리하자면 네 링크 각각에서 순차적으로 발생하는 \(\Delta\phi_{ij}=\pi\) 순간에 대응하여 생기는 \(\hbar/8\) 공액운동량을 네 개 성분 $$\bigl(\psi_i^{(1)},\ldots,\psi_i^{(4)}\bigr)$$으로 분리가 가능하다.
   • 더해서, “부분 스핀 모드” \(\psi_i^{(k)}\)는 각 링크 k가 담당하는 방향벡터 \(\hat b^k\)와 관련된 국소 위상 변화량 \(\Delta\phi^k=\pm\pi\)에 의해 부호와 크기가 결정된다.
3. 스핀축
   • A7 스핀축에서 정의한 내용을 그대로 따르는데 i번째 셀을 기준으로 플라켓을 이루기 때문에 i 기준으로 축을 결정한다.
4. 4성분 스피너 구성
   각 결합별 부분 스핀 모드 \(\psi_i^{(k)} (k=1,2,3,4)\) 를 묶어 4성분 컬럼 벡터를 정의한다. $$\Psi_i \;\equiv\; \begin{pmatrix} \psi_i^{(1)} \\[0.4em] \psi_i^{(2)} \\[0.4em] \psi_i^{(3)} \\[0.4em] \psi_i^{(4)} \end{pmatrix} \quad \psi_i^{(k)} = \pm \frac{\hbar}{8} \vec z_i \quad\bigl(\Delta\phi^k=\pm \pi\bigr)$$
5. 스핀 벡터
   
   • 네 개 성분이 모두 누적된 후에야 최종적으로 $$\sum_{k=1}^4 \psi_i^{(k)} = \pm\,\tfrac{\hbar}{2}\,\hat{z}_i$$가 되어 “온전한 스핀½”을 형성한다.
6. Emergent Dirac 스피너 구조 (4×4 감마 매트릭스 대응)
   • 위에서 모은 4성분 벡터 \(\Psi_i = \bigl(\psi_i^{(1)},\psi_i^{(2)},\psi_i^{(3)},\psi_i^{(4)}\bigr)^{\mathrm T}\)를 다음과 같이 Chirality로 구분하고 위상분기 (sign of \(\Delta\phi\))에 따라 입자/반입자를 구분하면 전통적인 Dirac 스피너와 동일한 4컴포넌트 구조를 형성할 수 있다.
     • 왼손성분: \(\bigl(\psi_i^{(1)},\psi_i^{(2)}\bigr)\)
     • 오른손성분: \(\bigl(\psi_i^{(3)},\psi_i^{(4)}\bigr)\)
   • 이 스피너 \(\Psi_i\)는 Lorentz 변환하에 4×4 감마 행렬 \(\gamma^\mu\)를 통해  서로 mix되도록 정의될 수 있으며, 연속 극한에서 Dirac 방정식$$ \Bigl(i\,\gamma^\mu\,\partial_\mu - m\Bigr)\,\Psi(x) = 0$$ 형태로 유도된다. (구체적인 \(\gamma^\mu\) 구조와 상수 재정의는 A9의 동역학과 연속 극한 근사를 통해 결정됨.)
7. 플라켓  루프  위상 폐합
   각 플라켓에 대해 반드시 $$\sum_{k=1}^4 \Delta\phi^k \;=\;4\pi\,n_i,\qquad n_i\in\{-1,0,+1\}$$ 조건을 유지해야 하며, 그에 따라 $$\sum_{k=1}^4 \psi_i^{(k)} \;=\; n_i\,\frac{\hbar}{2}\, \hat{z}_i$$\(n_i=\pm1\)일 때에만 스핀이 반정수(\(\hbar/2\))가 되며, \(n_i=0\) 이면 국소적으로 스핀 불일치가 없는 상태(무스핀)로 해석된다.
8. Emergent 최소 작용량
   루프 하나(한 주기)당$$\oint L_i\,d\phi_i = 2 \pi \hbar_q \quad\Longrightarrow\quad L_{\min}=\frac{\hbar_q}{2}$$
9. 공액운동량 양자화$$L_i = n_i\,L_{\min} = n_i\,\frac{\hbar_q}{2}$$
10. 스핀 벡터 $$S_i = L_i\,\hat z_i = n_i\,\frac{\hbar_q}{2}\,\hat z_i$$ 따라서$$|\mathbf S_i| = n_i\,\frac{\hbar_q}{2}, \quad \text{특히 }n_i=1\Rightarrow|\mathbf S_i|=\frac{\hbar_q}{2} =\frac{\hbar}{2}$$ $$∴ \hbar_q=\hbar$$

 

A10. 전하 연산자 정의

1. 전하는 링크가 아니라, 닫힌 면(face)에 귀속됩니다.
2. 트라이앵글릿·플라켓 면들이 모여 입자를 이루므로, 면의 전하가 곧 물리적 전하입니다.
3. 쉽게 설명하면 전하는 링크 단위 분수 전하를 매긴 뒤, 닫힌 면(face)의 전하 합으로 입자의 전하를 정의합니다.
   이렇게 하면 면이 모여 공간을 닫고 입자가 형성된다는 Qaether 이론의 물리적 직관이 그대로 반영됩니다.
4. 링크별 분수 전하 할당
   • 트라이앵글릿 결합 링크 $$q_{ij} = \frac{e}{3}\,\operatorname{sgn}(\Delta\phi_{ij}), \quad \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}+1&(x>0),\\0&(x=0),\\-1&(x<0)\end{cases}$$
   • 플라켓 결합 링크 \((ij)\in\ell_4\) $$q_{ij} = \frac{e}{4}\,\operatorname{sgn}\bigl(\Delta\phi_{ij}\bigr)$$
   • 그 외 링크: \(q_{ij}=0\)
5. 닫힌 면(face) 전하
   • 트라이앵글릿 면 \(\ell_3\) 에 부여된 전하는$$Q_{\ell_3} = \sum_{(ij)\in\ell_3}q_{ij} \;\in\;\{-e,\,-\tfrac{e}{3},\,0,\,\tfrac{e}{3},\,e\}$$
   • 플라켓 면 \(\ell_4\) 의 전하는$$Q_{\ell_4} = \sum_{(ij)\in\ell_4}q_{ij} \;\in\;\{-e,\,-\tfrac{e}{2},\,0,\,\tfrac{e}{2},\,e\}$$
6. 셀 전하 연산자
   셀 \(i\) 의 물리적 전하는 인접한 모든 닫힌 면의 전하 합으로 정의합니다.$$ Q_i \;=\;\sum_{\substack{\ell\ni i\\\ell=\ell_3,\ell_4}} Q_{\ell} $$
   • 열린 결합과 3·4 외의 면에는 전하가 없습니다.
   • 이렇게 모인 면 전하들이 공간을 봉쇄(closed)하며 입자를 형성합니다.
7. 비교: 기존 전하 개념과의 차이
   • 전통적 전하 연산자는 점 입자나 링크 중심이지만,
   • Qaether 모델에서는 “면” 단위로 전하가 생성·집적되어야 공간 폐합이 일어나고 입자가 드러납니다.

 

A11. 색전하 연산자 정의

1. 기본 패턴 정의
   • 정사각뿔 셀 패턴 (4 △ + 1 □: 트라이앵글릿 4개 + 플라켓 1개) = 쿼크
   • 입체적으로 폐합 루프를 이뤘을때 Void에 의한 기저 곡률 패치 효과 발생
   • 즉, 플라켓 + surrounding 글루온 링크 4개 가 하나의 폐합을 이루어야 \(F_{\mu\nu}\)-유사 장력을 구현하면서 스케일 내 질량-곡률 상관관계가 완성.
   • 'Ⅰ-자 '3 선 링크 = 글루온
   • 플라켓 = 국소 색 및 곡률 패치 (단, 결합에 따른 곡률만 패치)
   • 모든 위상차는 \(\Delta \phi_{ij} = m_{ij} \cdot \pi /3 \quad ( m_{ij} \in ℤ_6 ) \) 로 양자화된다.
2. 쿼크 셀(정사각뿔) 결합 패턴 - 기본 3색
   • \(C^3,C^8\)는 SU(3)의 대각 성분으로, 색전하 공간에서 기본 색상(R,G,B)의 방향을 구분하는 역할을 한다.

     셀 색	플라켓 위상합 \(S_{\mathcal C}\)	\(Cartan (C^{3},C^{8})\)
     R	\(+4\pi\)	\((+\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3})\)
     G	\(-4\pi\)	\((-\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3})\)
     B	0	\((0,\;-\tfrac1{\sqrt3})\)

     $$S_{\mathcal{C}} \;=\sum_{\ell^{4}\,\subset \mathcal{C}} \sum_{(ij)\in \ell^{4}} \Delta\phi_{ij} \;, \qquad S_{\mathcal{C}} \;\in\; \{\,+4\pi,\;0,\;-4\pi\,\}$$
3. 플라켓 (□) ↔ 색 \(C^{3}\)
   • 독립 플라켓
     • 플라켓이 다른 셀 또는 링크와 결합되지 않고 홀로 존재할때는 기존의 위상 양자화 조건을 따른다.
   • 글루온과 결합된 플라켓
     • 각 플라켓의 색전하는 반드시 최소 하나 이상의 글루온 링크와 연결되어 있어야만 외부로 색전하를 전달할 수 있다. 
     • 플라켓이 글루온과 결합하여 폐합 결합루프를 만들면 다음 식을 만족한다. $$\sum_{(ij)\in\ell_{4}}\!\Delta\phi_{ij}=4\pi n_{\ell_{4}}, \quad n_{\ell_{4}}\in\{-1,0,+1\}$$ $$n_{\ell_{4}}=\pm1,0 \quad →  \quad C^{3}=\pm\frac12,0$$
4. 글루온 = ‘Ⅰ-자 3 선’ 위상 패턴
   • 세 링크가 일직선으로 배열, 위상차 집합
     $$\bigl\{\pm\pi,\;\pm\frac{2\pi}{3},\;\pm\frac{\pi}{3}\bigr\}$$
     를 한 번씩 사용.
   • 합은 항상 0이 되어야 한다: (\(\Delta\phi_{1}+\Delta\phi_{2}+\Delta\phi_{3}=0\))
5. 글루온 8 상태

   글루온 8 상태	\((\Delta\phi_{1},\Delta\phi_{2},\Delta\phi_{3})\)
   \(G^{R\bar G}\)	$$(+\pi,\;-\tfrac{2\pi}{3},\;-\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{G\bar R}\)	$$(-\pi,\;+\tfrac{2\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{G\bar B}\)	$$(+\tfrac{2\pi}{3},\;-\pi,\;-\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{B\bar G}\)	$$(-\tfrac{2\pi}{3},\;+\pi,\;+\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{R\bar B}\)	$$(+\tfrac{2\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3},\;-\pi)$$
   \(G^{B\bar R}\)	$$(-\tfrac{2\pi}{3},\;-\tfrac{\pi}{3},\;+\pi)$$
   λ₇(diag)	$$(+\pi,\;-\pi,\;0)$$
   λ₈(diag)	$$(+\tfrac{2\pi}{3},\;+\tfrac{2\pi}{3},\;-\tfrac{4\pi}{3})$$

   
   
   • 색전달 메커니즘
     • 한 링크를 \(𝑚_{𝑖𝑗}=+3 ↔ −3\) 로 뒤집으면 해당 링크의 \(\Delta \phi = \pm \pi\)가 \(\pm 2\pi\)가 되어, 중앙셀의 \(𝑆_𝐶\)가 \(\pm 4\pi\) 만큼 변동한다.
     • 링크 위상을 \(m_{ij}\to m_{ij}\pm6\)으로 변화시키면 인접 플라켓의 위상합이 \(\pm4\pi\)만큼 변하며, 이는 정확히 한 단위의 색전하(\(\Delta C^3=\pm1/2\))를 옮기는 효과를 가진다.
     • 이로써 위 8개 패턴 중 하나가 “발현”되어 색전하 1단위를 인접 셀로 이동시킨다.
6. 국소 Gauss 법칙 (색유량 보존) $$\sum_{(ij)\in\partial\mathcal C}E_{ij}^{a}=C_{\mathcal C}^{a},\qquad E_{ij}^{a}=m_{ij}\,\varepsilon^{a},\;a=3,8$$
7. 결합 계층 & 색중성

구조	위상조건	의미
링크	\(\Delta m=\pm6\)	글루온 플럭스 튜브
플라켓	\(\sum m=\pm12,0\)	\(F_{\mu\nu}\) 패치
셀(정사각뿔)	\(S=4\pi n\)	쿼크 색전하
Y 결합	$$S_R+S_G+S_B=0$$	바리온
\(q\bar q\)	$$S+\bar S=0$$	메손
링크 루프	외부 셀 없음	글루볼

 

 

A12. 위상-스핀 동역학 방정식

1. 게이지 공변 위상차 $$\Delta\phi_{ij}^{\rm tot} =\bigl(\phi_j-\phi_i\bigr) \;-\;q_e\,A_{ij} \;-\;g\,\vec C_i\!\cdot\!\vec A_{ij}$$
   • \(A_{ij}\): U(1)링크 전자기 퍼텐셜
     • 각 링크 \((ij)\)의 위상 결합 차분$$\Delta\phi_{ij}^{U(1)} = (\phi_j-\phi_i)-\Delta\phi_{ij}^{SU(3)}$$으로부터$$A_{ij} = \frac{1}{q_e}\,\Delta\phi_{ij}^{U(1)}$$연속 극한에서 $$A_{ij}\approx a\,\hat e_{ij}^\mu A_\mu(x)$$
     • 4-퍼텐셜 \(A_\mu\): $$A_\mu = (A_0,\,A_1,\,A_2,\,A_3) \quad\longleftrightarrow\quad \bigl(\phi_{\rm EM},\,\mathbf A\bigr)$$
       • \(A_0 = \phi_{\rm EM}\)​: 전기 퍼텐셜
       • \(\mathbf A = (A_1,A_2,A_3)\): 자기 퍼텐셜

1. • \(\vec A_{ij}\): SU(3) 게이지 링크 $$U_{ij}^{(3)}=\exp\bigl(i\,\Delta\phi_{ij}^{SU(3)}\bigr),\qquad A_{ij}^a=\frac{1}{g}\operatorname{Tr}\bigl[T^a\log U_{ij}^{(3)}\bigr]$$
   • \(\vec C_i\): 셀 i의 색전하 벡터
     • 인접 플라켓 \(\ell_4\) 위상합 $$S_C^\ell=\sum_{(jk)\in\ell_4}\Delta\phi_{jk}\in\{\pm4\pi,0\}$$ 에 대응해 $$(C_3,C_8)= \begin{cases} (+\tfrac12,+\tfrac1{2\sqrt3}),\\ (-\tfrac12,+\tfrac1{2\sqrt3}),\\ (0,-\tfrac1{\sqrt3}), \end{cases} \quad \mathbf C_i=\sum_{\ell_4\ni i}(C_3^\ell,C_8^\ell)$$
   • \(q_e,\,g\): U(1), SU(3) 결합상수
     • U(1): A10 전하 연산자 참조
     • SU(3): A11 색전하 연산자 참조
2. 복소링크장: $$\chi_{ij} \;\equiv\; e^{\,i\,\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}}, \qquad \chi_{ji} = \chi_{ij}^{-1}$$
3. 동역학 방정식: 각 Qaether 셀 \(i\) 의 위상 \(\phi_i\) 는 다음 방정식에 따라 진화한다. $$I_i(m_i)\,\ddot\phi_i = \sum_{j\in\mathcal N(i)} \Bigl[ K_{ij}\,\Im\chi_{ij} \;-\;U_0\,\Im\bigl(\chi_{ij}^6\bigr) \;-\;q_e\,A_{ij}\,\Im\chi_{ij} \;-\;g\,\vec C_i\!\cdot\!\vec A_{ij}\,\Im\chi_{ij} \Bigr] \;-\; P_i(m_i)\,V_s\,l_p\;\sin\phi_i$$
   • \(\mathfrak{I}\) 의 의미는 \(\exp\bigl(i\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\bigr)\)의 허수부분만 취한다는 뜻
4. 커플링 상수
   $$\displaystyle K_{ij}=K_0\,\exp\!\bigl[-\lambda\frac{V_i(m_i)+V_j(m_j)}{2V_s}\bigr]\bigl|\hat b_{ij}\cdot\hat n_{ij}\bigr|$$
5. 미분정의: A7의 미분 정의를 따른다.

•  

기호 & 형태	설명
$$I_i(m_i)\ddot\phi_i$$	관성항\(\displaystyle I_i(m_i)=I_0\Bigl(1-\eta\,\tfrac{m_i}{12}\Bigr)\)결합수 \(m_i\)에 따른 국소 관성 모멘트
$$K_{ij}\,\Im\chi_{ij}$$	위상 결합 항\(\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\)에 따른 기본 진동 커플링
$$-\,U_0\,\Im(\chi_{ij}^6)$$	위상 양자화 퍼텐셜\(\pi/3\) 간격의 위상 차 강제
$$-\,q_e\,A_{ij}\,\Im\chi_{ij}$$	전자기 게이지 결합U(1) 최소 결합 원리 구현
$$-\,g\,\vec C_i\!\cdot\!\vec A_{ij}\,\Im\chi_{ij}$$	색전하–글루온 결합SU(3) 게이지 공변성 유지
$$-\,p_0\,V_s\,l_p\;\sin\phi_i$$	Void 유효 압력 복원력\(P_i\simeq p_0\) 근사, \(V_s=4\pi l_p^2\)

 

==> 동역학항에서 void중력항을 삭제하면 게이지 격자 이론과 동치이다. 정확히 말하면 Qaether 이론이 게이지 격자 이론을 포함한다.