[v0.1] 양자성의 기하학적 기원

1. 위상적 기원 — 링크의 위상수

FCC 격자에서는 각 링크(1-체인)가 여러 개의 닫힌 2-셀(삼각, 사각 루프)에 둘러싸여 있다.
이를 사슬군 체계로 쓰면 \( C_2 \xrightarrow{\partial_2} C_1 \xrightarrow{} 0 \).
이때 경계 연산자의 여상(cokernel), 즉 \( \mathrm{coker}(\partial_2) \)에 torsion이 생긴다.
그게 바로 \( \mathbb{Z}_{12} \) — 12번 더하면 0이 되는 위상적 순환.
그래서 한 링크의 위상차 \( \phi_e \)는
\[
12\phi_e \equiv 0 \pmod{2\pi}
\]
로 제한되고, 자연스럽게 \( \pi/6 \) 단위로 양자화된다.
즉, 위상차의 “단위”는 물리 법칙이 아니라 격자 자체의 위상적 꼬임(torsion)이 정한다.

* 모든 torsion이 있는 격자에서 똑같은 현상이 일어나는지 확인하지 못했지만 비슷한 가정을 한다면 가능성은 있다고 본다.

 

2. 결합 조건 — 닫힘(closure)의 기하학

사각 루프 네 위상차 ( \(a,b,c,d\) )가 합 \(a+b+c+d\equiv0\pmod{12}\)을 만족해야 닫힌 경로가 된다.
이 모듈러 닫힘조건이 기하학적 위상 일관성의 표현이다.
세 방향의 사각 루프가 만나서 정팔면체를 이루면, 모든 루프가 동시에 닫히려면 집합 \(K=\{a,b,c,d\}\) 안에 \(0\)이 반드시 포함되어야 한다.
즉, “0 위상”이 존재해야 삼차원적 평탄성이 유지된다 — 공간의 자가정합 조건.

 

3. 군론적 투영 — SU(3) 카르탕 평면

각 위상조합을 RGB 벡터로 두고, 이를 SU(3)의 대각 생성자 \((T_3,T_8)\)로 투영하면 모든 점이 일정한 격자 위에 놓인다.
그 격자는 바로 SU(3)의 기본가중치 격자 \(\mathbb{Z}\omega_1\oplus\mathbb{Z}\omega_2\).
즉, FCC 위상차 조합의 구조가 SU(3) 표현이론의 무게격자와 1:1로 대응하는 셈이다.
위상적 닫힘이 곧 군론적 양자화 규칙으로 바뀐다.

 

4. 결론 — 양자성의 기하학적 근원

정리하자면:

• FCC 격자의 셀 구조가 위상적 torsion을 갖는다.
• 이로부터 링크 위상차가 정수군의 위상적 제약에 의해 양자화된다.
• 닫힘 조건은 공간적 일관성을 강제하며,
  그 해집합은 SU(3) 가중격자와 동일한 패턴을 만든다.

그래서 “양자”는 입자나 파동이 아니라, 공간 자체의 정수적 위상구조가 만들어낸 불연속성의 기하학적 서명으로 볼 수 있다.