[v0.1] From Octahedral Phase Combinations to the SU(3) Weight Lattice

14개 조합 → (a,b,c) 벡터화 → Cartan( \(T_3,T_8\) ) 투영 → 기본가중치 (\(\omega_1,\omega_2\)) 기저 좌표 순서로 정리됨.

1) 14개 정팔면체 결합 가능 조합

플라켓 네 값 중 \(0\)을 공통으로 포함하므로, 나머지 세 값만 (\(a,b,c\))로 본다. 합 조건에 따라 두 묶음.

합 ≡ 0 (mod 12) — 11개

\begin{aligned}
&(-5,-4,-3),(-5,-1,6),(-5,1,4),(-5,2,3)\\
&(-4,-2,6),(-4,-1,5),(-4,1,3)\\
&(-3,-2,5),(-3,-1,4),(-3,1,2)\\
&(-2,-1,3).
\end{aligned}

합 ≡ 12 (mod 12) — 3개

\[
(1,5,6),(2,4,6),(3,4,5).
\]

2) RGB 기저로 벡터화

\(R=(1,0,0),G=(0,1,0),B=(0,0,1)\)라 하고
\[
v=aR+bG+cB\quad(\text{각 조합의 }(a,b,c)).
\]
즉, 위 14개의 \((a,b,c)\)가 그대로 \(v\)의 좌표다.

3) Cartan(표준 대각 생성자) 좌표로 투영

SU(3)에서
\[
T_3=\tfrac12\mathrm{diag}(1,-1,0),\qquad
T_8=\tfrac1{2\sqrt3}\mathrm{diag}(1,1,-2).
\]
RGB 좌표 (\(a,b,c\))에 대해
\[
\boxed{ t_3=\tfrac{a-b}{2} \qquad t_8=\tfrac{a+b-2c}{2\sqrt3}}.
\]

14개 각각의 (\(t_3,t_8\)):

• 합 ≡ 0 쪽
  (\(-5,-4,-3) \to (-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\)),
  (\(-5,-1,6) \to (-2,-3\sqrt3)\),
  (\(-5,1,4) \to (-3,-2\sqrt3)\),
  (\(-5,2,3) \to (-\tfrac72,-\tfrac{3\sqrt3}{2})\),
  (\(-4,-2,6)\to(-1,-3\sqrt3)\),
  (\(-4,-1,5)\to(-\tfrac32,-\tfrac{5\sqrt3}{2})\),
  (\(-4,1,3)\to(-\tfrac52,-\tfrac{3\sqrt3}{2})\),
  (\(-3,-2,5)\to(-\tfrac12,-\tfrac{5\sqrt3}{2})\),
  (\(-3,-1,4)\to(-1,-2\sqrt3)\),
  (\(-3,1,2)\to(-2,-\sqrt3)\),
  (\(-2,-1,3)\to(-\tfrac12,-\tfrac{3\sqrt3}{2})\).
• 합 ≡ 12 쪽
  (\(1,5,6)\to(-2,-\sqrt3)\),
  (\(2,4,6)\to(-1,-\sqrt3)\),
  (\(3,4,5) \to (-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2})\).

겹침 관찰: (\(-3,1,2\))와 (\(1,5,6\))는 동일한 (\(-2,-\sqrt3\)),
(\(-5,-4,-3\))와 (\(3,4,5\))는 동일한 (\(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\)).

4) 기본가중치 (\(\omega_1,\omega_2\)) 기저로 변환

\[
\omega_1=\Big(\tfrac12,\tfrac{1}{2\sqrt3}\Big),\qquad
\omega_2=\Big(0,\tfrac{1}{\sqrt3}\Big).
\]
임의의 \(v=(t_3,t_8)\)를
\[
v=x \omega_1+y \omega_2
\]
로 쓸 때의 계수는
\[
\boxed{ x=2t_3, \qquad y=\sqrt3 t_8-t_3 }.
\]

이를 14개에 적용한 (\(x,y\)) (정수 좌표):

• 합 ≡ 0 쪽
  \((-5,-4,-3)\to(-1,-1)\)
  \((-5,-1,6)\to(-4,-7)\)
  \((-5,1,4)\to(-6,-3)\)
  \((-5,2,3)\to(-7,-1)\)
  \((-4,-2,6)\to(-2,-8)\)
  \((-4,-1,5)\to(-3,-6)\)
  \((-4,1,3)\to(-5,-2)\)
  \((-3,-2,5)\to(-1,-7)\)
  \((-3,-1,4)\to(-2,-5)\)
  \((-3,1,2)\to(-4,-1)\)
  \((-2,-1,3)\to(-1,-4)\)
• 합 ≡ 12 쪽
  \((1,5,6)\to(-4,-1)\)
  \((2,4,6)\to(-2,-2)\)
  \((3,4,5)\to(-1,-1)\)

겹침(동일 좌표):
\((-3,1,2)\)와 \((1,5,6)\) → \((-4,-1)\),
\((-5,-4,-3)\)와 \((3,4,5)\) → \((-1,-1)\).

5) 요약 메모

• 모든 점이 기본가중치 격자 \(\mathbb Z\omega_1\oplus\mathbb Z\omega_2\)의 정수점으로 깨끗하게 정리된다.
• \(t_8\)가 \(-\tfrac{k\sqrt3}{2}\) 꼴\((k=1,\dots,6)\)로만 나오므로, Cartan 평면에서 수직 방향(하이퍼차지)의 양자화 간격이 일정하다.
• “합 ≡ 0” 11개와 “합 ≡ 12” 3개가 기본가중치 평면에서도 자연스럽게 섞이되, 일부는 정확히 같은 격자점으로 중복 매핑된다.

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