[v0.1] LGT와 Qaether이론에서의 플라켓의 순환열 3종 역할

최근에 내가 Qaether 이론에서 “플라켓을 따라 읽은 순환열(사이클 순서) 3종 = 색 3종”으로 두고 색전하를 정의한 적이 있다. 운이 좋게도 상당히 정합한 부분이 많아서 이를 이용하여 Qaether 이론을 전개하고 있다. 그러나 재미있게도 Qaether이론과 구조적으로 동치인 표준 격자 게이지 이론(LGT)에서는 “플라켓을 따라 읽은 순환열(사이클 순서) 3종 = 색 3종”으로 두면 문제가 생긴다. Qaether에선 전제가 달라서 그런 결론이 얻어진다. 그래서 어떤 차이가 있는지 확인하고자 한다.

 

왜 표준 LGT에선 곤란한가

• 게이지·켤레 불변성: SU(3) 링크 \(U_\mu(x)\)에서 관측량은 \(\mathrm{Tr}\,U_{\square}\), 윌슨 루프 등 “켤레류”에만 의존. 플라켓을 돌며 곱한 순서는 비가환이라 중간 과정에 영향은 있지만, 최종 \(\mathrm{Tr}\)는 순환대칭이라 “어느 순서로 읽었는가”는 관측불변량이 아님. 따라서 순환열을 물리적 양자수(색)로 쓸 수 없다.
• 색은 ‘부착된 표현’: QCD에서 색전하는 물질장(퀀크)의 표현(\(3, \bar 3\), …)으로 주어진다. 이는 사이트/링크에 붙인 내부지수이지, 하나의 플라켓 미세배치가 만드는 양자수가 아님.
• 중심·Weyl 구조: 방향반전으로 얻는 복소켤레(anti-color) 대응은 선택한 경로·표현에 종속. “사각 플라켓의 순환열”만으론 안정적인 색 라벨이 나오지 않는다.

 

왜 Qaether에선 성립하는가 (전제가 다름)

Qaether 이론은 색을 “SU(3) 지수의 내부지수”가 아니라, 고정된 위상 플럭스 부문에서 남는 미세배치의 위상·조합학적 불변량으로 정의한다.

1. 기본 자유도 다름
   정점 SU(2) 쿼터니언 \(q_i\)와 링크 \(\Delta q_{ij}\)에서 U(1) 섬유를 뽑아 12분할 위상 정수 \(\zeta_{ij}\in\mathbb Z_{12}\)로 기술하고, 루프 리프트를 통해 $$\sum_{\square}\zeta_{ij}=12 \;\;(\Leftrightarrow\; \sum\Delta\phi=2\pi,\; SU(2)\text{ 중심 }-\mathbb I\text{ 부문})$$ 을 에너지 동등의 고정된 위상 부문으로 결정. 이 부문 고정 덕분에 에너지가 동일한 상태들 중 미세배치의 종류가 물리적으로 남는다.
2. 3종은 관측불변 ‘디헤드럴 궤도’: 서로 다른 네 값 \(a<b<c<d\)일 때, 플라켓을 따라 읽은 원순열 24개를 정사각 격자 대칭 \(D_4\) (회전·반사)로 나누면 정확히 \(\frac{24}{|D_4|}=\frac{24}{8}=3\)개의 궤도(동치류)만 남습니다. 우리는 이 동치류 자체를 색 \(\{r,g,b\}\)로 둡니다.
   • 기저·출발점 변경(순환), 회전·반사에 불변 → 관측자·게이지 선택과 무관한 라벨.
   • 반전은 곧 방향반전 ⇒ 반색으로 대응시킬 수 있습니다(\(\omega\to-\omega\)).
3. SU(3) 가중벡터로의 ‘정적 임베딩’
   세 동치류 \(\{C_r,C_g,C_b\}\)를 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\)에 고정 매핑하면 $$\omega_1+\omega_2+\omega_3=0,\quad \alpha_1=\omega_1-\omega_2,\;\alpha_2=\omega_2-\omega_3$$ 이 자연히 성립합니다. 즉 색중성(바리온), 반색(\(-\omega\)), 단순근/Cartan 구조가 조합학적 규칙으로 재현됩니다. 여기에 동적 글루온 A를 곱해 $$\Xi_{ij}=e^{iC\cdot H}e^{-ig_sA_{ij}}$$로 두면 BCH 혼합으로 비대각 글루온까지 살아납니다(색-게이지 상호작용 존재).
4. Bianchi(Y-결합) 일관성
   입방체 6면 플럭스 $$k_f=\frac1{12}\sum_{e\subset f}\zeta_e\in\mathbb Z$$가 \(\sum_{f}\sigma_f\,k_f=0\) 을 만족해야 하므로, 색 플럭스는 Y-정합으로만 분기·종결되고, 삼발 결합에서 \(\omega_1 + \omega_2 + \omega_3=0\)이 보존법칙으로 작동합니다.
5. 관측 가능성의 층위가 다름
   표준 LGT에선 순환열은 추가 물리량 아님(켤레류만 관측). Qaether에선 “고정된 \(2\pi\) 플럭스 부문”이라는 위상 제약을 먼저 걸고, 그 부문 안의 미세배치(디헤드럴 궤도)가 실제 상이한 내부구조(루프-결합에 결맞음 차이를 남김)로 취급됩니다. 즉 “색=미세배치의 위상적 클래스”라는 새 관측층위가 정의됩니다.

언제 이 정의가 무너지는가(경계조건)

• 플라켓 네 값 중 중복이 있으면 궤도 수가 3→2→1로 붕괴(“무색/부분파손”).
• 플럭스 부문을 고정하지 않으면(예: \(\sum\zeta\neq12\)) 에너지 분리와 위상보호가 사라져 색 라벨이 의미 약화.
• 열적/양자 터널링으로 서로 다른 궤도 사이 전이가 충분히 빠르면(갭이 작으면) 색 초선택이 깨집니다. → 실질적으론 해당 갭이 UV 스케일에서 충분히 커야 함.

요약(짧게)

• 표준 LGT: 순환열은 관측불변량이 아니므로 색 라벨로 쓸 수 없음.
• Qaether:
  • \(2\pi\) 플럭스 부문 고정,
  • \(\mathbb Z_{12}\) 위상과 \(D_4\) 대칭으로 남는 3개의 디헤드럴 궤도를 색으로 정의,
  • SU(3) 가중벡터에 정적 임베딩 + 동적 글루온으로 상호작용 구현,
  • Bianchi로 Y-정합/색보존 확보.
    → 그래서 “순환열 3종 = 색 3종”이 Qaether에서는 물리적입니다.