[v1.9] 시간·광자·루프 모델링 - New type

0. 목표(요약)

Qaether 격자(Rest Frame)를 기준계로 두고, 시간은 Planck 틱(Tick)으로 양자화한다. 광자는 링크를 따라 전파하되, 특정 사이트에서 “루프-허용 결함”이 존재하면 확률적으로 루프에 체류(dwell)한 뒤 탈출한다.
그 결과 (A: 주파수 독립 탈출확률 $p$) 가정 하에서 평균 도착시간이 닫힌 형식(closed-form)으로 계산되고, 거시적으로는 굴절률 $n_{\rm eff}$를 가진 매질처럼 동작하며, 도플러 효과는 매질 도플러 법칙을 따른다.

 

1. 공리 (Axioms)

공리 A0 (Planck 단위와 Qaether 시계)

기본 길이·시간 단위 $l_p, t_p$가 존재하며 다음을 정의한다.
$$ \omega_p := \frac{2\pi}{t_p}, \qquad c := \frac{l_p}{t_p} $$
Qaether의 시간은 전역 위상 $\theta(t)=\omega_p t \pmod{2\pi}$의 진행으로 정의되며, 한 틱은 $\Delta t=t_p$이다.

공리 A1 (격자와 특권 기준계)

공간은 그래프 $G=(V,E)$ (격자)로 모델링되며, 격자 Rest Frame을 물리적 기준계로 채택한다.
이 기준계에서 “속도·주파수·도착시간” 등의 관측량을 정의한다. (즉, 본 모형은 진공 로런츠 대칭을 기본 공리로 두지 않고, 매질/에테르형 프레임을 허용한다.)

공리 A2 (광자 기본 전파 규칙)

루프 상호작용이 없을 때 광자는 링크를 따라 전파하며,

• 링크 1개 이동 거리: $l_p$
• 링크 1개 이동 시간: $t_p$

따라서 기본 전파속도는 $c=l_p/t_p$이다.

공리 A3 (루프-허용 결함과 루프 지연)

어떤 사이트 $s \in V$에서 “루프-허용 조건”이 성립하면(예: 해당 플라켓 홀로노미가 $U_p(s)=\pm I$ 중 지정된 채널을 열 때), 광자는 그 사이트에서 다음 중 하나를 수행한다.

1. (pass) 루프 없이 진행하거나,
2. (loop) 둘레 $4l_p$의 플라켓 루프를 한 바퀴 돈 뒤 진행한다.

루프 1회전의 추가 이동거리와 추가 시간은 각각 다음과 같다.
$$ \Delta L_{\rm loop} = 4l_p, \qquad T_{\rm loop} = 4t_p = \frac{4l_p}{c} $$

공리 A4 (단위성: 2채널 산란)

루프-허용 결함에서의 미시 과정은 “진행(탈출) 채널”과 “잔류(루프) 채널”의 2채널 산란으로 모델링되며, 단위성(Unitarity)에 의해 다음을 만족하는 복소 진폭쌍 $(t,r)$이 존재한다.
$$ |t|^2 + |r|^2 = 1 $$
여기서 “탈출확률” $p$를 다음과 같이 정의한다.
$$ p := |t|^2 \in (0,1], \qquad 1-p := |r|^2 $$

가정 A (주파수 독립·기억 없음)

(A) 확률 $p$는 해당 결함에서 상수이며 광자의 주파수 $\omega$에 의존하지 않는다.
(B) 루프를 한 바퀴 돈 뒤의 상태는 효과적으로 위상 혼합/디코히런스되어, “매 회전 후 독립적으로 탈출을 시도”하는 기억 없는(memoryless) 확률 모형으로 취급 가능하다.

 

해석: (i) 단위적 산란(진폭)과 (ii) 위상 혼합 또는 관측의 Coarse-graining을 통해 확률 모형을 정당화한다.

 

2. 정의 (Definitions)

정의 D1 (기본 관측 구간 길이)

관측을 위한 기본 구간(한 이벤트의 순변위)을 다음과 같이 고정한다. (링크 2개 전진)
$$ \boxed{L := 2l_p} $$

정의 D2 (루프 횟수와 가중치)

루프 횟수를 $m=0, 1, 2, \dots$로 두고, 공리 A4 및 가정 A에 의해 “\(m\)번 루프 후 탈출”할 확률 $w_m$을 정의한다. (기하분포)
$$ \boxed{w_m := (1-p)^m p} $$

정의 D3 (조건부 도착시간)

기본 구간 $L=2l_p$를 완료하는 데 루프를 $m$번 수행했다고 할 때의 도착시간 $\tau_m$을 정의한다.
$$ \tau_m := \frac{L + 4l_p m}{c} = \frac{2l_p + 4l_p m}{c} = 2(2m+1)t_p $$
$$ \boxed{\tau_m = 2(2m+1)t_p} $$

정의 D4 (측정 프로토콜: 도착시간 기반 속도)

관측 속도는 “평균 도착시간”을 기준으로 정의한다.
$$ \boxed{ \mathbb{E}[\tau] := \sum_{m \ge 0} \tau_m w_m, \qquad v_{\rm eff} := \frac{L}{\mathbb{E}[\tau]} } $$
즉 속도는 “거리/평균시간”으로 정의되며, 속도의 산술평균 $\sum w_m(L/\tau_m)$을 채택하지 않는다.

정의 D5 (도플러에서의 속도 성분)

파(광자 패킷)가 진행하는 단위방향을 $\hat{n}$이라 하고, 격자 Rest Frame에서 소스와 관측자의 속도 성분을 정의한다.
$$ u_s := \mathbf{u}_s \cdot \hat{n}, \qquad u_o := \mathbf{u}_o \cdot \hat{n} $$
(부호 규약: $u>0$이면 파 진행 방향으로 이동)

 

3. 정리(Theorems)·증명(Proofs)

정리 T1 (가중치 정상화)

$$ \sum_{m=0}^{\infty} w_m = 1 $$
(증명) $\sum_{m \ge 0} (1-p)^m p = p \cdot \frac{1}{1-(1-p)} = 1$. (끝)

정리 T2 (평균 도착시간)

$$ \boxed{ \mathbb{E}[\tau] = 2t_p \frac{2-p}{p} } $$
(증명)
$$ \mathbb{E}[\tau] = \sum_{m \ge 0} 2(2m+1)t_p (1-p)^m p = 2t_p \sum_{m \ge 0} (2m+1)w_m $$
기하분포에서 $\mathbb{E}[m] = \frac{1-p}{p}$이므로,
$$ \sum (2m+1)w_m = 2\mathbb{E}[m] + 1 = 2\frac{1-p}{p} + 1 = \frac{2-p}{p} $$
따라서 $\mathbb{E}[\tau] = 2t_p \frac{2-p}{p}$이다. (끝)

정리 T3 (유효 속도 폐형식 및 인과성)

$$ \boxed{ v_{\rm eff} = c \frac{p}{2-p}, \qquad 0 < p \le 1 \Rightarrow 0 < v_{\rm eff} \le c } $$
(증명) 정의 D4와 정리 T2를 이용:
$$ v_{\rm eff} = \frac{L}{\mathbb{E}[\tau]} = \frac{2l_p}{2t_p \frac{2-p}{p}} = \frac{l_p/t_p}{\frac{2-p}{p}} = c \frac{p}{2-p} $$
$0 < p \le 1$이면 $2-p \in [1, 2)$이므로 $0 < v_{\rm eff} \le c$가 성립한다. (끝)

정리 T4 (도플러 정리: 매질 도플러 with $v_{\rm eff}$)

가정 A(주파수 독립) 하에서 광자 패킷은 격자 Rest Frame에서 속도 $v_{\rm eff}$로 전파하는 “매질 파동”과 동등하다.
따라서 격자 기준계에서 방출 주파수 $f_{\rm emit}$와 관측 주파수 $f_{\rm obs}$는 다음을 만족한다.
$$ \boxed{ f_{\rm obs} = f_{\rm emit} \frac{v_{\rm eff} - u_o}{v_{\rm eff} - u_s} } $$
(증명) 격자 Rest Frame을 매질 기준계로 본다(공리 A1). 전파는 주파수에 무관한 일정 그룹 속도 $v_{\rm eff}$를 가지므로 표준 매질 도플러 공식이 적용된다. (끝)

보조정리 L1 (단일 구간 도착시간 분산: 라인 브로드닝 지표)

$$ \boxed{ \mathrm{Var}(\tau) = 16t_p^2 \frac{1-p}{p^2} } $$
(증명) $\tau = 2t_p + 4t_p m$ 이므로 $\mathrm{Var}(\tau) = (4t_p)^2 \mathrm{Var}(m)$이다. 기하분포에서 $\mathrm{Var}(m) = \frac{1-p}{p^2}$이므로 위 식이 성립한다. (끝)

보조정리 L2 (구간 $N$개 누적: 평균/분산의 스케일링)

독립 동일분포 구간 $\tau^{(i)}$를 $N$번 누적한 총 시간 $T_N = \sum_{i=1}^N \tau^{(i)}$에 대해,
$$ \boxed{ \mathbb{E}[T_N] = N \mathbb{E}[\tau], \qquad \mathrm{Var}(T_N) = N \cdot \mathrm{Var}(\tau) } $$
따라서 표준편차는 $\sigma_{T_N} \propto \sqrt{N}$으로 증가한다. (끝)

 

4. 해석 (Interpretation) 및 관측 가능량 (Metrics)

해석 H1 (유효 굴절률)

유효 굴절률을 다음과 같이 정의하면, 결함(루프-허용) 영역은 굴절률 $n_{\rm eff}$의 매질처럼 동작한다.
$$ \boxed{ n_{\rm eff} := \frac{c}{v_{\rm eff}} = \frac{2-p}{p} } $$

해석 H2 (도플러 민감도)

저속 근사 ($|u_s|, |u_o| \ll v_{\rm eff}$)에서:
$$ \frac{f_{\rm obs}}{f_{\rm emit}} \approx 1 + \frac{u_s - u_o}{v_{\rm eff}} = 1 + \frac{u_s - u_o}{c} \frac{2-p}{p} $$
즉, $p$가 작아져 $v_{\rm eff}$가 느려질수록(굴절률 증가) 도플러 효과의 민감도가 커진다.

해석 H3 (브로드닝/지터)

가정 A 하에서 평균 이동(정리 T4)은 매질 도플러로 고정되며, 루프의 랜덤성은 주로 도착시간의 지터(Jitter, 펄스 퍼짐/라인폭 증가)로 나타난다.
$$ \mathrm{Var}(\tau) = 16t_p^2 \frac{1-p}{p^2} $$
누적 거리(구간 수) $N$에 대해 분산은 선형적으로 증가($\mathrm{Var}(T_N) \propto N$)할 것으로 예측된다.

 

5. 연속극한 (검증 요약) — ($l_p \to 0$)

연속극한은 $l_p, t_p \to 0$이되 $c=l_p/t_p$를 고정하여 취한다. 유한 거리 $X$에 대해 구간 수 $N = X/L = X/(2l_p) \to \infty$로 두면,
$$ \mathbb{E}[T_X] \to \frac{X}{v_{\rm eff}} $$
로 수렴하여, 거시적으로는 굴절률 $n_{\rm eff} = (2-p)/p$인 연속 매질 전파가 된다.
또한 분산은 $\mathrm{Var}(T_X) \propto l_p \to 0$으로 감쇠하여, 연속극한에서는 미시적 확률 지터가 사라지고 결정론적인 전파 모델로 수렴한다.