[v1.9 -> v2.0] 가장 큰 정합성 취약점

지금 상태에서 가장 큰 정합성 취약점

SU(2) 홀로노미의 ‘스펙트럼’ vs \(\mathbb Z_{12}^4\) 벡터 \(w\)가 충돌

문서에서는 \(U_p\in SU(2)\)를 도입해놓고, 곧바로 “플라켓 상태는 홀로노미 행렬의 고유상 집합”이라며 \(w=[k_1,k_2,k_3,k_4]\)로 갑니다.

• 문제: \(SU(2)\) 행렬의 고유값은 본질적으로 \(e^{\pm i\theta}\) 두 개(한 개 각도 \(\theta)\)로 결정됩니다.
  그런데 \(w\)는 4개의 독립 위상(게다가 이후 \(U_\square(w)=\mathrm{diag}(e^{i2\pi k_1/12},\dots)\in U(4)\))을 쓰고 있어요.
  → 지금 서술대로면 “\(U_p\in SU(2)\)”와 “\(U_\square(w)\in U(4)\)”가 서로 다른 이론 층인데, 같은 물리량처럼 연결되어 보입니다. 

 

[해결책]

이런 이유로 Qaether 이론을 U(1) layer와 SU(2) layer로 분리하고자 한다. 

 

(2) “3색”은 나오지만, 그게 곧바로 \(SU(3)\) 게이지 대칭이 되진 않음

현재 문서에서 “3개 궤도 → r,g,b 라벨”은 단순한 3값 라벨(퇴화) 입니다. 이 상태에서 자연히 따라오는 대칭은 최대가 “라벨 재명명 \(S_3\)” 정도예요.

• QCD의 \(SU(3)\)는 연속적인 국소 변환이 색을 섞고(3차원 복소 벡터공간), 그에 대응하는 8개의 게이지 보손(글루온)이 나옵니다.
• 지금 구조는 “3개의 이산 상태”를 보여주지만, ‘연속적인 색 섞임’이 어디에서 나오나가 아직 정의되지 않았습니다.
  → \(SU(3)\)로의 임베딩은 시각화/매핑으로는 좋지만, 유도(derivation)라고 말하면 공격받기 쉬운 포인트입니다.

 

[해결책]

먼저 \(Z_{12}\) 링크 패턴의 \(C_4\) 궤도 구조로부터 3색 라벨(퇴화)을 얻고 다음으로 실제 정팔면체 폐합(3개의 사각 플라켓 + 8개의 삼각 플라켓)이 모든 면 플럭스 \(𝑄_𝑓 ≡ 0\) 를 만족하는 flat 상태임을 예제로 보일 것이다. 마지막으로, 이 정팔면체에서 나타나는 8개의 삼각 플라켓 모드를 ‘국소 색 전이 생성자’로 해석하는 업데이트 규칙을 도입하면, 이 생성자들이 su(3) 대수를 이뤄 장거리 유효이론에서 SU(3) 게이지 대칭이 창발할 수 있다.

 

(3) “가둠 = 타일링 불가능성”은 좋은 선택 규칙이지만, QCD의 가둠(Area law)과는 다른 개념

• “고립된 유색 플라켓이 3D 셀로 폐합 못 한다”는 건 운동학적 금지/정합 조건으로는 좋습니다.
• 하지만 물리에서 confinement는 보통 Wilson loop area law / string tension 같은 동역학적 현상으로 정의됩니다.

 

[해결책]

타일링 불가능성(운동학)을 유지하되, 그걸 ‘동역학적으로’ Area law로 보이게 만드는 에너지/작용 항 + 업데이트 규칙을 추가할 예정이다. 즉 (i) 유색을 분리하면 결함(비정상파 \(Q\neq0\))이 면적/길이에 비례해 늘어나도록 만들고, (ii) 그 결과 Wilson loop 기대값이 \(\exp(-\sigma A)\)로 떨어지게 설계하면 되지 않을까 생각한다.