[v1.4] 기본가정 및 공리 - 스핀

A5. 스핀(Spin)의 정의 – SU(2) 스피너·홀로노미 관점

스핀은 Qaether 격자의 SU(2) 스피너가 폐곡선을 따라 병렬 수송될 때 생성되는 홀로노미가 ±1로 나타내어 보손과 페르미온을 구분하는 위상적 자유도이다.

1. 내부 자유도: SU(2) 회전 연산자로서의 쿼터니언
   • A1의 쿼터니언 표기를 SU(2) 매트릭스 표현하면 $$\mathbf{q}_i = \cos\!\frac{\phi_i}{2}\,\mathbb I + i\,\sin\!\frac{\phi_i}{2}\,\bigl(\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\bigr) = \exp\!\Bigl[i\,\tfrac{\phi_i}{2}\,\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\Bigr]$$
     • \(\mathbf{n}_i\in S^2\): 회전축(unit vector)
     • \(\phi_i\in(-\pi,\pi]\) : 회전각
     • \(\sigma^a (a=1,2,3)\) : Pauli 행렬
   • 스피너 작용
     • 2성분 복소 스피너 \(\psi_i\in\mathbb C^2\)에 \(\psi_i \;\mapsto\; \mathbf{q}_i\,\psi_i\)로 작용. 이때 \(\mathbf{q}_i\)는 로컬 회전을 수행하는 연산자.
2. 스피너의 병렬 수송 (Parallel Transport) 과 링크 위상차
   • A2의 링크 위상변수정의에 따라 병렬 수송 법칙을 정의하면
     • 셀 \(i\)의 스피너 \(\psi_i\)가 이웃 \(j\)로 전송될 때 \(\psi_j = \Delta\mathbf{q}_{ij}\,\psi_i\)
     • 이 과정이 격자 전역에 걸쳐 일관되게 연결(parallelism)을 유지해야 물리적으로 모순이 없다.
   • 리 대수와 회전각 $$\Delta\mathbf{q}_{ij} = \exp\bigl[i\,\tfrac{\theta_{ij}}{2}\,\mathbf{m}_{ij}\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\bigr]$$
     • 여기서 \(\theta_{ij}\)는 회전각, \(\mathbf{m}_{ij}\)는 회전축.
3. 홀로노미(Holonomy)와 스핀 통계
   • 홀로노미 정의 $$\mathbf{q}_\ell = \prod_{(ij)\in\ell}^{\to}\Delta\mathbf{q}_{ij}, \quad \ell: \text{격자 상의 닫힌 경로}$$
   • SU(2)–SO(3) 이중 피복
     • SU(2) 매트릭스 \(\pm\mathbb I\) 만이 SO(3) 정체(identity)에 대응
     • \(\mathbf{q}_\ell = +\mathbb I\) 또는 \(-\mathbb I\)
   • 통계 판별 $$\mathbf{q}_\ell = \begin{cases} +\mathbb I, & \psi(\ell)= +\psi \quad(\text{보손 / 정수 스핀})\\ -\mathbb I, & \psi(\ell)= -\psi \quad(\text{페르미온 / 반정수 스핀}) \end{cases}$$
     • 보손: 스피너가 \(2\pi\) 회전 → 위상 +1
     • 페르미온: 스피너가 \(2\pi\) 회전 → 위상 -1
4. 스핀‑\(\tfrac12\) 구현: 최소 꼬인 루프
   • 꼬인 루프 조건
     • 루프 \(\ell\)에서 $$\mathbf{q}_\ell = -\mathbb I \quad\Longleftrightarrow\quad \prod_{(ij)\in\ell}^{\to} \; exp[i \tfrac{\theta_{ij}}2\; \mathbf{m}_{ij}\cdot \mathbf{\sigma} ] = -\mathbb I$$
   • 물리적 해석
     • 이 루프 하나가 페르미온의 스피너 구조를 형성.
     • 예: 삼각형 또는 사각형 루프가 될 수 있으며,각각의 링크 회전각 \(\theta_{ij}\) 합이 정확히 \(2\pi\)여야 함.
   • 쿼크·렙톤 분류
     • 추가로 Y‑패턴 색결합을 포함하면, 스피너 루프에 색전하가 결합되어 쿼크가 됨.
     • 순수 꼬인 루프만 있으면 렙톤.
5. 추가: 스핀 연산자와 기대값
   • 스핀 연산자 $$\hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2}\,\boldsymbol{\sigma}$$
   • 벡터 기대값 (Bloch 벡터) $$\langle \mathbf{S} \rangle_i = \psi_i^\dagger\,\hat{\mathbf{S}}\,\psi_i = \frac{\hbar}{2}\,\psi_i^\dagger\,\boldsymbol{\sigma}\,\psi_i \;\equiv\; \frac{\hbar}{2}\,\vec s_i$$
     • \(\vec s_i\in\mathbb R^3\)는 관측 가능한 스핀 방향
     • 그러나 통계(± 부호)는 홀로노미 \(\mathbf{q}_\ell\)에 의해 결정되고, \(\vec s_i\)만으로는 구분 불가.