FCC 구조에서 사슬군과 경계사상 예제

사슬군과 경계사상 \(\partial_k\)이 실제로 어떻게 작동하는지 확인하기 위해 FCC 격자의 국소 단위체인 정팔면체(octahedron)를 예로 들어보자.

1. 정팔면체의 셀 구조

정팔면체는 다음으로 구성됩니다:

• 꼭짓점(0–셀): 6개
  \[
  V=\{\pm x,\pm y,\pm z\}
  \]
• 엣지(1–셀): 12개
  각 축 방향 쌍 사이를 잇는 선분들.
  예: \((+x,+y), (+x,-y), (+x,+z), (+x,-z), \dots\)
• 면(2–셀): 8개 삼각형
  예: \(T_{+x,+y,+z}\)는 꼭짓점 \(+x,+y,+z\)로 이루어진 삼각면.
• 체적(3–셀): 1개 (전체 정팔면체)

즉,
\[
C_0 = \mathbb Z^6,\quad
C_1 = \mathbb Z^{12},\quad
C_2 = \mathbb Z^{8},\quad
C_3 = \mathbb Z.
\]

 

2. 사슬군과 경계사상 흐름

계층은 다음처럼 연결됩니다:
\[
C_3
\xrightarrow{\partial_3}
C_2
\xrightarrow{\partial_2}
C_1
\xrightarrow{\partial_1}
C_0
\]

• \(\partial_3\): 체적의 경계 → 8개의 삼각면 합
• \(\partial_2\): 삼각면의 경계 → 3개의 엣지 합
• \(\partial_1\): 엣지의 경계 → 2개의 꼭짓점 차
• \(\partial_0=0\)

 

3. 실제 예시

하나씩 보자.

1. 3–사슬의 경계: \(\partial_3\)
   • 정팔면체 전체를 3–셀 (O)라 하면 \[ \partial_3(O) = T_{+x,+y,+z}+T_{+x,+z,-y}+T_{+x,-y,-z}+T_{+x,-z,+y}+T_{-x,+y,+z}+T_{-x,+z,-y}+T_{-x,-y,-z}+T_{-x,-z,+y} \]
   • 부호는 면의 법선 방향이 중심에서 바깥쪽으로 나가는지 들어가는지로 정함.
   • 즉, \(\partial_3 O\)는 “겉껍질 8개의 삼각면”을 의미.
2. 2–사슬의 경계: \(\partial_2\)
   • 예를 들어, 위 삼각면 \(T_{+x,+y,+z}\)의 경계는
   • 세 엣지로 이루어진 둘레: \[ \partial_2 T_{+x,+y,+z} = e_{(+x,+y)} + e_{(+y,+z)} + e_{(+z,+x)} \]
   • 즉, 면의 테두리가 세 엣지로 표현됩니다. (방향이 면의 순환방향과 반대면 부호가 바뀜.)
3. 1–사슬의 경계: \(\partial_1\)
   • 엣지 \(e_{(+x,+y)}\)는 꼭짓점 \(+x\)에서 \(+y\)로 향하는 방향이라면, \[ \partial_1 e_{(+x,+y)} = (+y) - (+x) \]
4. 연쇄 조건
   • 경계의 경계는 항상 0: \[ \partial_2(\partial_3 O) = 0, \quad \partial_1(\partial_2 T_{+x,+y,+z}) = 0 \]
   • 이는 “겉면의 둘레는 서로 붙어 상쇄된다”는 기하적 사실을 대수적으로 표현한 것.
   • 즉, \[ \boxed{\partial_1\circ\partial_2 = 0,\qquad \partial_2\circ\partial_3 = 0.} \]

 

4. 요약: 정팔면체의 사슬 계층

차수 \(k\)	사슬군 \(C_k\)	기본 생성 경계	\(\partial_k\)의 의미
3	\(\mathbb Z\)	전체 부피 (정팔면체 (O))	표면 8개 삼각면
2	\(\mathbb Z^8\)	삼각면 \(T_i\)	둘레 3개 엣지
1	\(\mathbb Z^{12}\)	엣지 \(e_j\)	끝점 두 정점의 차
0	\(\mathbb Z^{6}\)	정점 \(v_k\)	경계 없음

 

직관적으로 보면

• \(C_3\): 실체(부피)
• \(C_2\): 껍질(면들)
• \(C_1\): 껍질의 뼈대(엣지들)
• \(C_0\): 꼭짓점들

\(\partial_3\)는 껍질을 만들고,
\(\partial_2\)는 그 껍질의 테두리를 만들고,
\(\partial_1\)은 엣지의 끝점을 만든다.

결국 “경계의 경계는 없다” — 면을 한 바퀴 돌고 나면 시작점으로 돌아오기 때문.

 

이 구조를 FCC 격자의 octahedron 단위로 확장하면, 국소 체적(3–셀)의 경계는 8개의 삼각·사각 루프,
그 경계의 경계(엣지)는 0 — 즉 FCC의 사슬군도 동일한 위계 관계를 갖는다.