[v1.8] 색전하의 정의와 기하학적 입자 분류

1. 대칭 작용과 “색 후보”의 조합학

정의 1 (원순열 공간과 \(D_4\) 작용)

\[
\mathcal W=\{w=[k_1,k_2,k_3,k_4]\ |\ k_i\in\mathbb Z_{12},\ \sum_{i=1}^4 k_i\equiv 0\pmod{12}\}
\]

을 한 플라켓의 지향된 원순열들의 집합이라 하자.

• 시작점 변경은 순환시프트
  \[
  [k_1,k_2,k_3,k_4]\sim[k_2,k_3,k_4,k_1]\sim\cdots
  \]
  로 본다. 이는 정사각형의 회전에 해당하므 \(D_4\) 회전 부분군에 포함된다.
• 정사각형의 이면대칭군 \(D_4\)가 회전·반사로 지표를 치환하여 \(\mathcal W\)에 작용한다고 하자. 즉 각 \(g\in D_4\)는 어떤 순열 \(\sigma_g\in S_4\)를 통해
  \[
  g\cdot [k_1,k_2,k_3,k_4]=[k_{\sigma_g(1)},\dots,k_{\sigma_g(4)}]
  \]
  로 작용한다.

이제 “유효 쿼크”로 쓸 플라켓만 추리자.

가정 (쿼크-플라켓의 가역성)

\[
\mathcal W_{\text{adm}}={[k_1,\dots,k_4]\in\mathcal W\mid k_i\ \text{모두 서로 다름}}
\]

만을 유효 쿼크-플라켓으로 취한다.
\(k_i\)에 중복이 생기면 궤도가 붕괴하고 색이 사라진다고 보고, 이 경우는 나중에 \(\kappa=0\)(무색)으로 정의한다.

정리 1 (각 멀티셋에 대해 궤도 수 = 3)

서로 다른 네 값
\[
K=\{a,b,c,d\}\subset\mathbb Z_{12},\quad a+b+c+d\equiv 0
\]
를 고정하자. 이 멀티셋을 갖는 순열은 \(4!=24\)개이며, 여기에 \(D_4\)가 작용한다. 이때:

• 항등을 제외한 어떤 \(g\in D_4\)도
  \(k_i\)가 모두 다르므로 고정점을 갖지 않는다.
• 따라서 Burnside에 의해
  \[
  \#(\text{궤도})
  =\frac1{|D_4|} \sum_{g\in D_4} \# \mathrm{Fix}(g)
  =\frac18\cdot 24 = 3
  \]

즉, 하나의 멀티셋 (K) 에 대해, \(D_4\) 작용 아래 원순열 궤도 동치류는 정확히 3종이다.

이 3종을 “세 색”의 후보로 쓸 것이다.

 

2. 전하 공액과 반색

이제 “루프 방향” 대신, 링크 위상의 부호 반전을 반쿼크 연산으로 쓴다.

정의 2 (전하 공액 \(C\))

\[
C:\mathcal W\longrightarrow\mathcal W,\qquad
C([k_1,k_2,k_3,k_4])=[-k_1,-k_2,-k_3,-k_4]
\]
(여기서 덧셈·부호는 모두 \(\mathbb Z_{12}\)에서.)

성질:

1. \(\sum k_i\equiv0\Rightarrow \sum(-k_i)\equiv0\) 이므로 \(C\)는 \(\mathcal W\)를 보존한다.
2. \(k_i\)들의 멀티셋 구조를 그대로 유지하므로, \(k_i\)가 모두 다른 조건도 보존:
   \[
   w\in\mathcal W_{\rm adm}\ \Rightarrow\ C(w)\in\mathcal W_{\rm adm}.
   \]
3. \(D_4\)는 단지 지표를 치환만 하므로, \(C\)와 교환:
   \[
   C(g\cdot w) = g\cdot C(w)\quad(\forall g\in D_4).
   \]
   따라서 \(C\)는 몫공간 \(\mathcal W_{\rm adm}/D_4\) 위에 잘 정의된 순서 2 자기동형:
   \[
   C^2=\mathrm{id}.
   \]

이제 색전하를 정의할 준비가 됐다.

 

3. 색전하의 수학적 정의

플라켓이 \(\mathcal W_{\rm adm}\)에 속한다고 가정하자 (\(k_i\) 모두 상이).

정의 3 (색전하 함수)

\[
\kappa:\ \mathcal W/D_4\ \longrightarrow\ \{\pm r,\pm g,\pm b,0\}
\]

를 다음과 같이 정의한다.

1. \(\mathcal O_1,\mathcal O_2,\mathcal O_3\)를 \(\mathcal W_{\rm adm}/D_4\)에서 “서로 다른 네 값 \(K\)”에 대한 세 개의 궤도라 하자(정리 1).
   고정된 전역 규약에 따라 임의의 전단사
   \[
   \{\mathcal O_1,\mathcal O_2,\mathcal O_3\}
   \xrightarrow{\ \sim\ } \{r,g,b\}
   \]
   를 택한다. (물리적 내용은 \(S_3\) 재표기에 불변이므로 단지 라벨 규약일 뿐.)
2. \(w\in\mathcal W_{\rm adm}\)에 대해, 그 \(D_4\)-궤도 \([w]\in\mathcal W_{\rm adm}/D_4\)에
   \[
   \kappa([w])\in \{r,g,b\}
   \]
   를 배정한다.
3. 반쿼크(반색) 는 전하 공액으로 정의:
   \[
   \kappa(C[w])=-\kappa([w])\in \{-r,-g,-b\}.
   \]
   여기서 (C)는 앞에서 본 몫공간의 순서 2 자기동형이다.
4. \(k_i\)에 중복이 있는 플라켓(2+2, 4-equal)은
   \[
   \kappa=0
   \]
   으로 정의한다(무색, singlet).

이때:

• 도메인이 이미 \(\mathcal W/D_4\) 이므로,
  시작점 변화·회전·반사에 대해 \(\kappa\)는 자동으로 불변이다.
• \(C^2=\mathrm{id}\) 이므로 반색 연산도 순서 2:
  \[
  \kappa(C^2[w])=\kappa([w])=-(-\kappa([w])).
  \]

※ 후속 절에서, \(k_i\) 중복 패턴(2+2, 4-equal)이 렙톤/뉴트리노 기하로 어떻게 해석되는지 설명한다.

 

4. 플럭스 섹터 고정과 안정성

정의 4 (플럭스 섹터 고정)

앞서서 각 플라켓은 다음을 만족한다고 정의했다.
\[
k_1+k_2+k_3+k_4\equiv 0\pmod{12}
\]

이 섹터에서 가능한 정수 네쌍 (\(k_1,\dots,k_4\))은 (대표자 \(k_i\in \{-5,\dots,6\}\), 엄격한 증가 조건까지 넣으면) 정확히 42개이며, 3D 정팔면체 결합까지 동시에 만족하려면 반드시 0이 포함되어야 하고, 이 경우 대칭을 mod-out 하면 14류가 남는다.

요점:
에너지(혹은 비용)가 멀티셋 \(\{k_i\}\) 에만 의존하고 순환열의 서열에는 무관하다고 가정하면 (정상상태의 잔여 퇴화), \(\kappa\)는 그 퇴화층의 불변 표지자로 남는다.

이 가정은 2D 닫힘 → 3D 정합(정팔면체)으로 확장해도 유지된다(§5 참조).

 

5. SU(3) 정적 임베딩과 뿌리–가중치

세 색 \(\{r,g,b\}\)를 SU(3) 기본표현의 세 가중치 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 고정 대응시킨다:

\[
\omega_1+\omega_2+\omega_3=0,
\]
\[
\alpha_1=\omega_1-\omega_2,\quad
\alpha_2=\omega_2-\omega_3,\quad
\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2.
\]

그러면

\[
\kappa = \omega_i \quad\Rightarrow\quad
\kappa^{\mathrm{anti}} = -\omega_i,
\]
즉 전하 공액 (C)가 SU(3) 가중치 격자에서는
\[
(t_3,t_8)\ \mapsto\ -(t_3,t_8),\quad
\omega\mapsto -\omega
\]
에 해당하는 것으로 본다.

색 재표기는

\[
r \leftrightarrow g,\ \text{등의 색변환}
\ \Longleftrightarrow
\text{가중치 격자에서 }\alpha_i\text{만큼 평행이동}
\]

으로 읽힌다.

이 임베딩은 다음 사실로 정당화된다.

• 정팔면체에서 허용되는 14개 조합의 (\(a,b,c\)) 벡터(0을 제외한 세 값)를 Cartan (\(T_3,T_8\))에 사영하고, 다시 (\(\omega_1,\omega_2\)) 기저로 바꾸면 모든 점이 정수 격자점에 정확히 놓인다.
• 동시에 \(k_i\mapsto -k_i\) (전하 공액 \(C\))가 \((t_3,t_8)\mapsto-(t_3,t_8)\)에 대응하므로, \(\omega\mapsto-\omega\)와 일관된다.

 

6. 결합 규칙(메손/바리온)과 정팔면체 12-모서리 정합성

메손

한 플라켓 \(w\)와 그 전하 공액 \(C(w)\)의 결합은
\[
\kappa([w]) + \kappa(C[w]) = \omega + (-\omega) = 0
\]
이므로 즉시 색중성이다.

• 지오메트리적으로는 같은 멀티셋 \(K=\{k_1,\dots,k_4\}\)와 그 부호반전 \(-K=\{-k_1,\dots,-k_4\}\)이 같은 위치의 링크에 반대 방향 위상으로 배치된 것으로 볼 수 있다.

바리온 (정팔면체)

서로 직교하는 세 플라켓(평면 \(XY, YZ, ZX\))을 공유 모서리 조건으로 닫아 정팔면체를 이루게 하자. 닫힘이 동시에 가능할 필요충분조건은

\[
K=\{0,x,y,z\},\qquad x+y+z\equiv 0\pmod{12}
\]
이다.

한 가지 구성은:

\[
XY:[0,x,y,z],\quad
YZ:[0,y,z,x],\quad
ZX:[0,z,x,y]
\]

로 배치하면, 각 “열 합”이 0 (mod 12)이어서 8개 모든 삼각 면도 닫힌다(충분성).
0이 없으면 세 평면을 동시에 만족시키는 배치는 존재하지 않는다(필요성).

이제 색 규약 \(\{r,g,b\}\leftrightarrow \{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)를 취하면, 세 플라켓의 색이 서로 다를 때

\[
\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\quad\Rightarrow\quad
\text{color singlet (바리온)}.
\]

즉,

“정팔면체 12-모서리 정합성 + 색삼중”이 곧 색중성이다.

 

7. 게이지·관측 층위 정리

게이지 불변량은 원래 윌슨 루프의 \(\mathrm{Tr}U_\square\) 등 클래스 함수이다.

보충: \(\kappa\)와 \(\mathrm{Tr}U_\square\)의 관계

일반적인 격자 게이지 이론에서 플라켓 변수 \(U_\square\in SU(3)\)에 대해
\[
U_\square \mapsto G\,U_\square\,G^{-1}
\]
이므로, 게이지 불변량은 \(\mathrm{Tr}U_\square, \mathrm{Tr}U_\square^2,\dots\)와 같은 클래스 함수들이다. 이 모형에서는 링크 위상을 \(\pi/6\) 간격으로 양자화하여
\[
U_\ell \sim e^{i k_\ell \pi/6},\quad k_\ell\in\mathbb Z_{12}
\]
로 보고, 플라켓 닫힘 조건 \(\sum k_i\equiv 0\pmod{12}\) 하에서 에너지(혹은 \(\mathrm{Tr}U_\square\)에 해당하는 양)가 멀티셋 \(\{k_i\}\)에만 의존한다고 가정한다. 따라서 같은 멀티셋 \(\{k_i\}\)를 갖는 여러 원순열 \(w\)들은
\[
\mathrm{Tr}U_\square(w_1)=\mathrm{Tr}U_\square(w_2)
\]
를 만족하는 동일한 에너지 퇴화층을 이룰 수 있다.

\(\kappa\)는 이러한 퇴화층 내부를 더 세분하는 조합학적/위상적 index이다. 즉
\[
w\ \longmapsto\ \bigl(\mathrm{Tr}U_\square(w),\ \kappa([w])\bigr)
\]
로 볼 때, \(\mathrm{Tr}U_\square\)만으로는 구별되지 않는 상태들이 \(\kappa\)에 의해 서로 다른 색(혹은 반색)으로 구분된다. 다시 말해 \(\kappa\)는 \(\mathrm{Tr}U_\square\)의 함수가 아니라, 같은 \(\mathrm{Tr}U_\square\) 값을 갖는 퇴화층을 라벨링하는 추가 불변량이다.

전하 공액 \(C:k_i\mapsto -k_i\)는 연속 \(SU(3)\) 층위에서는 \(U_\square\mapsto U_\square^\ast\)에 대응하여
\[
\mathrm{Tr}U_\square\ \mapsto\ (\mathrm{Tr}U_\square)^\ast
\]
를 주고, 동시에 색전하 층위에서는
\[
\kappa\ \mapsto\ -\kappa
\]
를 준다. 하나의 \(C\) 연산이 윌슨 루프와 색전하에 각각 복소 켤레와 반색 변환으로 작용하는 구조다.

여기서의 \(\kappa\)는

1. 링크 위상의 \(\pi/6\) 양자화,
2. 플라켓/정팔면체의 모듈러 닫힘 섹터 고정

아래에서, 같은 에너지 퇴화층에서 남는 조합학적 불변량(위상적 클래스) 로 정의된다.
즉 관측 가능성은 “연속 군 원소의 윌슨 루프”가 아니라

“정수 순환열의 \(D_4\)-궤도 + 전하 공액 \(C\)” 층위에서 성립한다.

실무 규칙:

• (a) \(k_i\) 중복 ⇒ \(\kappa=0\) (무색),
• (b) 전하 공액 \(C\) ⇒ 반색,
• (c) 정팔면체 가능 ⇔ \(0\in K\) 및 위 배치로 구성 가능,
• (d) 바리온 색중성 ⇔ 세 색 모두 다름.

 

8. 글루온(정사면체)과 색 흐름의 기하학

FCC 벌집은 “정사면체–정팔면체” 타일링으로 채워진다.

• 정팔면체는 §6에서 본 것처럼
  “세 색 쿼크 플라켓이 모여 색중성 바리온을 이루는 3D 셀”로 해석된다.
• 정사면체는 네 꼭짓점이 완전 대칭인 3-simplex로,
  네 정점 벡터의 합이
  \[
  \sum_{i=1}^4 v_i = 0
  \]
  이 되는 \(S_4\)의 3차원 irreducible 표현 공간 위에 놓인다.

SU(3) 관점에서 정사면체 하나는 두 색 \(\omega_i,\omega_j\)의 차이

\[
\alpha_{ij}=\omega_i-\omega_j
\]

를 레이블로 갖는 “adjoint 색 방향”으로 볼 수 있다. 이때 정사면체가 정팔면체의 한 삼각 면에 붙는 과정은 색 흐름

\[
\omega_i \longrightarrow \omega_j
\]

를 구현하는 quark–gluon vertex로 해석할 수 있고, 색 보존식

\[
\omega_i + (\omega_i-\omega_j) - \omega_j = 0
\]

이 항상 성립한다. 즉 정사면체는 SU(3) adjoint 표현(글루온)의 기하적 구현이다.

정팔면체 표면의 8개 삼각면 위상 패턴이 정확히 8개의 독립 색 방향(6개의 \(\pm\alpha_k\)와 2개의 Cartan 방향)에 대응하므로,

하나의 정팔면체는 “8개의 글루온 모드가 스며든 바리온 셀”로 볼 수 있다. 글루온은 정사면체로서 인접 정팔면체들 사이를 오가며 색전하를 교환한다.

 

9. 색가둠(color confinement)의 기하학적 해석

이제 왜 고립된 색전하(단일 유색 플라켓)가 격자에서 분리될 수 없는가를 정팔면체–정사면체 구조로 설명할 수 있다.

• 유색 플라켓은 반드시 1+1+1+1 패턴(네 값 모두 다른)이며, \(\kappa\neq 0\)인 쿼크-플라켓이다.
• 이런 플라켓은 항상 어떤 \(K=\{0,x,y,z\}\)의 부분으로 들어간다.
• FCC 위상 제약과 모듈러-12 닫힘 조건 때문에, 이 \(K\)를 사용하는 인접 플라켓/정팔면체들을 따라가다 보면,
  • 한 쌍의 플라켓과 그 전하 공액 \(C\)-플라켓이 만나 \(\omega+(-\omega)=0\)인 메손 루프, 또는
  • 세 색이 모여 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\)이 되는 바리온 정팔면체
    중 하나로만 색 플럭스가 종결된다.

“색이 한 방향으로만 나간 채 끝나는 엣지”는 허용되지 않는다.

• 각 엣지마다 인접 플라켓들의 색합이 0이 되도록 정팔면체/정사면체 타일링이 강제되기 때문이다.

즉 색 플럭스는 항상

• 폐곡선(메손),
• 폐포(정팔면체 바리온 네트워크)

안으로만 존재할 수 있고, 공간 무한대까지 열린 단일 색선은 허용되지 않는다.

격자 간격 (a\to 0)의 연속극에서 이는 SU(3) Yang–Mills의

“에너지 유한한 색 플럭스는 반드시 색중성 hadron으로만 나타난다”

는 색가둠 가설에 대응된다. 이 모형에서는 색가둠이 에너지 가설이 아니라 순수 기하/topology (정팔면체–정사면체 결합) 에서 나온 제약으로 구현된다.

요약하면, 다음과 같으며 이 기하학적 사실이 곧 색가둠의 격자 버전이다.

"유색 플라켓(쿼크)은 정팔면체/정사면체 네트워크 속에서만 의미 있게 존재하며, 국소 위상 제약 때문에 항상 메손/바리온으로 닫히도록 강제된다."

 

10. 렙톤형 플라켓(2+2, 4-equal)의 정팔면체 비-정합성

마지막으로, 왜 렙톤류 플라켓은 “정팔면체 바리온”으로 닫히지 않는지를 기하학적으로 설명한다.

• §3에서 본 것처럼, \(k_i\)에 중복이 있는 플라켓(2+2, 4-equal)은 \(\kappa=0\)으로 정의된다.
• 이들은 SU(3) 색 공간에서는 이미 singlet이다.

정팔면체 바리온 정합성(§6)은

\[
K=\{0,x,y,z\},\quad x,y,z\ \text{모두 서로 다름},\quad x+y+z\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 12)
\]

을 가정한다. 이때만 세 직교 플라켓을 서로 다른 순환열로 배치했을 때 8개 삼각 면이 모두 닫힌다.

만약 플라켓이 2+2 패턴, 예를 들어

\[
K=(0,0,6,6),\ (1,1,5,5),\ (2,2,4,4)
\]

류라면,

• 세 평면\((XY,YZ,ZX)\)에 같은 멀티셋 \(K\)를 할당하려 할 때,
• 어떤 방향의 열에서는 합이 0이 되지만,
  다른 열에서 모듈러-12 닫힘이 깨지는 모순이 생긴다.

결과적으로 비자명한 정팔면체(곡률/위상 플럭스를 가지는) 를 구성할 수 없다.
가능한 유일한 “정팔면체”는 모든 링크 위상이 상수인 완전 평탄 진공뿐이다.

4-equal 패턴 \(K=(k,k,k,k)\)의 경우는 더 극단적이다.

• 어떤 정팔면체를 만들어도 모든 삼각 면, 모든 플라켓의 합이 자명해지고,
• 에너지/곡률이 0인 완전 진공 셀로만 존재한다.

따라서

• 뉴트리노형 모드는 색/전하/스핀 구조에서 완전 decouple된 진동 모드로만 존재하고,
• 색가둠을 결정하는 정팔면체-색플럭스 구조에는 관여하지 않는다.

요약하면,

• 쿼크형 플라켓 (1+1+1+1) 은
  정팔면체 바리온으로 닫히는 유일한 비자명 색셀의 재료다.
• 렙톤형 플라켓 (2+2) 은
  정팔면체로 비자명하게 닫히려 하면 모듈러-12 닫힘에서 모순이 생겨, 바리온 셀을 만들지 못한다.
  이들은 SU(3) 색 네트워크 밖에서 U(1) 전하만 가진 모드로 해석된다.
• 뉴트리노형 플라켓 (4-equal) 은
  어떤 정팔면체에 넣어도 단지 평탄 진공을 줄 뿐이다.
  이들은 SU(3)·SU(2)·U(1) 모두에서 singlet인 최소 에너지 위상 패턴이다.

이 기하학적 구조 덕분에, 다음과 같은 표준모형의 패턴을, 순수한 FCC 격자 위상과 플라켓 패턴(1+1+1+1 / 2+2 / 4-equal)만으로 재현할 수 있다.

“쿼크는 반드시 정팔면체 바리온/메손으로만 관측되고, 렙톤/뉴트리노는 색 네트워크와 분리된 자유 입자처럼 행동한다”