[v0.2] FCC 격자 루프 제약에 따른 링크 위상차의 양자화 증명

표기·가정 (공통)

• 정의: \(V\): 0-cell(Point), \(E\): 1-cell(Edge), \(F\): 2-cell(Surface)
• \( G=(V,E) \): FCC 최근접결합 그래프 (주기경계)
• \( F = \{삼각 (\Delta) \} ∪ \{사각 (\square) \}\):
  • 사면체의 삼각면 ( \(\Delta\) )
  • Octahedron의 사각면 ( \(\square\) ) — 대각 사각 루프
• 사슬군 및 경계사상
  \[
  C_2=\mathbb Z^F,\quad C_1=\mathbb Z^E,\quad \partial_2:C_2\to C_1.
  \]
• 각 링크 \( e\in E \)에 위상차 \( \phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z \).
  위상사상 \( \Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)는
  \[
  \Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0
  \]
  (모든 2–셀 경계의 위상합이 0).
• 한 엣지 \( e \)의 국소 스타에는 \( e\)를 포함하는 2–셀 6장:
  \[
  {\square_1,\square_2,\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4}.
  \]
  링크 \( Lk(e) \)는 정육각형 \( C_6 \), 그 1–셀을 \(\{ a_1,\dots,a_6 \}\) (반시계)로 둔다.
• 각 2–셀의 방향은 \( e \)-행의 경계계수를 모두 \( +1 \)로 잡을 수 있다 (부호 반전 자유).
• 서로 직교하는 세 사각면 \( S_x,S_y,S_z \)가 이루는 Octahedron 2–사슬의 경계합이 0이면,
  세 사각면의 위상차는 서로 다르고 합이 \( \pm2\pi \)이다.

 

1) 코사이클 유도 (Well-definedness)

가정 \( \Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \)으로부터,
몫군 \( A:=C_1/\operatorname{im}\partial_2 \)에 대해
\[
\overline\Phi([c]) := \Phi(c),\quad c\in C_1
\]
를 정의하면 대표 선택에 무관하다.
실제로 \( c-c'=\partial_2Z \Rightarrow \Phi(c)-\Phi(c')=\Phi(\partial_2Z)=0 \).
따라서 \( \overline\Phi:A\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)가 잘 정의된다.

 

2) 양자화 조건

\( [e]\in A \)의 차수가 \( n=\operatorname{ord}([e])<\infty \)라면
\( n[e]=0 \Rightarrow \exists Z\in C_2 : \partial_2Z=ne \).
그럼
\[
n\phi_e=\Phi(ne)=\Phi(\partial_2Z)=0\ (\bmod 2\pi),
\]
즉
\[
\phi_e\in\frac{2\pi}{n}\mathbb Z\ (\bmod 2\pi)
=\frac{2\pi}{\operatorname{ord}([e])}\mathbb Z\ (\bmod 2\pi).
\]

 

3) 최소성과 존재성 (한 엣지 \( e \) 고정)

핵심은
(1) 국소 경계행렬의 정수선형대수적 구조로부터 최소성을,
(2) 국소 회전 대칭을 이용한 명시적 구성으로 존재성을 증명하는 것이다.

 

3–A) 존재성: \( \exists Z^* \text{ s.t. } \partial_2Z^*=12e \)

국소 부호 약속.
링크 \( C_6 \)의 1–셀을 \( a_1,\dots,a_6 \) (반시계)라 하고,
사각면은 마주보는 링크엣지를, 삼각면은 인접한 두 엣지를 잇는다.

각 2–셀의 경계 (\(C_1\)에서 합, 계수 ±1):

• 사각 두 장
  \[\partial_2Q_1=e+(a_1-a_4)+(\text{원거리변}),\quad \partial_2Q_2=e+(a_2-a_5)+(\text{원거리변}) \]
• 삼각 네 장
  $$ \partial_2 \Delta_1 =e+(a_2-a_1),$$ $$\partial_2\Delta_2 =e+(a_4-a_3),$$ $$\partial_2\Delta_3 =e+(a_6-a_5),$$ $$\partial_2\Delta_4 =e+(a_3-a_6)$$

(1) 꽃잎 구성:
\[
P:=Q_1+\Delta_1-\Delta_2
\Rightarrow \partial_2P=e+(a_2+a_3-2a_4)+(\text{상쇄항}).
\]
따라서 \( e \)-계수는 +1.

(2) 두 배 꽃잎:
\( P':=P+Q_2 \Rightarrow \partial_2P'=2e+\dots \).

(3) 회전 평균:
링크 회전 \( R:a_i\mapsto a_{i+1} \)에 대해
\[
Z^:=\sum_{j=0}^{5}R^j(P').
\]
모든 링크엣지 \( a_i \)는 반대부호 쌍으로 상쇄되고,
\[
\partial_2Z^=\sum_{j=0}^5R^j(2e)=12e.
\]
즉, 실제로 \( \partial_2Z^=12e \)를 만족하는 \( Z^* \)가 구성적으로 존재한다. 

 

3–B) 최소성: \( \partial_2Z=ke \Rightarrow 12\mid k \)

(i) \( \mathbb Z/12 \)-값 1–코사이클 불변량

1–코체인 \( \omega\in C^1(G;\mathbb Z/12) \)을 다음과 같이 둔다.
\[
\omega(e)=1,\quad \omega(a_i)=2i\ (\text{mod }12),\ i=1,\dots,6,
\]
그 외 엣지에는 0.
면별로 \(\langle\delta\omega,f\rangle=0\)임을 확인할 수 있다.
따라서 모든 \( Z\in C_2 \)에 대해
\[
\langle\omega,\partial_2Z\rangle=\langle\delta\omega,Z\rangle=0\quad(\bmod 12).
\]
\(\partial_2Z=ke\)이면 \(\langle\omega,\partial_2Z\rangle=k\pmod{12}\),
즉 \( k\equiv0\ (\bmod 12) \).
결과적으로 \(\operatorname{ord}([e])=12\). 

 

(ii) Smith 정규형(SNF)

국소 기저
\[
C_2^{\mathrm{loc}}=\mathbb Z\langle Q_1,Q_2,\Delta_1,\dots,\Delta_4\rangle,\quad
C_1^{\mathrm{loc}}=\mathbb Z\langle e,a_1,\dots,a_6\rangle.
\]

경계행렬 \( B\in\mathbb Z^{7\times6} \):

• 각 열의 \( e \)-행 계수는 +1,
• 링크행은 \( (a_i-a_{i+1}) \)형 혹은 \( (a_i-a_{i+3}) \)형.

한 \( 6\times6 \) 소행렬의 행렬식은
삼각 네 열이 만드는 6–순환 차분블록\((|\det|=6)\)과
사각 두 열의 대각차분\((|\det|=2)\)의 곱으로 \(|\det|=12\).
다른 모든 소행렬도 12의 배수이므로
\[
\operatorname{coker}(\partial_2^{\mathrm{loc}})\cong\mathbb Z/12\mathbb Z,\quad
\operatorname{ord}([e])=12.
\]
따라서 \(\partial_2Z=ke\Rightarrow12\mid k.\) 

 

결론

1. \( \Phi \)는 몫군 \( A=C_1/\operatorname{im}\partial_2 \)로 잘 내려간다.
2. \( [e] \)의 차수가 \( n \)이면
   \( \phi_e\in(2\pi/n)\mathbb Z\ (\bmod 2\pi). \)
3. \( \partial_2Z=ke \Rightarrow 12\mid k \) (최소성),
   실제로 \( \exists Z^: \partial_2Z^=12e \) (존재성).

\[
\boxed{
\operatorname{ord}([e])=12,\quad
\partial_2Z=ke\iff12\mid k,\quad
\exists Z^:\partial_2Z^=12e.
}
\]