[v1.3.6] 표준모형 게이지 이론의 SU(3)×SU(2)×U(1)을 Qaether 이론에서 도출

제목부터가 물리학자 입장에서 보면 상당히 도전적인 제목이라 혹시 제목을 보고 읽고 계시다면 다시한번 언급한다. Qaether 이론은 Toy 이론으로 실험적으로 검증된 적이 없다. 다만, 작자의 머릿속에 떠오른 어쩌면 허무맹랑한 아이디어를 ChatGPT의 도움을 얻어 수학화하다보니 여기까지 오게 되었다. 보기에 무리하다고 느껴지고 너무 점프한것 같다고 느껴져도 어떤 SF 소설의 배경이나 유니버스의 기초정도로 여겨주길 바란다.

 

Qaether 규약(순환열→색→맛→쿼크/바리온·메손→트라이앵글릿→정사면체→렙톤→전하·스핀)을 그대로 채택한 상태에서, IR(연속) 한계에서 SU(3)×SU(2)×U(1) 게이지 이론이 어떻게 유도되는지를 단계별로 정리.

0. 전제·규약(요약)

• 격자: FCC, 간격 \(a=l_p\).
• 노드(사이트) \(i\): 내부 로터(스핀자) \(\mathrm{q}_i\in SU(2)\).
• 링크 위상: \(\Delta\phi_{ij}=\phi_j-\phi_i\), 짧은 루프(△, □) 잠금으로 \(\Delta\phi\in(\pi/6)\mathbb Z\), \(\Phi_\ell=\sum_{(ij)\in\ell}\Delta\phi_{ij}=2\pi n_\ell\) (링크 위상 양자화·루프 감김수).
• 색(color): 한 사각 플라켓의 순환열(사이클 순서)의 \(D_4\) 궤도 3종 \(\{C_r,C_g,C_b\}\)를 SU(3) 기본 가중벡터 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 정적 임베딩, \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\).
• 맛(flavor): 3면 접합 정팔면체 정상형 3종 (0,2,4,6),(0,1,5,6),(0,3,4,5) ↔ (u,d,s).
• 쿼크: (맛 팔면체) + (선택된 포트 면의 색).
• 바리온/메손: \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\) (색중성), \(\omega+(-\omega)=0\).
• 렙톤: 트라이앵글릿 ×4 정사면체 폐합(색 정보 없음, 본질적 색중성).
• 전하: \(Q=e\big(I_3+\tfrac12 Y\big)\), \(I_3\)는 로터 SU(2)에서, \(Y=\kappa_X\,s_X\,n(S_X)\) (폐곡면 감김수×분수화 상수; 렙톤 \(\kappa=1\), 쿼크 \(\kappa=\tfrac13\)).
• 스핀: 노드 SU(2) 로터 홀로노미 \(\pm\mathbb I\)로 페르미온/보손 구분.

 

1. U(1) 게이지 섹터의 유도 (compact QED)

1.1 링크 위상과 루프-잠금

• 링크 변수 \(\chi_{ij}=e^{i\Delta\phi_{ij}}\).
• 짧은 루프(△, □)에 루프-잠금 항을 둔다:

$$\mathcal L_{\rm loop}=-\sum_{\ell\in\{\triangle,\square\}}\Lambda_\ell\big(1-\cos\Phi_\ell\big),\quad \Phi_\ell=\sum_{(ij)\in\ell}\Delta\phi_{ij}$$

최소에서 \(\Phi_\ell=2\pi n_\ell\)로 잠겨 정수 감김이 강제된다. 링크 위상은 삼각·사각 제약의 최소 공약각으로 \(\pi/6\) 양자화가 성립한다.

1.2 IR 연속극한

• 사각 플라켓 위상 \(\Phi_\square\)에 대한 Wilson형 전개:

$$\mathcal L_{U(1)}\simeq -\beta\sum_\square\cos\Phi_\square \ \xrightarrow[\Phi_\square\ll1]{}\ -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

여기서 $$F_{\mu\nu}=\partial_\mu B_\nu-\partial_\nu B_\mu$$

• 즉, 링크 위상 자유도와 루프 잠금만으로 compact U(1)이 IR에서 맥스웰 라그랑지안으로 수렴한다.

 

2. SU(2) 게이지 섹터의 유도 (약력 + 로터 결합)

2.1 노드 로터와 국소 대칭

• 각 노드의 내부 스핀자 \(\mathrm{q}_i\in SU(2)\). 국소 변환 \(g_i\in SU(2)\):

$$ \mathrm{q}_i\to g_i \mathrm{q}_i,\quad V_{ij}\to g_i V_{ij} g_j^{-1}$$

여기서 \(V_{ij}\in SU(2)\)는 링크 병렬이동자.

2.2 플라켓과 장세기

• 플라켓 곱 $$V_\square=\prod_{\ell\in\square}V_\ell=\exp\{i a^2 F_{\mu\nu}^a \sigma^a/2+\cdots\}$$
• Wilson형 게이지 작용은 IR에서

$$\mathcal L_{SU(2)}=-\frac14 F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$$

로 수렴.

2.3 로터–게이지 최소결합

• 로터의 공변 미분 $$D_\mu \mathrm{q} =\partial_\mu \mathrm{q} -\tfrac{i}{2}A_\mu^a\sigma^a \mathrm{q} $$
• 로터 강성 항

$$\mathcal L_{\rm rotor}=\rho_s\,\mathrm{Tr}\big[(D_\mu \mathrm{q} )^\dagger(D^\mu \mathrm{q} )\big]$$

이 만들어내는 전류가 SU(2) 방정식의 우변 소스로 들어가 $$D_\mu F^{a\mu\nu}=J^{a\nu}_{\rm (rotor)}$$

• 따라서 약력의 SU(2) 게이지 장과 물질(로터)의 표준적 최소결합 구조가 자동으로 복원된다.

 

3. SU(3) 게이지 섹터의 유도 (강력 + 색 정의)

3.1 색 = 순환열의 \(D_4\) 궤도 3종

• 사각 플라켓의 서로 다른 네 위상 \(a<b<c<d\)를 둘레 순서대로 읽은 원순열 24개를 정사각형 대칭군 \(D_4\)로 나누면 정확히 3개의 궤도(동치류)만 남는다. 이를 \(\{C_r,C_g,C_b\}\)로 두고, SU(3) 기본 가중벡터 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 정적 임베딩:

$$C_r\mapsto\omega_1,\quad C_g\mapsto\omega_2,\quad C_b\mapsto\omega_3,\qquad \omega_1+\omega_2+\omega_3=0$$

• 방향반전(orientation flip)은 \(i-\omega_i\) (반색)으로 읽는다.

3.2 동적 SU(3) 도입과 IR

• 색을 붙일 포트 면을 선택하면, 그 면의 색 궤도에 대해 동적 글루온 \(C_\mu^A\)를 켠다.
• Wilson형 플라켓 전개로 IR에서

$$\mathcal L_{SU(3)}=-\frac14 G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu},\qquad G^A_{\mu\nu}=\partial_\mu C_\nu^A-\partial_\nu C_\mu^A+f^{ABC}C_\mu^B C_\nu^C$$

• 색 보존은 삼발(Y) 결합에서 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\) 합규칙으로 구현된다. 따라서 바리온 색중성과 메손 단일자가 자동으로 성립.

 

4. 표현·전하: 표준모형과의 일치

4.1 Gell-Mann–Nishijima 형식의 전하

$$\boxed{\,Q=e\Big(I_3+\tfrac12 Y\Big)\,}$$

• \(I_3\): 로터 SU(2)에서 좌이중항 \(I_3=\pm\tfrac12\), 우단일항 \(I_3=0\).
• \(Y=\kappa_X\,s_X\,n(S_X)\): \(S_X\)가 둘러싼 최소 폐곡면의 감김수(정수), \(s_X=\pm1\)는 전역 orientation 부호(반입자 플립), \(\kappa_{\rm lepton}=1\), \(\kappa_{\rm quark}=\tfrac13\) (바리온에서 세 포트가 모여 정수 감김을 형성한다는 해석에 정합).

4.2 값 점검 (좌손 성분 예)

• 렙톤 이중항 \((\nu_L, e_L)\): \(Y=-1\)을 택하면

$$Q(\nu_L)=e\Big(+\tfrac12+\tfrac12(-1)\Big)=0,\quad Q(e_L)=e\Big(-\tfrac12+\tfrac12(-1)\Big)=-e$$

• 쿼크 이중항 \((u_L,d_L)\): \(Y=+\tfrac13\)이면

$$Q(u_L)=e\Big(+\tfrac12+\tfrac12\cdot\tfrac13\Big)=\tfrac{2}{3}e,\quad Q(d_L)=e\Big(-\tfrac12+\tfrac12\cdot\tfrac13\Big)=-\tfrac{1}{3}e$$

• orientation flip \(s\to -s\)는 반입자(\(\bar\nu,e^+\), \(\bar u,\bar d\))로 이동.

요점: 전하 한 식 \(Q=e(I_3+\tfrac12Y)\)로 렙톤·쿼크 전하가 동시에 정확히 재현되고, 그 Y가 감김수(토폴로지)로 기하학적으로 정의되므로, 표준모형의 수치와 케이서의 기하가 한 식으로 묶인다.

 

5. 연속극한·로렌츠 대칭 복원

• Wilson 전개로 U(1),SU(2),SU(3) 모두 \(-\tfrac14F^2\) 꼴로 수렴.
• 분산관계

$$\omega^2(\mathbf k)=c_{\rm eff}^2\,\frac{4}{a^2}\sum_\mu \sin^2\!\frac{k_\mu a}{2} = c_{\rm eff}^2\!\Big(k^2-\frac{a^2}{12}\sum_\mu k_\mu^4+\cdots\Big),$$

\(ka\ll1\)에서 \(\omega\simeq c_{\rm eff}|\mathbf k|\).

• 잔여 위반은 \(\mathcal O((l_p/\lambda)^2)\). 섹터별 유효 광속을 RG로 정렬하면 z=1 (전 섹터 공속)로 IR 로렌츠 대칭이 유효 복원된다.

 

6. 중력과 우주상수: \(V_{\rm eff}\)의 역할

• 유효압력(진공 퍼텐셜)

$$V_{\rm eff}(x)=Z_P\,p_0\,[1-\alpha(x)\,\overline m(x)],$$

메트릭 변분으로 완전 진공 텐서

$$T^{(\rm press)}_{\mu\nu}=-V_{\rm eff}\,g_{\mu\nu}\quad(w=-1).$$

• 총 작용

$$S_{\rm total}=\int\!\sqrt{-g}\,\Big[\tfrac{1}{16\pi G}(R-2\Lambda_{\rm bare}) +\mathcal L_{\rm rotor}+\mathcal L_{U(1)}+\mathcal L_{SU(2)}+\mathcal L_{SU(3)} -\ V_{\rm eff}+\cdots\Big]$$

• 아인슈타인 방정식

$$G_{\mu\nu}+\Lambda_{\rm eff}g_{\mu\nu}=8\pi G\,T^{\rm rest}_{\mu\nu},\qquad \Lambda_{\rm eff}=\Lambda_{\rm bare}+8\pi G\,V_{\rm eff}$$

 

7. 바인딩·선택 규칙·보존 법칙

• 색 보존: 삼발(Y) 결합에서 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\) 유지 ⇒ 바리온 색중성, 메손 단일자.
• 전하 보존: 해밀토니안에서 가우스 제약이 \(\partial_i\Pi^i=\rho\) (비가환은 공변발산)로 강제 ⇒ \(\dot Q=0\).
• 맛 안정성: 짧은 루프 잠금 \(\Lambda_\ell\)이 크면 팔면체 정상형 사이 터널링 억제 ⇒ u,d,s 초선택.
• 반입자 규칙: orientation flip \(s\to -s\), 로터 공액 $$I_3\to -I_3 ⇒ Q\to -Q$$.

8. 요약: 케이서 → 표준모형의 사상

1. 링크 위상 + 루프-잠금 → compact U(1) → IR에서 맥스웰.
2. 노드 SU(2) 로터 + 링크 병렬이동자 → SU(2) YM + 로터 최소결합(약력).
3. 플라켓 순환열의 \(D_4\) 궤도 3종 → 색 3종, SU(3) 기본 가중벡터 임베딩 → SU(3) YM(강력).
4. 감김수 기반 Y + 로터 \(I_3\) → \(Q=e(I_3+\tfrac12Y)\)로 쿼크·렙톤 전하 동시 재현.
5. IR 연속극한에서 세 섹터 모두 \(-\tfrac14 F^2\)로 수렴, 로렌츠 대칭 \(\mathcal O((l_p/\lambda)^2)\) 정확도로 복원.
6. 유효압력 \(V_{\rm eff}\)는 우주상수로 들어가 $$\Lambda_{\rm eff}=\Lambda_{\rm bare}+8\pi G V_{\rm eff}$$