기본 가정 및 공리 (v1.0)

A1. 근원적 실재: Void와 Qaether

1. Qaether는 우주를 구성하는 공간의 최소단위 셀이다. (Quantum Aether)
   • 플랑크 스케일인 반지름 \(l_p\)의 구형 셀로 FCC lattice의 lattice site에 배치됨.
   • 셀당 최대 12방향으로 다른셀과 결합 가능하며, 결합은 에너지 해소이자 공간의 발생 조건.
     • 셀이 다른 Qaether 셀과 더 많이 결합할수록, Void와 접촉하는 경계면이 감소하여, 외부로부터의 경계 압력도 선형적으로 감소한다. 동시에, 결합면의 수가 많아짐에 따라 셀의 관성 모멘트도 더 강하게 억제.
     • 이 두 효과는 Cell간 결합면의 공유와 Locking이라는 동일한 미시적 구조적 구속에서 동시에 기원.
2. Qaether 구체 표면적
   • Qaether 구체의 반지름을 \(r_p = l_p\)라 하면, 셀 하나의 전체 표면적(total surface area)은\(\mathfrak{A}_s \;=\; 4\pi\,r_p^2 \;=\; 4\pi\,l_p^2\)이고 전체 부피는 \(V_s \;=\; \frac43\pi\,l_p^3\)이다
3. Void: 비공간 경계조건
   • Void는 물리적 실체가 아니라, Qaether 시스템이 존재할 수 있는 영역의 한계를 규정하는 수학적 경계조건.
   • Qaether는 기본적으로 위상 에너지를 보유. 이 에너지로 인해 팽창하려하는데, Void 너머로는 팽창이 불가능하므로 Qaether 자체의 팽창 에너지가 내부 응력 또는 외부로 향하는 압력으로 전환되고, 이는 마치 경계면에서 100% 반사되는 것과 같은 효과 발생. 
   • 즉, Void는 힘을 가하는 것이 아니라, Qaether의 팽창이 수학적 경계 조건에 의해 막히는 효과만을 제공한다. 이로 인해 경계 압력과 관성 모멘트는 결합수에 의해 동시에 제약

 

A2. FCC 격자 구조

1. Qaether는 Face-Centered Cubic 격자구조로 packing되어 있다고 가정.
2. 따라서 각 Qaether는 최대 12개의 최근접 이웃과 결합 가능하여 FCC 12방향의 단위벡터를 갖는다.
3. 결합이란 것은 두 개의  Qaether가 한점을 중심으로 접하고 위상차를 조절하면서 안정적인 상태를 만드는 것을 결합이라고 하며 다른 말로 링크(Link)라고 한다. 이 링크가 아래 A4의 위상차 양자화 조건과 루프(Loop) 의 위상차 조건을 만족하면서 폐합되면 우리는 이를 루프(Loop)라고 부른다.
4. FCC 격자 구조를 선택한 이유
   • 최소 에너지 배치
     • Qaether도 플랑크 반지름 규모의 구형 셀로 모델링하므로, 서로 거리가 가까울수록 위상 상호작용 퍼텐셜이 강해집니다.
     • FCC 배치에서는 각 셀이 열두 개의 최근접 결합벡터를 갖고, 모든 결합 간 각도가 60° 또는 90° 등으로 균일해 위상차 퍼텐셜이 고르게 분포.
     • 결과적으로 격자 전체 위상 퍼텐셜 에너지가 최소화되므로, 에너지적으로 매우 안정한 상태.
   • 등방성(Isotropy) 복원
     • 장파장(long-wavelength) 근사에서 동역학이나 파동전파 속도등을 고려할 때, FCC는 미시적으로는 이산 격자지만, 격자 간격이 균일하여 장거리에서는 등방성을 가장 잘 복원. $$\lim_{\lambda \gg l_p} \to Lorentz \quad 유효 대칭$$
     • 이는 시방향에 따라 물리량(전파 속도, 스핀 상호작용 에너지 등)이 다르게 나타나지 않고, 모든 방향에서 동일하게 보인다는 의미로, 에너지 벌크(전체 평균 에너지 분포)가 균일하다는 뜻.

 

A3. Qaether의 수학적 정의

각 Qaether cell \(i\)는 다음과 같은 상태벡터로 정의됨:

$$Q_i = \left(\phi_i,\; \{\hat{b}_{ij}\}, \{\Delta\phi_{ij}\} \right) $$

1. 위상: \(\phi_i\)
   • 각 Qaether 셀이 갖고 있는 “내부 진동 상태”를 나타내는 주기적 순환 변수로 마치 파동이 위상을 갖는것 처럼 각 셀 내부에는 \(\phi_i\)만큼의 위상 상태가 존재한다고 가정
   • 불연속 양자화: 위상차\(\Delta \phi_{ij} = \phi_{i} - \phi_{j}\)가 반드시 \(\pi/3\)단위로 양자화됨.
   • 물리적 상호 매개체: 위상차의 양자화가 전자기·색전하·스핀·토폴로지 결함을 결정짓는 핵심 전제이며 관계적 시간의 기준
   • 이산 위상미분 형태 $$\ddot \phi_i = \frac{\phi_i^{N+1}-2\phi_i^N+\phi_i^{N-1}}{t_q^2} $$ $$\dot \phi_i = \frac{ \phi_i^N-\phi_i^{N-1} }{t_q} $$ \(t_q\)는 Qaether의 유효 시간이며 A5를 통해 플랑크 시간인 \(t_p\)와 같음을 증명. 그래서 이 후로는 플랑크시간으로 대체
2. 결합벡터 집합: 셀간의 결합방향 벡터의 집합 \(\{\hat{b}_{ij}\}\)
   • 결합벡터합 \(B_i\)$$ B_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \, \hat{b}_{ij} $$
   • 결합수 \(m_i = |\{\hat{b}_{ij}\}|\)
     • \(0 \le m_i \le 12\)의 조건을 만족해야하기 때문에 \(|\{\hat{b}_{ij}\}| \le 12\)
   • 이를 이용해서 이후에 계산할 결합유효압력 \(P_i(m_i)\)를 정의 가능.
3. 위상차 집합: 셀간의 결합위상차의 집합 \(\{\Delta\phi_{ij}\}\)
   • 결합벡터가 발생하는 모든 결합간의 위상차를 모아놓은 집합
   • 각각의 위상차 집합의 원소들은 다른 Qaether 셀들과 결합하여 폐합루프를 형성하기도 하며 그 규칙은 A4를 참조하기 바란다.
   • 위상차 결합벡터합 \(D_i\) $$ D_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \Delta \phi_{ij} \, \hat{b}_{ij} $$
4. Qaether Cell의 회전운동은 현재 공리에서는 제외했다. 입체라면 회전운동을 정의하는 것이 정합한다고 판단되지만 공간 자체의 회전을 어떻게 정의해야할지 어려움이 있어서 공간은 위상의 변화만 있을 것으로 한정지었다. 따라서 현재 버전에서는 회전운동에 대한 내용을 포함하지 않는다.
5. Qaether Cell \(i\)의 내부 위상 진동 에너지
   • Qaether 이론에서 모든 물질의 파장은 최소 파장 \(l_p\) (플랑크 길이)의 정수(\(n\))배로 증가한다고 가정한다.
     
     • 각 \(n\in\mathbb{Z}^+\)에 대응하는 파장은 \(\lambda_i \;=\; n\,l_p\) 이므로, \(\lambda_i\ge l_p\) 인 모드만 허용됩니다. 이는 이론적으로 플랑크 길이\(l_p\) 이하의 초단파장 발산을 자동 차단하는 자연스러운 UV 컷오프 (UV Cutoff) 역할
   • 이를 기준으로 어떤 플랑크 스케일 물질의 각주파수를 계산하면 \(\Omega_i(n)={2\pi c }/{ n l_p } \)이며 내부 위상 진동에너지는 $$E_n = \hbar \Omega_i = \hbar \frac{2\pi c}{n l_p}$$
   • 이때 이 물질을 Qaether라고 가정하고 위상 에너지 밀도를 계산하면 $$u_{\phi} = \frac{E_n}{V_s} = \frac{\hbar \Omega_i}{\frac43\pi\,l_p^3} = \frac{3\hbar c}{2nl_p^4}$$
   • Qaether Cell 자체는 최소파장만을 갖는다고 가정하고 \(n=1\)로 고정하면 $$u_{\phi} = \frac{3\hbar c}{2l_p^4}  \sim 6.9 \times 10^{113} \, \text{J/m}^3 = 4.3 \times 10^{123} \text{GeV/m}^3$$
   • 따라서 내부 위상 모드는 항상 플랑크 스케일 최소 파장 모드이며, 이후 세대 결합 구조에서 발생하는 collective 모드의 에너지 계층화를 통해 저에너지 구조가 형성됨

 

A4. 루프 패턴 및 루프 위상차 조건

1. 기본 루프(폐합결합) 패턴의 정의
   • 기본 루프(Loop)는 삼각루프, 사각루프 두가지 형태만 존재한다. 이는 FCC 격자 구조에서 루프를 만드는 최소 위상차 링크로 다른 어떤 루프도 기본 루프의 점,선,면결합으로 만들어 낼 수 있다. (단, 접힌 사각루프는 추가적으로 정의)
     • 삼각루프는 트라이앵글릿(Trianglet)이라고 부르며 3개의 결합(링크)으로 2차원 삼각형 평면을 만드는 구조
     • 사각루프는 플라켓(Plaquette)이라고 부르며 4개의 링크로 2차원 사각형 평면을 만드는 구조
     • 90도 접힌 사각루프는 스피너릿(Spinnerlet)이라고 부르며 플라켓의 대각선을 기준으로 한쪽 삼각형을 면의 수직 방향으로 90도 접어 만드는 구조
   • 루프간 결합 방법으로는 다음과 같은 세가지 방법이 있다.
     • 점결합: 여러개의 루프가 Qaether 셀 하나를 공유하는 결합으로 하나의 셀은 12개의 링크가 가능하고 루프와 결합하려면 최소 2개의 링크가 필요한 점을 감안하면 최대 6개의 다른 루프와 결합 가능
     • 선결합: 2차원 루프를 구성하는 2개의 루프가 링크 하나를 공유하는 결합으로 한개의 선결합에는 최대 4개의 2차원 폐합루프의 결합 가능
     • 면결합: 면을 구성한 루프 자체를 두개의 입체 루프가 공유하는 결합으로 한개의 면결합에는 오직 2개의 입체 루프만 결합 가능
   • 루프의 위상차 조건 $$\Phi_ℓ\;=\;\sum_{(ij)\in ℓ}\Delta\phi_{ij}, \quad \Phi_ℓ=2\pi\,n_ℓ,\; \quad n_ℓ\in\{-1, 0, 1\}$$ 
     • 여기서 ℓ은 루프를 의미하며 비루프는 국소 위상합 계산에서 제외
     • \(n_\ell\neq0\) 일 때 국소 위상 불일치 발생
   • 위상차 양자화 조건: $$\Delta\phi_{ij} \;\in\; \mathbb{Z}_6\,\cdot \frac{\pi}{3} \;\;=\;\;\Bigl\{\;0,\;\pm\tfrac{\pi}{3},\;\pm\tfrac{2\pi}{3},\;\pm\pi\Bigr\}$$
     • 위와 같은 양자화 조건을 만족할때 위상 양자화 상태가 에너지 안정화 상태를 이룬다.
     • 한개 링크의 위상차가 0인 경우는 에너지 불일치가 없는 완벽히 동기화된 안정적인 결합
     • 한개 링크의 위상차가 \(\pi\)인 경우는 순환위상이 반대가 되어 결합점에서 위상파가 정지파를 만들기 때문에 이 결합점에서 위상파 반사도 발생하지 않는다. 
   • 투영 평면 결정과 결합순서
     • 결합벡터 순서를 정하는 기준 평면은 루프가 이루는 평면이며 루프가 입체로 닫히는 경우는 법선합벡터의 수직인 평면.
     • 결합방향은 시계방향을 (+), 반시계방향을 (-)로 한다.
2. 기본 루프 설명
   • 트라이앵글릿 (Δ, \(\ell_3\))
     • 구성: 3개의 링크가 닫힌 형태.
     • 위상 폐합식:$$\Phi_{\ell_3}= \sum_{(ij)\in\ell_3} \Delta\phi_{ij} \;=\; 2\pi\,n_{Δ}, \quad n_{Δ}\in\{\,-1,\,0,\,+1\,\}$$
     • \(n_{Δ}\)를 트라이앵글릿 지수라 부른다.
   • 플라켓 (□, \(\ell_4\))
     • 구성: 4개의 링크가 닫힌 형태.
     • 위상 폐합식(일반형):$$\Phi_{\ell_4}= \sum_{(ij)\in\ell_4} \Delta\phi_{ij} \;=\; 2\pi\,n_{□}, \quad n_{□}\in\{\,-1,\,0,\,+1\,\}$$
     • \(n_{□}\)를 플라켓 지수라 부른다
   • 스피너릿 (◇, \(\ell_s\))
     • 구성: ℓ₄ 플라켓(loop) 형태로 \(Q_1-Q_2\)를 기준으로 사각형 면이 90도 꺾임: $$F_1\xrightarrow{\ell_1}Q_1\xrightarrow{\ell_2}F_2\xrightarrow{\ell_3}Q_2\xrightarrow{\ell_4}F_1$$
     • 위상 폐합식(일반형): $$\Phi_{\ell_s}= \sum_{(ij)\in\ell_s} \Delta\phi_{ij} \;=\; 2\pi\,n_{◇}, \quad n_{◇}\in\{\, -1,\,0,\,+1 \,\} $$
     • \(n_{◇}\)를 스피너릿 지수라 부른다.
3. 1세대 복합 입체 루프(잠재적 보손루프)
   • 복합 입체 루프 구성을 위한 겉넓이 플럭스 보존
     • 플럭스 보존이란, 하나의 닫힌 입체(Polyhedron)를 구성하는 모든 면의 루프 지수 합이 0 이어야 한다는 뜻이다. 각 모서리(링크)의 위상차는 두 면 간에 공유되기 때문에, 모든 면 방정식을 더하면 내부 공유 링크들의 \(\Delta\phi\)항은 상쇄된다. 결과적으로 오직 외부 면(겉넓이)의 합만 남아야 위상적으로 결함(monopole)이 없는 상태가 된다.
   • Tiara (정사면체)
     • 구성면: 4개의 트라이앵글릿 \(\ell_{3,1},\ell_{3,2},\ell_{3,3},\ell_{3,4}\)
     • 플럭스 보존:$$\sum_{k=1}^4 n_{\Delta_k} \;=\; 0, \quad n_{\Delta_k}\in\{\,-1,0,1\}$$
     • 예제: \((\,n_{Δ_1},n_{Δ_2},n_{Δ_3},n_{Δ_4}\,)=\{(1,1,-1,-1),(1,-1,0,0), (0,0,0,0)\}\)
     • 구현 불가: (1,1,1,1) 등 합 \(\neq0\) 조합.
   • Pyramid (정사각뿔)
     • 구성면: 4개의 트라이앵글릿 \(\ell_{3,1},\dots,\ell_{3,4}\) + 1개의 플라켓 \(\ell_{4}\) (밑면).
     • 플럭스 보존:$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k} \;+\; 2\,n_{□} \;=\; 0, \quad n_{□}\in\{\,-1,0,1\}$$
     • 플라켓 \(n_{□}=\pm1\)일 때, 트라이앵글릿 합 \(\sum n_{Δ}=-2n_{□}\)
     • 해 예시 (스핀/색 발생용):$$\sum_{k=1}^4 n_{Δ_k}=-2$$ 예: \((n_{Δ_1},n_{Δ_2},n_{Δ_3},n_{Δ_4})=(-1,-1,0,0)\)
       • \(n_{□}=-1\) 일 때 \(\sum n_{Δ}=+2\) 예: (1,1,0,0)(1,1,0,0).
     • 해 예시 (평탄): \(n_{□}=0,\;\sum n_{Δ}=0\). 예: (1,-1,1,-1) 등.
   • Diamond (정팔면체)
     • 구성면: 8개의 트라이앵글릿 \(\ell_{3,1},\dots,\ell_{3,8}\)
     • 플럭스 보존:$$\sum_{k=1}^{8} n_{Δ_k} \;=\; 0.$$
     • 해 예시:
       • 4개 면 \(n_{Δ}=+1\), 4개 면 \(n_{Δ}=-1\) (합 0).
       • 모두 0인 면 8개 (완전 평탄).
4. 2세대 복합 입체 루프 (잠재적 쿼크루프)
   • 확장사면체: 글루온(Y자형) 패턴 한개에 총 3개 스피너릿이 결합한 형태로 큐브의 1/4 덮개 구조
   • 더블 확장사면체: 2개의 확장사면체를 하나의 삼각면을 중심으로 접하게 하여 스피너릿의 4배 확장된 사면체로 만든 구조 (4배 확장 스피너릿이라고 불러도 좋을 듯)
   • 확장팔면체: 4개의 더블 확장사면체를 삼각형 면을 각각 접하게 하여 만든 구조
   • Half Cover: 2개의 확장사면체를 선결합을 통해 큐브의 커버처럼 만든 구조
   • Full Cover: 2개의 Half Cover를 가지고 만든 구조로 하나의 Half 커버를 180도 회전시켜 결합한 구조

 

A5. 유효 시간과 전역 시간 정의 (Einstein 동기화 프로토콜)

1. 유효시간
   • 의미 있는 최소 물리사건(\(\Delta \phi = \pi/3)\)은 \(t_q\)동안 발생한다.
   • 따라서, 트라이앵글릿을 기준으로 결합 규칙에 따라 루프를 한바퀴도는 동안 위상이 \(2\pi\)가 변하며 이에 따라 걸리는 총 시간은 \(6t_q\)이다.
   • 트라이앵글릿은 각 링크의 거리가 \(2l_p\)(반지름의 2배)이기 때문에 전체 거리는 \(6l_p\)이다.
   • 따라서 \(c_\phi = 6l_p/6t_q = l_p/t_q\)이다. 이때 \(c \le c_\phi\) 이므로 \(l_p/t_p \le l_p/t_q \)이다.
   • 정리해보면 \(t_q \le t_p\)인데 \(t_p\)는 플랑크 시간으로 이 시간보다 더 짧은 시간은 관측 불가 이기 때문에 $$\boxed{t_q = t_p}$$ 따라서 $$c_\phi = \frac{l_p}{t_p}=c$$
2. 전역시간
   • Phase Pulse 전송·반사
     • 기준 셀 r이 크기 \(\Delta \phi = \pi/3\) 위상 펄스를 셀 i로 발사(send)하고, i가 이를 즉시 반사(reflect)하여 되돌려보낼 때의 왕복 소요시간을\(t_{r\leftrightarrow i}\)로 정의한다.
   • 동기 오프셋 계산
     • 왕복 시간이 유한 속도 \(c_\phi=c\) 에 의해 측정되므로, 셀 i와 r 사이의 시간 오프셋을\(\Delta t_i \;=\;\tfrac12\,t_{r\leftrightarrow i}\)로 취한다.
   • 전역 시간 좌표 부여
     • 각 셀 i에서의 글로벌 시각 \(t_i\)는, 셀 r의 발사 시각 \(t_r\)에 오프셋을 더한 값으로 일관되게 정의된다:$$t_i \;=\; t_r \;+\;\Delta t_i \approx \; t_r \;+ \frac{n}{2}t_p$$
     • 이 절차를 격자 전체에 적용하면, 모든 국소적 위상 펄스 측정을 통해 전역 Qaether 시간이 인과율을 보존하며 동기화된다.
     • 플랑크 시간 \(t_p\)​가 최소 단위이므로, 전역 시간 동기화 절차가 제공하는 시간 해상도 역시 본질적으로 \(t_p\)​ 단위로 구분됩니다.
     • 즉, 두 셀 간의 시간 차이는 항상 \(t_p\)​ 의 배수 혹은 그 근사치로 측정되며, 이산적 구조 위에서 글로벌 simultaneity 개념은 \(t_p\)​ ​ 이상의 해상도로만 정의됩니다.
   • 격자 프레임과 연속 극한
     • 전역 시간은 특정 기저 격자 프레임(lattice rest frame)에서의 동시성 정의입니다.
     • 각 셀 간 거리가 \(d_{ri}\) (격자 간 링크 수 × \(l_p\))일 때, 왕복 시간은 약 \(2\,d_{ri}/c = 2\,d_{ri}\,t_p/l_p\)이고, 이 이산적 시간 간격이 \(\Delta t_i\) 계산의 기반이 됩니다.
     • 연속 극한(격자 간격 \(l_p \to 0\)을 가정하거나, 장거리 파동전파를 근사적으로 다룰 때)에서는 이런 이산적 시간을 매끄러운 연속 시간으로 근사할 수 있어, 전통적 SR의 동기화 프로토콜과 일치하는 연속적 좌표 시간이 회복됩니다.

 

A6. Qaether의 결합 유효 압력

1. 결합 하나당 Void 압력 해소 면적
   • 셀이 다른 Qaether와 결합할 때 두 구형이 접촉하게 된다. 이 접촉부를 단위 면적 \(\mathfrak{A}_b\)로 근사.
   • 실제 구면 접촉형태는 spherical cap이지만, 플랑크 스케일에서 모델 단순화를 위해 “결합 하나당 막히는 면적”을 모두 동일한 상수 \(\mathfrak{A}_b\)로 가정.
   • 일반적으로$$0 < \mathfrak{A}_b \;\ll\; \mathfrak{A}_s \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha \;\equiv\; \frac{\mathfrak{A}_b}{\mathfrak{A}_s} \;\ll\; 1$$
2. 미결합 경계면 면적
   • 셀이 실제로 \(m_i\)개 이웃과 결합했다면, 그만큼의 면적\(m_i\,\mathfrak{A}_b\)가 막힌 상태이다.
   • 따라서 반사 가능한 빈 경계면 총 넓이는$$\mathfrak{A}_i(m_i) = \mathfrak{A}_s \;-\; m_i\,\mathfrak{A}_b = (1-\alpha \; m_i) \mathfrak{A}_s$$
   • 이때, FCC 구조에서 최대 결합 수 \(m_i=12\)이고 플랑크 스케일에서 \(\mathfrak{A}_s \gg 12 \, \mathfrak{A}_b\)이기 때문에 \(\alpha \ll \frac{1}{12}\)이다.
3. 반사 압력 모델
   • 단위 면적당 위상파가 100% 반사될 때 받는 압력을 \(p_0\)라 정의한다. (단위: 압력)
   • \(p_0\)의 단위는 압력(즉, 에너지 밀도)이며, 위상파 에너지 밀도 \(u_\phi\)가 주어지면 \(p_0=2u_\phi\)와 같은 형태로 정의할 수 있다. (위상파 속도 c 가정)
   • \(p_0\)는 외부 위상펄스 세기의 함수로 볼 수 있으며, 모델링 목적에 따라 상수 혹은 국소 \(\phi\)분포에 따라 달라질 수 있다
   • 이 \(p_0\)를 기준으로셀 i가 받는 기저 압력(경계 압력) \(P_i(m_i)\)는 반사 가능한 면적 비율에 비례하여$$ P_i(m_i) \;=\; p_0 \;\frac{\mathfrak{A}_i(m_i)}{\mathfrak{A}_s} \;=\; p_0\,\Bigl(1 \;-\;\alpha\,m_i\Bigr), \quad \alpha = \frac{\mathfrak{A}_b}{\mathfrak{A}_s}$$
   • 최대, 최소 압력
     • \(m_i=0\)일 때\(P_i(0) = p_0\)(최대 압력),
     • \(m_i\)가 클수록\(P_i(m_i)\)는 선형적으로 감소하며,
     • FCC 구조 최대 결합 수(예:\(m_i\le12\)) 범위에서\(P_i(m_i)\ge p_0(1 - 12\alpha)\)이 되어 음수가 되지 않는다.
4. 종합하자면 Void에 의한 경계효과로 Qaether 자체는 항상 기저 압력을 갖게 되고 이 기저압력은 격자 내에서 국소적으로 공간을 휘게 하여 유효 곡률을 만들고, 그 결과로 ‘기저 질량 조건’을 얻게 된다.
5. 국소 관성 모멘트 (\(I_i\)): $$I_i=\rho \int_{V_i}r^2 dV$$
   • 이때 Qaether 셀의 질량(관성)은 셀 내부가 아니라, 외부 Void 위상파가 부딪쳐 반사-압력을 낳는 열려 있는 표면 에 얇게 분포 한다고 본다. 따라서 체적 적분 대신 얇은 셸(thin-shell) 관성모멘트를 사용한다.
   • 셀 \(i\) 중심을 원점으로 하고, 열려 있는 표면 \(\mathfrak A_i(m_i)\)에서만 압력-면밀도 \(\sigma\)가 작동한다고 두면$$I_i(m_i) =\int_{\mathfrak A_i(m_i)}\!\!\sigma(\mathbf x)\;r^2\,dA , \qquad \sigma(\mathbf x)=\frac{P_i(m_i)}{c_{\!\text{eff}}^{\,2}}$$
     • \(r\) : 셀 중심에서 표면점까지의 거리
     • \(c_{\!\text{eff}}\) : 압력을 등가질량으로 환산하는 특성 속도 (모델 상수)
   • FCC 한 셀의 표면은 거의 구면이므로 \(r\approx l_p\) (셀 반경)로 근사하면 $$I_i(m_i) =\frac{P_i(m_i)}{c_{\!\text{eff}}^{\,2}} \int_{\mathfrak A_i(m_i)}\!\!l_p^{\,2}\,dA =\frac{P_i(m_i)\,l_p^{\,2}}{c_{\!\text{eff}}^{\,2}}\; \mathfrak A_i(m_i)$$
   • 여기서 $$P_i(m_i)=p_0(1-\alpha m_i), \qquad c_{\!\text{eff}} = c$$ 을 대입하면 $$I_i(m_i) =\frac{p_0(1-\alpha m_i)\,l_p^{\,2}}{c^{\,2}}\; \mathfrak A_i(m_i)$$ 더해서 여기에 \(\mathfrak A_i(m_i)=(1-\alpha m_i)\,\mathfrak A_s\)를 대입하면 $$I_i(m_i) =\frac{p_0(1-\alpha m_i)^2\,l_p^{\,2}}{c^{\,2}}\; \mathfrak A_s$$
   • 이때 \(I_0=\frac{p_0 l_p^2 \mathfrak A_s}{c^2}=p_0 \mathfrak A_s t_p^2\)으로 정의하면 다음과 같이 관성모멘트를 정의할 수 있다.  $$I_i(m_i) =I_0(1-\alpha m_i)^2$$
     • 관성모멘트가 압력과 면적 두 요소 모두에 선형으로 비례하므로, 결합수가 늘면 \(I_i\)는 2차 감쇠 \((1-\alpha m_i)^2\) 로 떨어진다.
     • \(\alpha\ll1\)이므로 \(m_i\le12\) 범위에서는 선형 근사 \(I_i\!\simeq\!I_0(1-2\alpha m_i)\) 를 써도 계산 가능.

 

A7. 스핀의 정의

1. 스핀은 루프의 half‑angle SU(2) 홀로노미(“루프 스핀”)으로 결정된다. 이는 루프 위상(abelian)과 SU(2)―SO(3) 이중덮개 회전을 결합하여 보손/페르미 통계가 정해지는 메커니즘을 제공한다.
2. 전체 위상 홀로노미
   • 전체 위상 홀로노미 계산식: $$\Phi_{\rm total} = \zeta \Phi_{\rm \ell}$$ 비평면계수 (\(\zeta\))는 평면에서 1, 90도 꺽인 평면에서 1/2를 갖는다.
   • 루프별 전체 위상 홀로노미:
     • 트라이앵글릿(\(\zeta=1\)): $$\Phi_{\rm total, \ell_3} = \zeta \Phi_{\rm \ell_3} = \Phi_{\rm \ell_3} = 2\pi\,(n)$$
     • 플라켓(\(\zeta=1\)): $$\Phi_{\rm total, \ell_4} = \zeta \Phi_{\rm \ell_4} = \Phi_{\rm \ell_4} = 2\pi\,(n)$$
     • 스피너릿(\(\zeta=\frac12\)): $$\Phi_{\rm total, \ell_s} = \zeta \Phi_{\rm \ell_s} = \tfrac12\Phi_{\rm \ell_s} = \pi\,(n)$$
   • 스핀을 갖기 위해서는 아래의 SU(2) 홀로노미를 만족해야 한다. \[
     S(2\pi)\colon
     \Psi(n_{\ell})\mapsto e^{i\Phi_{\rm total}}\,\Psi
     =-\Psi
     \quad(n_{\ell}\in\{-1,0,+1\}).
     \] 위 수식을 만족하는 루프는 스피너릿 뿐. (\(H_{SU(2)}(\ell_3)=I_2\), \(H_{SU(2)}(\ell_4)=I_2\))
3. 스피너릿 루프 라그랑지안과 공액운동량
   • 루프 \(\ell\)을 기준으로 라그랑지안과 공액운동량을 구해보자. 단, 이 방정식에서 \(\Phi_{\ell}\)은 \(\Phi_{total,\ell}\)을 의미 $$\mathcal L_{\ell}=\tfrac12 M_{\ell}\dot{\Phi}_{\ell}^2 - U_{\ell}(\Phi_{\ell}),\qquad P_{\ell}=\frac{\partial\mathcal L_{\ell}}{\partial\dot{\Phi}_{\ell}}=M_{\ell}\,\dot{\Phi}_{\ell}$$
   • 정준 대수 $$\{\Phi_{\ell},P_{m}\}_\text{cl}=\delta_{\ell m},\quad [\hat{\Phi}_{\ell},\hat P_{m}]=i\hbar\,\delta_{\ell m}$$ 로부터 루프 스핀 연산자 $$\hat S_{\ell}=\hat P_{\ell}/2$$  (half-angle shift로 인한 1/2 계수)가 정의
4. 스피너의 위상구조
   • 각 링크 위상 차분$$\Delta\phi_\ell^{(k)} =\phi_{\mathrm{head}(\ell_k)}-\phi_{\mathrm{tail}(\ell_k)}, \quad k=1,\dots,4 \qquad (mod \, 2\pi) $$
   • 국소 4성분 스피너장 $$\Psi_\ell =\begin{pmatrix} \psi_\ell^{(1)}\\[0.3em] \psi_\ell^{(2)}\\[0.3em] \psi_\ell^{(3)}\\[0.3em] \psi_\ell^{(4)} \end{pmatrix},\qquad \psi_\ell^{(k)} =\exp\!\Bigl(\tfrac{i}{2}\,\Delta\phi_\ell^{(k)}\Bigr)$$ half‑angle 때문에 4‑링크 전체 위상의 절반이 스핀 결정을 주도한다.
   • 한 루프(4 링크)에서 위상 합 \(2\pi\) 시 (예시)
     $$\prod_{k=1}^4\psi_\ell^{(k)}=e^{i\pi}=-1 (스핀플립)$$
5. 스핀 회전 연산자 \(S(\theta)\)
   • 링크 위상을 모두 \(\theta\)씩 더함: $$S(\theta)\Psi_\ell =\exp\!\bigl(\tfrac{i}{2}\theta\bigr)\,\Psi_\ell$$
   • 360° (\(2\pi\)): \(S(2\pi)\Psi_\ell=-\Psi_\ell\) → 부호 반전
   • 720° (\(4\pi\)): \(S(4\pi)\Psi_\ell=+\Psi_\ell\) → 완전 복귀
   • SU(2)가 SO(3)의 이중 덮개 구조 확보.
6. 전체 루프 위상과 입자·반위상 (일반화된 분류기준) $$\Phi_\ell=\sum_{k=1}^4\Delta\phi_\ell^{(k)}, \quad \prod_{k=1}^4\psi_\ell^{(k)} =\exp\!\Bigl(\tfrac{i}{2}\Phi_\ell\Bigr)=\;e^{i\pi n_\ell}$$
   • 홀수 \(n_\ell = \pm1 \)$$\Phi_\ell=\pm2\pi \;\Longrightarrow\; \prod\psi_\ell=-1$$→ 반정수 스핀, 즉 페르미온 모드 (반페르미온 포함)
   • 짝수 \(n_\ell = 0 \)$$\Phi_\ell=0,\,\;\Longrightarrow\; \prod\psi_\ell=+1$$→ 정수 스핀, 즉 보손 모드 (스칼라·벡터·고차 스핀 등)
7. 스핀 벡터
   • 평면일 때 \(\mathbf S=0\), 접힘·비평면일 때\(\lvert\mathbf S\rvert=\hbar/2\)이 자동 보장되도록, 국소 법선축 방식을 도입합니다.
   • 위상·결합 벡터 합$$D_{i}=\sum_{j\in N}\Delta\phi_{ij}\,\hat b_{ij}, \quad B_{i}=\sum_{j\in N}\hat b_{ij}$$
   • 국소 법선축 (스핀축) $$N_{k}= \begin{cases} \dfrac{D_{k}\times B_{k}}{\lVert D_{k}\times B_{k}\rVert},& D_{k}\times B_{k}\neq0,\\[8pt] \mathbf0,& D_{k}\times B_{k}=0 \quad(\text{평면 degenerate}) \end{cases}$$
   • 꼭지점 기여 스핀$$\mathbf s_k =\frac{\hbar}{4\pi}\, \Bigl[\tfrac12\!\!\sum_{(ij)\in\ell}\!\!\Delta\phi_{ij}\Bigr] \;N_k$$
   • 전체 스핀$$\mathbf S=\sum_{k=1}^4\mathbf s_k$$
     • 평면일 땐 모든 \(N_{k}=\mathbf0 \Rightarrow \mathbf S=0\)
     • 90° 접힘 등 비평면에서는 \(\lvert\mathbf S\rvert=\hbar/2 유지\)

 

A8. 전하 연산자 정의

1. 전하는 링크 중심으로 각 링크에 고정 전하 \(q_0\)를 분배하는 방식을 택합니다. 
2. 따라서 트라이앵글릿, 플라켓등은 \(3q_0\), \(4q_0\)와 같은 전하를 갖게 되며 \(e=4q_0\)와 같은 관계를 갖는다.
3. 트라이앵글릿·플라켓 면들이 모여 입자를 이루면 각 선분을 루프에 따라 선적분하고 전체를 합하는 형식을 취한다. 이런식으로 Qaether 이론의 물리적 직관이 그대로 반영됩니다.
4. 링크별 기초 전하 할당
   • 트라이앵글릿, 플라켓, 스피너릿 링크 $$q_{ij} = q_0\,\operatorname{sgn}(\Delta\phi_{ij}), \quad \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}+1&(x>0),\\0&(x=0),\\-1&(x<0)\end{cases}$$
   • 그 외 링크: \(q_{ij}=0\)
5. 닫힌 면(face) 전하
   • 트라이앵글릿 면 \(\ell_3\) 에 부여된 전하는$$Q_{\ell_3} = \sum_{(ij)\in\ell_3}q_{ij} \;\in\;\{-3q_0,\,...,\,3q_0\}$$
   • 플라켓 면 \(\ell_4\) 의 전하는$$Q_{\ell_4} = \sum_{(ij)\in\ell_4}q_{ij} \;\in\;\{-4q_0,\,...,\,4q_0\}$$
6. 비교: 기존 전하 개념과의 차이
   • Qaether 모델에서는 링크 중심이지만 face 단위로 전하가 생성·집적되어야 공간 폐합을 이루고 전체 전하가 계산된다.
7. 전자의 전하는 \(q_e=n_q q_0\)이다. 단, \(n_q\)는 자연수이다.
   • 전자와 양성자 루프 패턴이 확정되면 전자의 전하값이 정해질 예정이다.
   • \(n_q=6\)일 가능성이 가장 높으며 전자의 전하값\(q_e=6q_0\)일 것으로 추정하고 있다.

 

A9. 색전하 연산자 정의

1. 입자의 기본패턴 정의
   • 글루온
     • 구조: 'Y-자 '3 선 링크
     • 역할: Qaether 셀들간의 결합시 3개의 링크에 위상차를 결정하여 위상 관계를 설정하는 구조적 패턴으로 세개의 셀들이 어떠한 위상차 규칙으로 연결되어 있다는 상태 자체 의미
     • 특징: 글루온의 위상차 값이 결정되면 결합 규칙에 따라 입자의 전체 위상차 값이 결정. 또한 이 패턴은 입체 결합이 없기 때문에 \(C^8=0\)의 색중성 성질 보유.
   • 렙톤류
     • 구조: 스피너릿 (접힌 플라켓 ◇ 1개)의 위상차가 가장 안정적 에너지 상태로 결합되어 있는 상태 (예: \(2\pi/3, 2\pi/3,\pi/3,\pi/3\))
     • 역할: 4개의 Qaether가 모여 기본 Qaether cube의 1/12 덮개 루프를 형성하는 구조로 루프에 1/2 스핀을 부여
     • 특징: 구조가 같고 위상차만 다른 패턴 가진 위상 이성질체가 존재한다. 다만, 위상차가 큰 패턴의 경우는 고에너지 상태로 결합이 깨지기 쉽다. 또한 이 패턴은 입체 결합이 없기 때문에 \(C^8=0\)의 색중성 성질 보유.
   • 쿼크류
     • 구조: 글루온 1개에 의해 스피너릿 3개가 결합하여 2세대 복합 루프중 2세대 스피너릿 구조가 만들어지고 이 구조를 기본 입체 루프로 모든 쿼크가 생성됨.
     • 사이즈 확장: 2세대 스피너릿을 기준으로 다양한 입체 루프를 결합하여 쿼크를 형성한다. 다만, 2세대 스피너릿 구조를 반드시 포함하여 스핀 1/2를 유지
     • 특징: 쿼크류는 입체결합시 글루온과 상호작용하기 때문에 \(C^8\)에 반드시 영향을 받는다.
2. 쿼크 셀들 간의 기본 결합 패턴 - 기본 3색
   • \(C^3,C^8\)는 SU(3)의 대각 성분으로, 색전하 공간에서 기본 색상(R,G,B)의 방향을 구분하는 역할을 하며 글루온자체의 속성이 아니라 결합패턴이 연결하는 셀들의 위상관계를 어떻게 설정하고 변화시키는지를 나타내는 '태그' 또는 '명령어'에 가깝다.
     

     셀 색	플라켓 위상합 \(\mathfrak{S}_{\mathcal C}\)	\(Cartan (C^{3},C^{8})\)
     R	\(+2\pi\)	\((+\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3})\)
     G	\(-2\pi\)	\((-\tfrac12,\;+\tfrac1{2\sqrt3})\)
     B	0	\((0,\;-\tfrac1{\sqrt3})\)

     $$\mathfrak{S}_{\mathcal{C}} \;=\sum_{\ell^{4}\,\subset \mathcal{C}} \sum_{(ij)\in \ell^{4}} \Delta\phi_{ij} \;, \qquad \mathfrak{S}_{\mathcal{C}} \;\in\; \{\,+2\pi,\;0,\;-2\pi\,\}$$
3. 플라켓 (□) ↔ 색 \(C^{3}\)
   • 독립 플라켓
     • 플라켓이 다른 셀 또는 링크와 결합되지 않고 홀로 존재할때는 기존의 위상 양자화 조건을 따른다.
   • 글루온과 결합된 플라켓
     • 각 플라켓의 색전하는 반드시 최소 하나 이상의 글루온 링크와 연결되어 있어야만 외부로 색전하를 전달할 수 있다.
     • 플라켓이 글루온과 결합하여 폐합 결합루프를 만들면 다음 식을 만족한다. $$\sum_{(ij)\in\ell_{4}}\!\Delta\phi_{ij}=2\pi n_{\ell_{4}}, \quad n_{\ell_{4}}\in\{-1,0,+1\}$$ $$n_{\ell_{4}}=\pm1,0 \quad → \quad C^{3}=\pm\frac12,0$$
4. 글루온 = ‘Y-자 3 선’ 위상 패턴
   • 세 링크가 일직선으로 배열, 위상차 집합
     $$\bigl\{\pm\pi,\;\pm\frac{2\pi}{3},\;\pm\frac{\pi}{3},0\bigr\}$$
     를 한 번씩 사용.
   • 합은 항상 0이 되어야 한다: (\(\Delta\phi_{1}+\Delta\phi_{2}+\Delta\phi_{3}=0\))
   • 글루온 간의 상호작용은 패턴의 확장
     • Cell \(i\)를 중심으로 만들어진 Y자형 글루온이 다른 글루온과 상호작용 한다는 것은 Cell \(i\)에 다른 Y자형 글루온이 결합하여 총 6개의 foot이 생기게 되어 2-글루온 상호작용을 만들게 되는 형식이다.
     • 따라서 FCC 격자에선 하나의 Cell에 12개까지 결합이 발생함으로 4-글루온 상호작용까지 허락한다.
5. 글루온 8 상태

   글루온 8 상태	\(C^3\)	\(C^8\)	\((\Delta\phi_{1},\Delta\phi_{2},\Delta\phi_{3})\)
   \(G^{R\bar G}\)	+1	+\(\frac1{\sqrt3}\)	$$(+\pi,\;-\tfrac{2\pi}{3},\;-\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{G\bar R}\)	-1	-\(\frac1{\sqrt3}\)	$$(-\pi,\;+\tfrac{2\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{G\bar B}\)	+\(\frac12\)	+\(\frac1{\sqrt3}\)	$$(+\tfrac{2\pi}{3},\;-\tfrac{\pi}{3},\;-\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{B\bar G}\)	-\(\frac12\)	-\(\frac1{\sqrt3}\)	$$(-\tfrac{2\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3})$$
   \(G^{R\bar B}\)	-\(\frac12\)	+\(\frac2{\sqrt3}\)	$$(-\tfrac{\pi}{3},\;+\tfrac{\pi}{3},\;0)$$
   \(G^{B\bar R}\)	-1	0	$$(-\tfrac{2\pi}{3},\;+\tfrac{2\pi}{3},\;0)$$
   \(\lambda_3\)(diag)	+1	0	$$(+\pi,\;-\pi,\;0)$$
   \(\lambda_8\)(diag)	0	0	$$(0,\;0,\;0)$$

   
   
   • 색전하 1단위 이동
     • 한 링크의 \(m_{ij}\)를 \(\pm6\) 변환하면 $$\Delta\phi_{ij}\to\Delta\phi_{ij}\pm2\pi$$ 인접 플라켓(loop) 하나의 위상합$$\mathfrak{S}_{\ell_4}=\sum_{(ij)\in\ell_4}\Delta\phi_{ij}$$만큼 바뀝니다.
     • 이로써 해당 셀의 Cartan 색전하 성분이 \(\Delta C^3=\pm\tfrac12\)​ (또는 \(\Delta C^8=\pm\tfrac1{\sqrt3}\)​) 만큼 이동하며, 글루온 하나가 “방출” 또는 “흡수”되어 색전하 1단위를 옮깁니다.
6. 국소 Gauss 법칙 (색유량 보존) $$\sum_{(ij)\in\partial\mathcal C}E_{ij}^{a}=C_{\mathcal C}^{a},\qquad E_{ij}^{a}=\frac{\Delta \phi_{ij}}{2\pi}\,\varepsilon^{a},\quad a=3,8$$
   • 여기서 \(\varepsilon^{3}=(1,-1,0),\; \varepsilon^{8}=(1,1,-2)/\sqrt3\) 은 색공간 단위벡터
   • 따라서 경계로 나간 위상 차분 합 = 내부 색전하

 

A10. 위상-스핀 동역학 방정식

1. 게이지 공변 위상차 $$\Delta\phi_{ij}^{\rm tot} =\bigl(\phi_j-\phi_i\bigr) \;-\;q_e\,A_{ij} \;-\;g\,\vec C_i\!\cdot\!\vec A_{ij}$$
   • \(A_{ij}\): U(1)링크 전자기 퍼텐셜
     • 각 링크 \((ij)\)의 위상 결합 차분$$\Delta\phi_{ij}^{U(1)} = (\phi_j-\phi_i)-\Delta\phi_{ij}^{SU(3)}$$으로부터$$A_{ij} = \frac{1}{q_e}\,\Delta\phi_{ij}^{U(1)}$$연속 극한에서 $$A_{ij}\approx a\,\hat e_{ij}^\mu A_\mu(x)$$
     • 4-퍼텐셜 \(A_\mu\): $$A_\mu = (A_0,\,A_1,\,A_2,\,A_3) \quad\longleftrightarrow\quad \bigl(\phi_{\rm EM},\,\mathbf A\bigr)$$
       • \(A_0 = \phi_{\rm EM}\)​: 전기 퍼텐셜
       • \(\mathbf A = (A_1,A_2,A_3)\): 자기 퍼텐셜
1. • \(\vec A_{ij}\): SU(3) 게이지 링크 $$U_{ij}^{(3)}=\exp\bigl(i\,\Delta\phi_{ij}^{SU(3)}\bigr),\qquad A_{ij}^a=\frac{1}{g}\operatorname{Tr}\bigl[T^a\log U_{ij}^{(3)}\bigr]$$
   • \(\vec C_i\): 셀 i의 색전하 벡터
     • 인접 플라켓 \(\ell_4\) 위상합 $$\mathfrak{S}_C^\ell=\sum_{(ij)\in\ell_4}\Delta\phi_{ij}\in\{\pm2\pi,0\}$$ 에 대응해 $$(C_3,C_8)= \begin{cases} (+\tfrac12,+\tfrac1{2\sqrt3}),\\ (-\tfrac12,+\tfrac1{2\sqrt3}),\\ (0,-\tfrac1{\sqrt3}), \end{cases} \quad \mathbf C_i=\sum_{i \in \ell_4}(C_3^\ell,C_8^\ell)$$
   • \(q_e,\,g\): U(1), SU(3) 결합상수
     • U(1): A10 전하 연산자 참조
     • SU(3): A11 색전하 연산자 참조
2. 공변 위상 링크변수: $$\chi_{ij} \;\equiv\; e^{\,i\,\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}}, \qquad \chi_{ji} = \chi_{ij}^{-1}$$
3. 커플링 상수: $$\displaystyle K_{ij}=K_0\,\exp\!\bigl[\beta \; \frac{\;(m_i + m_j)}{2}\bigr]\bigl|\hat b_{ij}\cdot\hat n_{ij}\bigr|$$
   • 여기서 β는 결합수 증가에 따른 커플링 증폭률을 나타내는 무차원 상수로, Qaether 이론의 집단파동성과 연속 극한 복원을 위해 보통 0.03~0.08 범위에서 선택한다.
   • 결합수가 많아질수록 격자의 국소위상 동조가 강해지지만, β값이 과도하면 지나친 강결합·고체적 거동이 나타날수있으므로 적정범위를 유지한다.
4. 미분정의: A3의 미분 정의를 따른다.
5. 공변 루프 변수: $$\chi_\ell=\prod_{(ab)\in\ell}\chi_{ab}=\exp(i\Phi_{total})$$
6. 동역학 방정식
   • Qaether 셀 \(i\) 의 이산위상 \(\phi_i\) 동역학 방정식: $$I_i(m_i)\,\ddot\phi_i = \sum_{j\in\mathcal N(i)} [K_{ij} -\; \mathfrak{A}_s P_i(m_i)] \cdot \Im\chi_{ij} \; + \;\sum_{\ell \ni i}\frac{\Lambda_\ell}{N_\ell}\Im [\chi_\ell \cdot \chi_{i\ell}^*]$$
     
     • \(\mathfrak{I}\) 의 의미는 \(\exp\bigl(i\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\bigr)\)의 허수부분만 취한다는 뜻
     • \(K_{ij}\,\Im\chi_{ij}\):위상 결합 항\(\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}\)에 따른 기본 진동 커플링
     • \(N_\ell\): 루프에 포함된 셀 수(플라켓: 4, 트라이앵글릿: 3이다. 만약 8개 또는 12개로 확대된 플라켓이 만들어진다면 그 숫자를 여기에 포함해야한다)
     • \({L_\ell}\): 루프의 길이로 \(2l_pN_\ell\)이다. 즉, 플라켓은 \(8\,l_p\), Trianglet \(6\,l_p\)이다. 
     • \(\Lambda_\ell\): 루프가 Qaether 셀 위상에 되돌림 토크를 얼마나 강하게 걸어주느냐를 결정 (앞서 정의한 \({L_\ell}\)를 대입) $$\Lambda_\ell=\Lambda_0 \cdot ( {2\pi \hbar c}/{L_\ell}) =\Lambda_0 \cdot ( {\pi \hbar c}/{l_p N_\ell}) $$ 
   • Loop의 동역학방정식: $$M_\ell \ddot{\Phi}_\ell^{tot} = -U_\ell \Im \chi_\ell - \;\sum_{i \in \ell}\frac{\Lambda_\ell}{N_\ell}\Im [\chi_\ell \cdot \chi_{i\ell}^*] $$
     • \(M_\ell\)​: 루프 집단 관성 (둘레 길이 \(L_\ell\)에 비례)
     • \(U_\ell \sim \hbar \frac{2\pi c}{k\,L_\ell}\): 집단 위상모드 에너지
     • \(\chi_{i\ell}^* = \exp\bigl(-i \, \Delta \phi_{i\ell}^{\text{tot}}\bigr)\): 루프\(\ell\)과 셀\(i\)의 위상차 비교
   • Loop 기준 디렉방정식: $$\Bigl( \,i\,\gamma^{\circlearrowleft}\,\Delta^{(\phi)}_\ell -\;m_\ell \Bigr)\Psi_\ell \;=\;0$$
     • \(\Delta^{(\phi)}_\ell\)는 루프-평균 공변 차분(길이 차원).
     • \(m_\ell\) 는 A7-방법으로 얻은 루프 질량
     • \(\gamma^{\circlearrowleft}\) 는 루프 방향으로 정해진 유효 γ-행렬.
     • 루프 한 바퀴에서의 순(average) 위상 이동을 다음과 같이 정의한다. $$\Delta^{(\phi)}_\ell \;=\; \frac{1}{2l_p N_\ell}\; \sum_{(ab)\in\ell} \Im(\chi_{ab}) \quad \Bigl[\;\simeq\; \frac{1}{L_\ell}\; \Phi_\ell^{tot}\Bigr] $$
     • 루프 tangent \(\gamma\)-행렬 (\(\hat e_{ab}\): 링크 단위벡터) $$\gamma^{\circlearrowleft} \;=\; \frac{1}{N_\ell} \sum_{(ab)\in\ell} \hat e_{ab}^{\mu}\,\gamma_\mu$$ 
     • 특성 및 정합성

       항목	확인
       게이지 불변	\(\Im\chi_{ab}\) 합은 각 링크의 위상 차분이므로 U(1)·SU(3) 변환에 대해 불변.
       반정수 스핀 조건	\(\chi_\ell=e^{i\Phi_\ell^{tot}}\) 이 \(e^{i\pi}\)일 때(스피너릿) ⇒ \(\Delta^{(\phi)}_\ell=\pi/L_\ell\) ⇒ spin-½ 조건 그대로 유지.
       연속 극한	\(l_p\!\to\!0,\;N_\ell\!\to\!\infty\)에서 \(\Delta^{(\phi)}_\ell\to\hat t^\mu D_\mu\)가 되어 표준 \(\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi=m\Psi\) 로 수렴.