[v0.1] 플라켓 위상 패턴의 D₄ 대칭 분석

* 앞서 이 문제는 https://qaether.tistory.com/entry/v12 에서 풀이했지만 완전히 수학적으로만 정의하고자 다시 여기서 정리한다.

 

[문제]

앞서 유도한 링크의 위상차 양자화 조건을 바탕으로 어떤 플라켓의 링크 4개의 위상차를 \((a,b,c,d)\) 로 표현하고 \(a,b,c,d\) 는 모두 다르다고 하자. 궤도 대칭과 반사 대칭은 같은 조합으로 본다고 했을때 \(a,b,c,d\)  4개 요소를 모두 써서 만들 수 있는 조합은 몇개인지 번사이드 정리 이용해서 풀어보자.

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[풀이]

플라켓 4자리에 서로 다른 \((a,b,c,d)\)를 모두 한 번씩 배치한다고 하고, 회전(궤도 대칭)과 반사 대칭을 같은 조합으로 보겠습니다. 즉 정사각형의 이면군 \(D_4\) (원소 8개)가 작용하는 배치의 궤수(orbit 수)를 번사이드 정리로 셉니다.

번사이드 정리

\[
\#(\text{궤수})=\frac{1}{|D_4|}\sum_{g\in D_4}\mathrm{Fix}(g),
\]
여기서 \(\mathrm{Fix}(g)\)는 대칭 \(g\)가 고정시키는 배치 수입니다.

배치의 전체 경우는 \(4!=24\).

• 항등원 (e): 모든 배치를 고정 ⇒ \(\mathrm{Fix}(e)=24\).
• 90°/270° 회전(2개): 4-순환이라 서로 다른 네 색을 모두 같게 해야 고정되지만 불가 ⇒ \(\mathrm{Fix}=0\).
• 180° 회전(1개): 두 쌍(서로 마주보는 자리)이 같아야 고정인데 네 색이 모두 달라 불가 ⇒ \(\mathrm{Fix}=0\).
• 반사(4개): 각 반사는 한 쌍 또는 두 쌍의 자리를 서로 교환하므로 교환되는 자리들이 같아야 하는데 모두 다른 색이라 불가 ⇒ \(\mathrm{Fix}=0\).

따라서
\[
\#(\text{궤수})
=\frac{1}{8}\big(24+0+0+0\big)
=\boxed{3}.
\]

즉, 회전·반사 대칭을 같게 볼 때 \((a,b,c,d)\)의 배치 유형은 3가지뿐입니다. (원형배치의 서로 다른 순서 수 \((4-1)!/2=3\)과도 일치합니다.)

D4.pdf

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