Qaether 연구일지

1. 질량의 기하학적 정의Qaether 이론에서 질량은 힉스(Higgs) 진공의 기대값이 아니라, 격자 기하학적 비용(cost)으로 정의된다. 이는 다음 두 항의 합으로 주어진다:유효 압력 ($P_{\text{eff}}$)플라켓(plaquette), 정사면체, 정팔면체 등의 위상 패턴이 국소적 정합성(flatness)을 얼마나 강하게 깨는지에 대한 비용이다.패턴의 대칭성 형태에 따라 비용이 결정된다 (예: 4-equal → 최소 비용, 2+2 → 중간, 1+1+1+1 → 최대 비용).결합 에너지 ($E_{\text{bind}}$)해당 자유도가 주변 네트워크(SU(3) 색전하, SU(2)$_L$ 약작용)에 결합될 때 발생하는 국소 비틀림 및 응력 비용이다.따라서 질량은 다음과 같이 표현된다:$$m \sim..

0. 목표 (비공식 진술)보이고 싶은 것은 다음과 같다.정리 (비공식)Qaether 이론에서 사용하는링크 위상 $\theta_\ell = \frac{\pi}{6}k_\ell$ ($k_\ell\in\mathbb Z_{12}$)플라켓 닫힘 조건 (flatness)국소 게이지 변환으로 정의된 “게이지 sector”가, 표준 $\mathbb Z_{12}$ lattice gauge theory (LGT)의 링크 변수, $\mathbb Z_{12}$ 게이지군, Wilson-type 국소 해밀토니안과 상태공간(구성 공간), 게이지군 작용과 gauge orbit, 국소 해밀토니안 및 윌슨 루프 관측량의 수준에서 동형이라는 것을 보인다.단, 여기서 동형성은 “zero-flux(flat) 섹터”에 대한 진술이며, 일반적 ..

1. 힐베르트 공간과 기본 연산자(1) 링크 자유도각 edge $e$마다 힐베르트 공간은 다음과 같이 정의된다.$$\mathcal H_e = \mathrm{span}{ |k_e\rangle \mid k_e \in \mathbb Z_{12} }$$전체 시스템의 총 힐베르트 공간은 모든 edge 공간의 텐서곱이다.$$\mathcal H = \bigotimes_{e\in E}\mathcal H_e$$각 링크에 대해 $Z_{12}$ clock/shift 연산자를 도입한다.$$Z_e |k_e\rangle = \exp\left(\frac{2\pi i}{12}k_e\right) |k_e\rangle, \qquadX_e |k_e\rangle = |k_e+1 \pmod{12}\rangle$$두 연산자 사이의 교환 관계(..

여기에서는 표준모형의 chiral 구조를 다음과 같이 Qaether 격자 위상에서 정확하게 구현해보려고 한다.\[\psi_L,\ \psi_R,\qquad\Gamma_5\psi_{L/R}=\mp\psi_{L/R}\]핵심 아이디어는 다음과 같다:FCC 격자의 정팔면체 중심들은 스스로 2-colorable bipartite graph를 이룬다.이 bipartition(A/B)이 곧 좌·우 chirality의 Z₂ 구조가 된다.이 chirality는 색전하 κ, 전하공액 C, 전하 Q, 이소스핀 T₃, 하이퍼전하 Y 모두와 독립적이며 교환한다.아래에서 이를 엄밀히 정식화한다. 13.1 FCC dual complex의 2-색칠 (A/B bipartition)FCC 정팔면체–정사면체 타일링에서 정팔면체 중심들의 집..

9. 전하 \(Q\), 이소스핀 \(T_3\), 하이퍼전하 \(Y\)의 통합 정의색전하 \(\kappa\)와는 독립적으로, 각 플라켓 모드(쿼크/렙톤)에 대해 전하 \(Q\), 이소스핀 \(T_3\), 하이퍼전하 \(Y\)를 정의한다.(a) 전하 단위전자기 전하 대신\[q_0 := \frac{e}{2}\]를 기준 단위로 쓰고, 다음과 같이 둔다.\[\hat Q := \frac{2Q}{e},\qquad Q = \frac{e}{2}\hat Q\](b) 표준모형 관계식의 재정식화\[Q = T_3 + \frac{Y}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad\hat Q = 2T_3 + Y\quad\Longleftrightarrow\quadY = \hat Q - 2T_3.\]따라서 모든 Qaethe..

1. 대칭 작용과 “색 후보”의 조합학정의 1 (원순열 공간과 \(D_4\) 작용)다음을 한 플라켓의 지향된 원순열들의 집합이라 하자.\[\mathcal W=\{w=[k_1,k_2,k_3,k_4]\ |\ k_i\in\mathbb Z_{12},\ \sum_{i=1}^4 k_i\equiv 0\pmod{12}\}\]시작점 변경은 순환시프트로 본다. 이는 정사각형의 회전에 해당하므 \(D_4\) 회전 부분군에 포함된다. \[[k_1,k_2,k_3,k_4]\sim[k_2,k_3,k_4,k_1]\sim\cdots\]정사각형의 이면대칭군 \(D_4\)가 회전·반사로 지표를 치환하여 \(\mathcal W\)에 작용한다고 하자. 즉, 각 \(g\in D_4\)는 어떤 순열 \(\sigma_g\in S_4\)를 통해 다..