[v1.4] 기본가정 및 공리 - 색전하

A6. 색전하 (Color Charge) 정의: 기하학적 대칭의 위상수학(Topology)

1. 핵심 원리

• 색전하는 입자를 구성하는 2차원 면(Face)인 플라켓(Plaquette)의 위상차 순환열이 갖는 기하학적 대칭성(\(D_4\))의 파괴로부터 창발하는 위상적 속성이다.
• 즉, 색은 스칼라 값의 합이 아니라, 배열의 종류 그 자체를 가리키는 근본적인 분류 체계이다.
• 게이지 변환의 제한: 표준 SU(3) 게이지 이론에서는 모든 로컬 게이지 변환이 허용되어 순환열 라벨은 관측불변이 아니다. 그러나 Qaether 이론에서는 (i) 플라켓 위상합이 \(2\pi\)로 잠금된 섹터, (ii) 링크 위상차의 \(\pi/6\) 양자화라는 전제 때문에, 허용 가능한 게이지 변환군이 사실상 플라켓의 \(D_4\) 대칭과 원순환 재지정으로 축소된다. 이 제한된 게이지군 하에서만 3개의 순환열 동치류가 불변량으로 남아, 이를 색전하의 물리적 라벨로 정의한다. $$ U_{\square}=W(C_{\square}),\ \Theta_{\square}=\Theta_{C_{\square}}$$

2. 정의의 계층 구조

1단계: 근본 실체 - 플라켓의 위상차 순환열

• 색전하의 근원은 정팔면체를 구성하는 사각 플라켓과, 그 플라켓의 네 링크를 따라 측정된 위상 정수들의 순서 있는 배열(순환열)이다. 예: (0, 2, 4, 6)

2단계: 대칭성의 작용 - \(D_4\) 군과 동치류

• 정사각형의 대칭군인 \(D_4\) (8개의 회전 및 반사 연산)가 가능한 모든 순환열의 집합에 작용한다. 이때, 군론의 번사이드 보조정리에 의해 다음과 같은 사실이 수학적으로 증명된다.
• 플라켓의 네 위상 정수가 모두 다를 경우, 가능한 24개의 순환열은 \(D_4\) 대칭 작용에 의해 항상 정확히 3개의 서로 구별되는 그룹(궤도, Orbit)으로 나뉜다.
  • #(원순열) = 24, \(|D_4|\)=8 ⟹ #(궤도)=24/8=3
• 값이 중복되면 궤도 수는 \(3\to 2\to 1\)로 붕괴

3단계: 물리적 식별 - 궤도와 색의 대입

• Qaether 이론은 이 수학적 필연성을 물리적 현실과 직접 연결한다. 이 구별 가능한 3개의 궤도(동치류)가 바로 3가지의 색전하이다.
  • 궤도 1 (Orbit 1)   ⟺  Red
  • 궤도 2 (Orbit 2)   ⟺  Green
  • 궤도 3 (Orbit 3)   ⟺  Blue
• 이것은 SU(3) 리 대수의 기본 가중치 벡터 \(\{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}\)에 각각 매핑되어 완전한 수학적 구조를 갖추게 된다.

4단계: '정팔면체 = 유효쿼크' 구성

• 쿼크는 정팔면체(octahedron) 내부의 서로 직교하는 3개 플라켓 \(\{\ell_x,\ell_y,\ell_z\}\)를 서로 다른 궤도로 채워 입체 폐합(12개 모서리 일관성)이 되는 경우에만 정의한다.
• 실제로 전모서리 일관성을 만족하는 정합 세트는 (정팔면체의 전체 대칭까지 묶어) 딱 3세트만 존재하며, 이들을 맛(flavor) 라벨로 둔다:
  • \(u:\ (0,2,4,6),\quad d:\ (0,1,5,6),\quad s:\ (0,3,4,5).\)(세 궤도를 x·y·z에 1:1 배치. 반대쪽 면은 역순(orientation 반전)으로 고정.)

5단계: '색(color)' label = 포트 (port) 선택

• 정팔면체 내부 3면 중 단 하나만 외부 SU(3) 게이지와 결합(포트 on)한다고 규약한다.
  이 “포트 선택”이 \((r,g,b)\) 색 라벨을 결정한다.
  (즉, 동일한 정팔면체(동일 맛)라도 어느 면을 포트로 연결하느냐에 따라 색이 정해짐.)
• 반색(anti-color)은 해당 포트 면의 지향 반전(순환열 역방향)에 대응한다.

3. 이 정의의 강력한 결과

• 3가지 색의 필연성: 우주에 왜 3가지 색이 존재하는가? 시공간의 기본 단위인 사각 플라켓의 기하학적 대칭성(\(D_4\))이 허용하는 구별 가능한 상태의 종류가 수학적으로 3가지이기 때문이다.
• 색중성의 기원:
  • 바리온: 3개의 쿼크가 결합하여 바리온을 형성하는 것은, 서로 다른 3종류의 기하학적 구조(Red, Green, Blue 쿼크)가 하나로 합쳐져 외부에서 볼 때 완벽한 대칭을 이루는 것을 의미한다. 이는 벡터 합 \(\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0\)으로 표현된다.
  • 렙톤/보손: 이들은 애초에 삼각 루프나 대칭적인 사각 루프로 구성되어, '3개의 궤도'로 나뉘는 대칭성 파괴 현상 자체가 일어나지 않는다. 따라서 이들은 근본적으로 색중성입니다.
  • 메손: 포트가 반대 지향(반색)인 정팔면체-반정팔면체 쌍은 색이 상쇄되어 중성.
• 파울리 배타 원리의 구현: 두 개의 u-쿼크가 다른 색을 가진다는 것은, 두 쿼크가 동일한 맛과 전하를 가지더라도 그들을 구성하는 정팔면체의 플라켓 위상차 순환열이 서로 다른 \(D_4\) 궤도에 속한다는 것을 의미한다. 색은 이 기하학적 차이를 가리키는 꼬리표이다.
• 상호작용(글루온 교환)은 포트교환 + 내부 궤도 재배치로 모델링 가능 (색보존)