[v0.2] FCC 격자 루프 제약에 따른 링크 위상차의 양자화 증명

0. 표기·가정 (공통)

• \( G=(V,E) \): FCC 최근접결합 그래프 (주기경계).
• 2–셀 \( F \):
  • 사면체의 삼각면 ( \(\Delta\) )
  • octahedron의 사각면 ( \(Q\) ) — 대각 사각 루프.
• 사슬군 및 경계사상
  \[
  C_2=\mathbb Z^F,\quad C_1=\mathbb Z^E,\quad \partial_2:C_2\to C_1.
  \]
• 각 링크 \( e\in E \)에 위상차 \( \phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)라고 하면 위상사상 \( \Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)는
  \[
  \Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \quad \text{ (모든 2–셀 경계의 위상합이 0) }
  \]
• 한 엣지 \( e \)의 국소 스타에는 \( e \)를 포함하는 2–셀 6장:
  \[
  {Q_1,Q_2,\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4}.
  \]
  링크 \( Lk(e) \)는 정육각형 \( C_6 \), 그 1–셀을 \( a_1,\dots,a_6 \) (반시계)로 둔다.
• 각 2–셀의 방향은 \( e \)-행의 경계계수를 모두 \( +1 \)로 잡을 수 있다 (부호 반전 자유).

 

1. 코사이클 유도

• 가정 \( \Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \)으로부터, 몫군 \( A:=C_1/\operatorname{im}\partial_2 \)에 대해 다음과 같이 정의하면 대표 선택에 무관하다.
  \[
  \overline\Phi([c]) := \Phi(c),\quad c\in C_1
  \]
• 실제로 \( c-c'=\partial_2Z \Rightarrow \Phi(c)-\Phi(c')=\Phi(\partial_2Z)=0 \). 따라서 \( \overline\Phi:A\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)가 잘 정의된다. 

 

2. 양자화 조건

• \( [e]\in A \)의 차수가 \( n=\operatorname{ord}([e])<\infty \)라면 \( n[e]=0 \Rightarrow \exists Z\in C_2 : \partial_2Z=ne \).
• 그러면
  \[
  n\phi_e=\Phi(ne)=\Phi(\partial_2Z)=0\ (\bmod 2\pi),
  \]
  즉
  \[
  \phi_e\in\frac{2\pi}{n}\mathbb Z\ (\bmod 2\pi)
  =\frac{2\pi}{\operatorname{ord}([e])}\mathbb Z\ (\bmod 2\pi).
  \]

 

3. 최소성과 존재성 (한 엣지 \( e \) 고정)

마지막으로 국소 경계행렬의 정수선형대수적 구조로부터 최소성을, 국소 회전 대칭을 이용한 명시적 구성으로 존재성을 증명해야 한다.

A) 존재성: \( \exists Z^ * : \partial_2Z^*=12e \)

• 국소 부호 약속: 링크 \( C_6 \)의 1–셀을 \(\{ a_1,\dots,a_6 \} \) (반시계)라 하고, 사각면은 마주보는 링크엣지를, 삼각면은 인접한 두 엣지를 잇는다.
• 각 2–셀의 경계 (C₁에서 합, 계수 ±1):
  • 사각 두 장
    \[
    \partial_2Q_1=e+(a_1-a_4)+(\text{원거리변}),\quad
    \partial_2Q_2=e+(a_2-a_5)+(\text{원거리변})
    \]
  • 삼각 네 장
    \[
    \begin{aligned}
    \partial_2\Delta_1&=e+(a_2-a_1),\\
    \partial_2\Delta_2&=e+(a_4-a_3),\\
    \partial_2\Delta_3&=e+(a_6-a_5),\\
    \partial_2\Delta_4&=e+(a_3-a_6)
    \end{aligned}
    \]

(1) 꽃잎 구성:
\[
P:=Q_1+\Delta_1-\Delta_2
\Rightarrow \partial_2P=e+(a_2+a_3-2a_4)+(\text{상쇄항})
\]
따라서 \( e \)-계수는 +1

(2) 두 배 꽃잎:
\[ P':=P+Q_2 \Rightarrow \partial_2P'=2e+\dots \]

(3) 회전 평균:
링크 회전 \( R:a_i\mapsto a_{i+1} \)에 대해
\[
Z^*:=\sum_{j=0}^{5}R^j(P')
\]
모든 링크엣지 \( a_i \)는 반대부호 쌍으로 상쇄되고,
\[
\partial_2Z^*=\sum_{j=0}^5R^j(2e)=12e
\]
즉, 실제로 \( \partial_2Z^*=12e \)를 만족하는 \( Z^* \)가 구성적으로 존재한다. 

 

B) 최소성: \(\partial_2 Z=ke \Rightarrow 12\mid k\)

설정

• 엣지 \(e\)를 고정한다. \(e\)를 포함하는 2–셀 여섯 장을 \((Q_1,Q_2,\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4)\), 링크 \(C_6\)의 1–셀을 \((a_1,\dots,a_6)\)라 한다.
• 각 2–셀의 경계는 
  • \(e\)-행 계수: 모두 \(+1\),
  • 링크행: \(\Delta\)는 \((a_i-a_{i+1})\)형, \(Q\)는 \((a_i-a_{i+3})\)형,
  • \(Q_1,Q_2\)에는 링크 밖 “원거리변(far)” 항이 추가된다.
• 임의의 정수계수 \(x=(x_{Q_1},x_{Q_2},x_{\Delta_1},\dots,x_{\Delta_4})\)에 대해

\[
\partial_2 \Big(\sum x_\bullet(\text{해당 2–셀})\Big)
= ke+\text{(링크항)}+\text{(원거리변항)},\qquad
k=\sum x_\bullet
\]

1단계: 링크항 소거 \(\Rightarrow 4\mid k\)

• 링크엣지 \(a_i\)들의 계수가 0이 되도록 하는 정수해를 링크방정식만 놓고 풀면,
  \[
  (x_{Q_1},x_{Q_2},x_{\Delta_1},x_{\Delta_2},x_{\Delta_3},x_{\Delta_4})
  =(t,-t,t,t,t,t),\quad t\in\mathbb Z.
  \]
• 따라서
  \[
  k=\sum x_\bullet=t+(-t)+t+t+t+t=4t \ \Rightarrow\ \boxed{4\mid k}
  \]

2단계: 원거리변 소거 \(\Rightarrow 3\mid t\)

• 사상
  \[
  \pi_{\mathrm{far}}:C_1\longrightarrow C_1/\langle e,a_1,\dots,a_6\rangle
  \]
  로 링크와 \(e\)를 mod-out하면,
• \(\pi_{\mathrm{far}}(\mathrm{im},\partial_2^{\mathrm{loc}})\)은 원거리변 3개의 회전 궤도 \((\Gamma_x,\Gamma_y,\Gamma_z)\)에 대해
  \[
  \pi_{\mathrm{far}}(\mathrm{im},\partial_2^{\mathrm{loc}})=
  {(u_x,u_y,u_z)\in\mathbb Z^3\mid u_x+u_y+u_z=0}
  \]
  의 지표 \(3\) 아격자를 이룬다.
• 1단계 해 \((t,-t,t,t,t,t)\)를 대입하면 남는 원거리변 벡터는 \((t,t,t)\) 꼴이므로 이것이 위 평면에 속하려면
  \[
  t+t+t=0 \ \ (\bmod\ 0) \ \Rightarrow\ \boxed{3\mid t}
  \]

섹터결론

1단계에서 \(k=4t\), 2단계에서 \(3\mid t\)이므로
\[
\boxed{12\mid k}
\]
또한 \(\partial_2 Z^*=12e\)의 구성이 존재하므로, 최소배수는 정확히 \(12\)다.

4. 결론

1. \( \Phi \)는 몫군 \( A=C_1/\operatorname{im}\partial_2 \)로 잘 내려간다.
2. \( [e] \)의 차수가 \( n \)이면
   \( \phi_e\in(2\pi/n)\mathbb Z\ (\bmod 2\pi). \)
3. \( \partial_2Z=ke \Rightarrow 12\mid k \) (최소성),
   실제로 \( \exists Z^*: \partial_2Z^*=12e \) (존재성)

\[
\boxed{
\operatorname{ord}([e])=12,\quad
\partial_2Z=ke\iff12\mid k,\quad
\exists Z^*:\partial_2Z^*=12e.
}
\]