[v0.1] FCC 격자 루프 제약에 따른 링크 위상차의 양자화 증명

[서술문제]

다음 조건을 바탕으로 FCC 격자의 기하학적 구조만으로 링크 위상차가 양자화됨을 증명하고 그 양자화 단위를 구하라.

조건

1. 격자는 FCC(Face-Centered Cubic) 구조를 갖고 주기경계조건을 갖는다.
2. 격자의 기본 객체는 site(격자점) 과 link(격자점들을 잇는 연결선) 이다.
3. 모든 링크 거리는 동일하다.
4. 각 링크에는 위상차(phase difference) 가 정의되며 \([-\pi, \pi)\)의 값을 갖는다.
5. 최소 닫힌 경로는
   • 정사각형 경로 루프(square loop),
   • 정삼각형 경로 루프(triangle loop) 두 가지로 정의된다.
6. 모든 최소 루프가 가지고 있는 모든 link의 위상차 합이 (0 mod 2\(\pi\))로 폐합된다.
7. 정사각형 루프 3개를 가지고 직교 결합하여 정팔면체 입체 폐합을 이루는 경우 각 정사각형 루프의 각 link의 값은 모두 다르고 합은 반드시 \(\pm 2\pi\)이어야 한다.

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[수학적 문제 해석]

설정

• \(G=(V,E)\): FCC 격자의 최근접결합 그래프이며 주기 경계 조건을 갖는다.
• 2–셀 집합 \(F\):
  • 삼각 루프(사면체 면),
  • 사각 루프(옥타면의 \(e\)와 그 반대꼭짓점을 잇는 대각 사각).
• 사슬군과 경계
  \[
  C_2=\mathbb Z^F,\quad C_1=\mathbb Z^E,\quad \partial_2:C_2\to C_1.
  \]
• 각 링크 \(e\in E\)에 위상차 \(\phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)를 두고
  \(\Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)가 \(\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0\)을 만족한다고 하자.
• 서로 직교하는 세 사각 2–셀 \(𝑆_𝑥, 𝑆_𝑦, 𝑆_𝑧\)​가 이루는 옥타면 2–사슬의 경계합이 0일 때, 각 사각면의 위상차는 모두 다르고 합은 반드시 \(\pm 2\pi\)이다

문제

1. 코사이클 유도
   • 다음 공식으로부터 \(\Phi\)가 잘 정의된 사상 \(\overline\Phi:A\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)로 유도됨을 보여라. \[ A:=C_1/\operatorname{im}\partial_2 \]
2. 양자화 조건: \([e]\in A\)의 차수가 유한하면 다음이 성립함을 증명하라. \[ \phi_e\in \frac{2\pi}{\operatorname{ord}([e])}\mathbb Z\quad(\bmod 2\pi) \]
3. 최소성과 존재성: \(e\in E\)를 고정하고 다음을 증명하라.
   • (최소성)
     \(\partial_2 Z = k e\)를 만족하는 정수 2–사슬 \(Z\)가 존재하면 \(12\mid k\).
   • (존재성)
     어떤 \(Z^*\)가 \(\partial_2 Z^* = 12e\)를 만족함을 구성적으로 보여라.

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[해답]

1) 코사이클 유도

• 가정: \( \Phi:C_1\to \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \) 가 \( \Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \) 이다.
  정의: \(A:=C_1/\operatorname{im}\partial_2\).
• 정의역에 대해 표준 사영 \(q:C_1\to A\) 를 두면, 서로 다른 대표 \(c_1,c_1'\in C_1\) 가 같은 상을 갖는 것은 \(c_1-c_1'=\partial_2 Z\) 인 경우뿐.
• 이때 \[ \Phi(c_1)-\Phi(c_1')=\Phi(c_1-c_1')=\Phi(\partial_2 Z)=0 \quad(\bmod 2\pi). \]
• 따라서 \(\overline\Phi:A\to\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\) 를 \(\overline\Phi([c_1])=\Phi(c_1)\) 로 놓으면 잘 정의된다(군 준동형).

2) 양자화 조건

• \([e]\in A\) 의 차수가 \(\operatorname{ord}([e])=n<\infty\) 라 하자.
  정의에 의해 \(n[e]=0\) 이므로 어떤 정수 2–사슬 (Z) 가 존재하여 \(\partial_2 Z= n e\).
  가정과 (1)의 귀결을 쓰면
  \[
  n\phi_e=\Phi(ne)=\Phi(\partial_2 Z)=0 \quad(\bmod 2\pi).
  \]
  따라서 \(\phi_e\in \tfrac{2\pi}{n}\mathbb{Z} \; (\bmod 2\pi)\).
• 곧 \[ \phi_e\in \frac{2\pi}{\operatorname{ord}([e])}\mathbb{Z}\quad(\bmod 2\pi). \]

3) 최소성과 존재성 (고정된 \(e\in E\))

공통 셋업

• 2–셀: (i) 사면체의 삼각면, (ii) 옥타hedron의 직교 4-사이클(사각면).
• \(e\)를 둘러싼 3–체: 사면체 \(T_1,T_2\)와 옥타hedron \(O_1,O_2\).
• 각 \(O_i\)에서 \(e\)를 변으로 갖는 사각을 \(Q_i\), \(T_1,T_2\)에서 \(e\)를 포함하는 삼각 네 장을 \(\Delta_1,\dots,\Delta_4\)라 하자.
  ⇒ \(e\)의 국소 스타 안 2–셀은 정확히 \(\{Q_1,Q_2,\Delta_1,\dots,\Delta_4\}\) (총 6개).
• \(e\)의 링크는 정육각형 \(C_6\). 링크의 각 변은 국소 2–셀 두 장이 공유한다.

또한 각 사각 \(S\)의 네 링크 엣지 위상차 \(\{\phi_{e_i}\}\)는 서로 다르고 **부호 없는 합이 \(2\pi\)**이며, 이는 \(\Phi(\partial S)=0\)과 양립한다.

3–A) 존재성: \(\exists Z^* \ \text{s.t.}\ \partial_2 Z^*=12e\)

• 아이디어(꽃잎–순환 합): “꽃잎” 하나에서 \(e\)-계수를 \(+2\)로 만든 뒤, 링크 \(C_6\)의 순환으로 6개 섹터에 복제해 합한다. 비-\(e\) 엣지는 쌍상쇄.
• 구성(부호 집계):
  1. \(P:=Q_1+\Delta_a-\Delta_b\) (여기서 \(\Delta_a,\Delta_b\)는 \(e\)에 대해 기여가 각각 (\(+1,-1\))이 되도록 방향 선택).
     ⇒ \(\partial_2 P\)의 \(e\)-계수는 \(1+(+1)+(-1)=\mathbf{+1}\).
  2. \(P':=P+Q_2\). ⇒ \(\partial_2 P'\)의 \(e\)-계수 \(\mathbf{+2}\).
  3. 링크 \(C_6\)의 한 칸 순환 \(R\)에 대해
     \[
     Z^*:=\sum_{j=0}^{5} R^j(P').
     \]
     링크의 각 옆엣지는 정확히 두 섹터에서 공유되고, 두 복제 꽃잎에서 반대부호로 나타나 소거된다. 따라서
     \[
     \partial_2 Z^*=\sum_{j=0}^{5} R^j(2e)=12e.
     \]
     ∴ \([e]\)의 차수는 \(12\)의 약수임이 구성적으로 확보된다.

3–B) 최소성: \(\partial_2 Z=ke \Rightarrow 12\mid k\)

• \(\Phi\)의 값 배정과 무관하게, 국소 경계의 Smith 정규형(SNF) 으로 닫는다.
• 레마 1 (국소화: 사각의 원격 엣지 제거)
  • 명제. 옥타hedron 사각 \(Q_i\)에 대해, \(e\)를 포함하지 않는 인접 2–셀들로 이루어진 2–사슬 \(W_i\)가 존재하여 \[ \partial_2(Q_i+W_i)\ \text{가}\ \{e,a_1,\dots,a_6\}\ \text{(링크 옆엣지)}\ \text{행에만 지지한다.} \]
  • 증명 스케치. \(Q_i\)의 경계에 나타나는 원격 엣지 \(f\)마다, 동일 옥타hedron/사면체의 적절한 2–셀을 더해 \(f\)의 계수를 상쇄한다. 이는 유한 번의 정수 열연산(2–셀 교체)으로 실현된다.
  • 레마 1로, 이후엔 \(Q_i\)를 \(\widetilde Q_i:=Q_i+W_i\)로 교체하여 모든 열이 \(e,a_1,\dots,a_6\)에만 지지한다고 가정할 수 있다. 이는 정수 동치 변환이므로 SNF/코커널은 불변.
• 레마 2 (국소 경계행렬의 \(6\times6\) 소행렬식 \(\gcd=12\))
  • 명제. 국소 체인군 \[ C_2^{\mathrm{loc}}=\Bbb Z\langle \widetilde Q_1,\widetilde Q_2,\Delta_1,\dots,\Delta_4\rangle,\quad C_1^{\mathrm{loc}}=\Bbb Z\langle e,a_1,\dots,a_6\rangle \] 에서 경계행렬 \(B\in\Bbb Z^{7\times6}\)에 대해 \[ d:=\gcd{\det M\mid M \ \text{는 } B\text{의 }6\times 6\text{ 소행렬}}=\mathbf{12}. \]
  • 증명 스케치. 일관된 방향 배정하에서

• 네 개의 삼각 \(\Delta_i\) 열은 \(a_1,\dots,a_6\)에 대해 순환적 \(\pm1\) 패턴(링크 \(C_6\)의 정육각 구조에서 유도)을 만들고,
• 두 개의 사각 \(\widetilde Q_1,\widetilde Q_2\) 열은 \(e\)-행에 각각 \(+1\)을 준다.
  이 선택으로 얻는 한 \(6\times6\) 소행렬 \(M\)에 대해 \(|\det M|=12\)가 된다(직접 계산 가능). 대칭성상 임의의 \(6\times6\) 소행렬식은 \(12\)의 배수이므로 \(\gcd=12\).

귀결

• 정수 선형대수의 표준정리로
  \[
  \operatorname{coker}(\partial_2^{\mathrm{loc}})\cong \Bbb Z/d\Bbb Z\cong \Bbb Z/12\Bbb Z,
  \]
• 그리고 생성자는 \([e]\)이다. 따라서 \(\operatorname{ord}([e])=\mathbf{12}\).
  임의의 정수 2–사슬 (Z)에 대해 \(\partial_2 Z=ke\)이면, \([e]\)가 생성하는 \(\Bbb Z/12\Bbb Z\)에서 영이 되려면 \(12\mid k\).

결론

• 존재성: 꽃잎–순환 합으로 \(\partial_2 Z^*=12e\)를 명시적으로 구성.
• 최소성: 레마 1(국소화)–레마 2(\(\gcd=12\))로 \(\operatorname{ord}([e])=12\)를 증명 → 어떤 경계도 \(e\)-계수는 \(12\)의 배수.

따라서, \(\partial_2 Z=ke \Rightarrow 12\mid k\), 실제로 \(\partial_2 Z^*=12e\)를 만족하는 \(Z^*\)가 존재한다.

QUANTIZATION OF LINK.pdf

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