[v1.6] 색전하의 정의

0. 배경·기호(엄밀 정식화)

격자와 체인 복합체

FCC 최근접결합 그래프 \(G=(V,E)\) 위에 삼각/사각 최소루프를 2-셀로 붙인 2-스켈레톤 \(X\)를 잡는다. $$C_2=\mathbb Z^F, \quad C_1=\mathbb Z^E, \quad \partial_2:C_2\to C_1$$ 각 링크 \(e\in E\)에는 위상 \(\phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)를 두고, 모든 최소루프 \(f\)에 대해 \(\Phi(\partial_2 f)=0\)가 성립한다.

이때 \(\Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)는 1-코사이클로 잘 정의된다.

 

링크 위상 양자화

특정 링크 \(e\)의 동치류 \([e]\in A:=C_1/\mathrm{im}\partial_2\)의 차수가 \(\mathrm{ord}([e])=12\)임이 지역적 스미스 정규형 계산으로 따라오므로,
\[
\phi_e\in \tfrac{2\pi}{12}\mathbb Z\equiv \tfrac{\pi}{6}\mathbb Z\quad(\mathrm{mod} \; 2\pi).
\]
즉, 링크마다 잔여 \(\mathbb Z_{12}\) 위상 구조가 존재한다.

 

정사각 플라켓 변수

한 플라켓의 네 링크 위상을 (\(a,b,c,d\))라 하고
\[
(a,b,c,d)\in(\tfrac{\pi}{6}\mathbb Z/2\pi\mathbb Z)^4,\qquad a+b+c+d\equiv 0\pmod{2\pi}.
\]
정수표기 \(k_i:=\tfrac{6}{\pi}a_i\in\mathbb Z_{12}\)로 쓰면 \(k_1+k_2+k_3+k_4\equiv 0\pmod{12}\).

(연속구간을 (\(-\pi,\pi]\)로 고정하면 대표자 \(k_i\in \{-5,\dots,6\}\)를 취한다.)

 

SU(2) 링크와 홀로노미

링크 변수 $$U_{ij}\in SU(2)$$

플라켓 홀로노미 $$U_\square=\prod_{(i,j)\in\square}U_{ij}$$

클래스 각 $$\Theta_\square=\arccos \big(\tfrac12\mathrm{Tr} U_\square\big)$$

(아래 색 라벨은 \(\mathrm{Tr}\)류가 아니라 정수 네쌍의 순환열에서 뽑는 조합학적 불변량이다.)

 

1. 대칭 작용과 “색 후보”의 조합학

정의 1(원순열 공간과 \(D_4\) 작용). \(\mathcal W\)를 한 플라켓의 지향된 원순열
\[
w=[k_1,k_2,k_3,k_4],\qquad k_i\in\mathbb Z_{12}, \qquad \sum k_i\equiv 0
\]
들의 집합으로 두고, 정사각형의 이면대칭군 \(D_4\)가 지표를 회전/반사로 치환하여 \(\mathcal W\)에 작용한다고 하자. 시작점 변경은 순환시프트로 본다.

 

가정(쿼크-플라켓의 가역성)

“유효 쿼크”로 쓰일 플라켓은 \(k_i\)가 모두 서로 다른 경우로 제한한다(그렇지 않으면 궤도가 붕괴하여 무색으로 본다).

 

정리 1(궤도 수 = 3)

\(k_i\)가 모두 다르면 \(D_4\) 작용 아래 \([k_1,k_2,k_3,k_4]\)의 궤도 동치류는 정확히 3종이다.
스케치. 번사이드 보조정리에 의해 항등을 제외한 모든 원소의 고정점 수가 0이므로 \(|\mathcal W/D_4|=\frac1{8}\cdot 24=3\).

 

정의 2(반지향—반색)

원순열 반전 연산 \(\iota:[k_1,k_2,k_3,k_4]\mapsto[k_1,k_4,k_3,k_2]\)를 반지향이라 한다. \(\iota\)는 (\(\mathcal W/D_4\))에서 순서 2의 자기동형.

 

2. 색전하의 수학적 정의

플라켓이 “쿼크-플라켓” 가정(네 값 모두 상이)을 만족한다고 하자.

정의 3(색전하 함수)
\[
\kappa:\ \mathcal W_{\mathrm{adm}}/D_4\ \longrightarrow\ \{\pm r,\pm g,\pm b,0\}
\]
를 다음과 같이 정의한다.

1. \(\mathcal O_1,\mathcal O_2,\mathcal O_3\)를 \(\mathcal W_{\mathrm{adm}}/D_4\)의 세 궤도라 하자. 고정된 전역 표기(규약)에 따라 \(\{\mathcal O_1,\mathcal O_2,\mathcal O_3\}\overset{\sim}{\longrightarrow}\{r,g,b\}\)의 임의의 전단사를 택한다. (물리적 내용은 \(S_3\) 재표기에 불변이므로 선택은 규약일 뿐이다.)
2. \(\kappa([w])\in\{r,g,b\}\)로 두고, 반지향에 대해 \(\kappa(\iota[w])=-\kappa([w])\)를 정의한다(반색).
3. \(k_i\)에 중복이 있으면 \(\kappa=0\) (무색).

이때 \(\kappa\)는 시작점 변화·회전·반사에 불변이다(도메인이 이미 몫공간). 또한 \(\iota^2=\mathrm{id}\)이므로 반색은 순서 2.

 

3. 섹터 고정과 안정성

정의 4(플럭스 섹터 고정)

본 논의는 각 플라켓이
\[
k_1+k_2+k_3+k_4\equiv 0\pmod{12}
\]
을 만족하는 닫힘 섹터(모듈러-12) 위에서 진행한다. 이 섹터에서 가능한 정수 네쌍(대표자 \(k_i\in\{-5,\dots,6\}\), 엄격한 증가 조건)은 정확히 42개이며, 정팔면체로의 3D 결합까지 동시에 만족하려면 반드시 0이 포함되어야 하며 그 경우 대칭을 mod-out하면 14류가 남는다.

 

요점: 에너지(혹은 비용)가 멀티셋 \(\{k_i\}\)에만 의존하고 순환열의 서열에는 무관하다고 가정하면(정상상태의 잔여 퇴화) \(\kappa\)가 그 퇴화층의 불변 표지자로 남는다. 이 가정은 2D 닫힘→3D 정합(정팔면체)으로 확장해도 유지된다(아래 §5).

 

4. SU(3) 정적 임베딩과 뿌리-가중치

세 색 \(\{r,g,b\}\)를 SU(3) 기본표현의 세 가중치 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 고정 대응시킨다.

\[ \omega_1+\omega_2+\omega_3=0,\qquad \]

\[ \alpha_1=\omega_1-\omega_2,\ \alpha_2=\omega_2-\omega_3,\ \alpha_3=\alpha_1+\alpha_2 \]

그러면

\[ \kappa=\omega\ \Rightarrow\ \kappa^\mathrm{anti}=-\omega,\]

\[\qquad r \leftrightarrow g\ \text{등의 색변환}\ \Longleftrightarrow\ \text{가중치 격자에서 }\alpha_i\text{ 만큼 평행이동}\]

 

이 임베딩은 정팔면체에서 허용되는 14개 조합의 (\(a,b,c\)) 벡터(0을 제외한 세 값)를 Cartan (\(T_3,T_8\))에 사영하고 다시 (\(\omega_1,\omega_2\)) 기저로 바꾸면 정수 격자점에 정확히 놓인다는 사실로 자연스럽게 뒷받침된다.

또한 반지향은 \((t_3,t_8)\mapsto-(t_3,t_8)\)에 해당하여 \(\omega\mapsto-\omega\)로 동치다.

 

5. 결합 규칙(메손/바리온)과 정팔면체 12-모서리 정합성

메손

한 플라켓과 그 반지향의 결합은 \(\omega+(-\omega)=0\)으로 즉시 색중성. (지오메트리적으로는 같은 \(K={0,x,y,z}\)를 역순 순환열로 배치.)

바리온(정팔면체)

서로 직교하는 세 플라켓(평면 \(XY,YZ,ZX\))을 공유 모서리 일관성으로 닫아 정팔면체를 이루게 하자. 이때 닫힘이 동시에 가능할 필요충분조건은
\[
K=\{0,x,y,z\},\qquad x+y+z\equiv 0\pmod{12}
\]
이다. 구성적으로
\[
XY:[0,x,y,z],\quad YZ:[0,y,z,x],\quad ZX:[0,z,x,y]
\]
로 배치하면 각 “열 합”이 0(mod 12)이어서 8개 모든 삼각 면도 닫힌다(충분성).

0이 없으면 세 평면을 동시에 만족시키는 배치는 존재하지 않는다(필요성).

 

이제 색 규약 \(\{r,g,b\}\leftrightarrow \{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)를 취하면, 세 플라켓의 색이 서로 다를 때
\[
\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\quad\Rightarrow\quad \text{color singlet(바리온)}.
\]
즉 “정팔면체 12-모서리 정합성 + 색삼중”이 곧 색중성이다. (실제 14 대표 조합과 Cartan/가중치 좌표는 표로 제시되어 있다.)

 

6. 게이지·관측 층위 정리

• 게이지 불변량은 본래 윌슨 루프의 \(\mathrm{Tr},U_\square\) 등 클래스 함수다.
• 여기서의 \(\kappa\)는 (i) 링크 위상 \(\pi/6\) 양자화와 (ii) 플라켓/정팔면체의 모듈러 닫힘 섹터 고정 아래, 같은 에너지 퇴화층에서 남는 조합학적 불변량(위상적 클래스)으로 정의된다. 즉 관측 가능성은 “루프 클래스”가 아니라 “정수 순환열의 \(D_4\)-궤도” 층위에서 성립한다.
• 실무 규칙: (a) \(k_i\) 중복 ⇒ (\kappa=0) (무색), (b) 반지향 ⇒ 반색, (c) 정팔면체 가능 ⇔ \(0\in K\) 및 위 배치로 구성 가능, (d) 바리온 색중성 ⇔ 세 색 모두 다름.

 

7. 요약(한 줄씩)

• 링크 위상은 FCC 2-복합체의 \(\mathbb Z_{12}\) torsion 때문에 \(\pi/6\) 단위로 양자화된다.
• 네 값이 모두 다른 플라켓의 원순열은 \(D_4\) 몫에서 정확히 3종이며 이것이 \(\{r,g,b\}\)다(반지향=반색).
• 2D 닫힘 섹터(모듈러-12)에서 가능한 네쌍은 42개, 정팔면체 정합까지 보존되는 건 0을 포함하는 14류.
• 이 14류는 Cartan (\(T_3,T_8\))과 기본가중치 (\(\omega_1,\omega_2\)) 격자에 정수점으로 사영된다(반지향은 \(-\omega\)).
• 메손: \(\omega+(-\omega)=0\). 바리온: \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\) (세 색 모두 다를 때).