FCC 격자 구조의 수학적 정의

FCC 격자와 이를 바탕으로 한 최소 결합 루프를 수학적으로 정의할 필요가 있다고 생각되어 다음과 같이 구조화를 진행한다.

 

 

FCC 격자의 위상장(cochain) 구조

격자 정의

• FCC 격자의 그래프를 다음과 같이 둔다. (여기서 \(V\)는 site(정점) 집합, \(E\)는 link(변) 집합이다.)
  \[
  G = (V, E)
  \]
• 격자의 최소 닫힌 루프는 정삼각형과 정사각형 경계로 이루어진다.
  \[
  \mathcal{P} = \mathcal{P}_3 \cup \mathcal{P}_4
  \]

 

위상(cochain) 변수의 정의

 

• 각 site \(i \in V\)에는 위상을 둔다:
  \[
  \phi_i \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \qquad \text{(0-cochain)}
  \]
• 각 link \(e = (i \to j) \in E\)에는 위상차를 둔다:
  \[
  U_{ij} = \phi_j - \phi_i \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \qquad \text{(1-cochain)}
  \] \[
  U_{ji} \equiv -U_{ij} \quad (\mathrm{mod}\ 2\pi) \qquad \text{(방향 반전 반대대칭)}
  \]
• \(U = d\phi\) 형태로 표현되며, \(d:C^0\to C^1\)는 코바운더리 연산자다.

 

평탄성(flatness) 조건 (최소 루프 폐합)

• 모든 최소 닫힌 경로 \(p \in \mathcal{P}\)에 대해, 다음 식이 성립한다.
  \[
  \sum_{(i\to j)\in \partial p} U_{ij} \equiv 0 \quad (\mathrm{mod}\ 2\pi)
  \]
• 이는 \(dU = 0 \; (\mathrm{mod}\ 2\pi) \)과 동치이며, 물리적으로 루프를 따라 누적된 위상 변화가 없음을 의미한다.

 

게이지 자유도 및 유일성

• 위상장은 전역 상수 변환에 대해 불변이다:
  \[
  \phi_i \to \phi_i + \mathrm{const}.
  \]
• 이 변환은 모든 \(U_{ij}\)를 보존한다. 따라서 \(U\)는 위상장의 절대값이 아닌, 상대적 분포만을 반영한다.

 

주기적 경계(토러스)에서의 주의점

• FCC 격자가 주기적 경계를 가질 경우, \(dU = 0\)이라 하더라도 전역적으로 \(U = d\phi\) 형태로 표현되지 않을 수 있다.예를 들자면 토러스에서는 모든 작은 루프가 평탄해도, 전체 공간에 한 바퀴 도는 위상차가 남을 수 있다는 뜻이다.