격자게이지 이론에서 플라켓 위상차 양자화 모델을 이용한 SU(3) 게이지 대칭 창발

플라켓 위상차 양자화 모델에서 SU(3) 게이지 대칭 창발 과정을 단계별로 정리한 내용입니다.

 

1. 가정 및 출발점

• 플라켓 위상합 평탄 조건$$\Theta_{\mu\nu}(x) = \theta_\mu(x) + \theta_\nu(x+\hat\mu) - \theta_\mu(x+\hat\nu) - \theta_\nu(x) = 0 \quad (\bmod\,2\pi)$$
• 링크 위상 양자화$$\theta_\mu(x) = n_\mu(x)\,\delta,\quad n_\mu(x)\in\mathbb Z,\quad \delta = \frac{2\pi}{N} \quad (N≥3\;\text{일 때 충분한 이산화 단위로 SU(3) 연속극한으로의 부드러운 연결 가능})$$

이로써 각 링크는 \(\mathbb Z_N\) 값으로 제한되고, 플라켓마다 “이산 곡률”이 0이 되며 순수 게이지 해(pure gauge)를 이룹니다.

 

2. 플라켓 위상차의 순열과 동치류

• 4개의 위상값 {a,b,c,d}을 플라켓 주위를 따라 임의로 배치할 때 가능한 순열 수는 4! = 24가지.
• 이 중 순환 대칭(\(\mathbb Z_4\))과 반전 대칭(\(\mathbb Z_2\))을 동치로 묶으면\(\frac{4!}{4\times2} = 3\)개의 독립 동치류만 존재.
• 이 3개 동치류를 각각 SU(3) 기본 표현의 세 가지 색전하 채널에 대응시킬 수 있는 기반이 된다.

 

3. 동치류 ↔ SU(3) weight 벡터 매핑

동치류	대표 순열	대응 weight \(\omega\in\) Cartan 공간
Ⅰ	(a,b,c,d)	$$\omega_1=(1,0)$$
Ⅱ	(a,b,d,c)	$$\omega_2=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2})$$
Ⅲ	(a,c,b,d)	$$\omega_3=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2})$$

• 3개의 동치류가 곧 SU(3) 기본 표현의 weight 3개와 일대일 대응.
• Weyl 군 \(S_3\) 작용(순환·반전)이 weight 벡터의 순열·반전에 대응.

 

4. 대각 SU(3) 링크 변수 해석

• 부록 A에서 정의한 두 생성자 Cartan \(H_1, H_2\)를 이용해 $$\omega_k \cdot H(x)= \omega_k^1\;H_1 + \omega_k^2\;H_2, \quad k=1,2,3$$
• 이에 대응하여 대각링크변수는 $$ U_\mu(x) = \exp\bigl(i\,\delta\,(\omega_k^i H_i)\bigr)$$
• 국소 게이지 변환$$U_\mu(x)\;\to\;G(x)\,U_\mu(x)\,G^{-1}(x+\hat\mu),\quad G(x)\in SU(3)$$→ 세 가지 weight 성분이 서로 섞이며 완전한 SU(3) 자유도가 창발.

 

5. 창발적 SU(3) 대칭의 확인

• Lie 대수 구조:
  Cartan 생성자 \(H_i\)와 뿌리 생성자 \(E_{\pm\alpha}\)들이 \([H_i,E_{\alpha}]=\alpha_iE_{\alpha},[E_{\alpha},E_{-\alpha}]=\alpha_iH_i\) 관계를 만족.
• Weyl 군:
  플라켓 순열·반전이 SU(3) weight의 Weyl 반사를 재현.
• Wilson loop(플라켓 행렬)
  $$\,U_{\mu\nu}(x)=\exp(i\Theta_{\mu\nu}(x)) \to \text{비대각 방향 결합을 추가} \to \text{완전한 SU(3) 게이지 이론}$$

 

6. 오프‑대각 게이지 자유도 도입

• 전체 SU(3) 링크 변수
  Cartan 부분 \(H\) 외에 오프‑대각 방향의 뿌리 생성자 \(E_{\pm\alpha}\)를 포함하여$$U_\mu(x) = \exp\!\Bigl[i\,\delta\,H(x) \;+\; i g \sum_{\alpha=1}^6 A_\mu^{\alpha}(x)\,E_{\alpha}\Bigr] \;\in SU(3)$$
  • \(A_\mu^\alpha(x)\)는 오프‑대각 게이지장 컴포넌트.
  • g는 게이지 결합 상수.
• 유효 작용 (Wilson 격자 작용)$$S_{\rm gauge} = \frac{1}{g^2}\sum_{x,\mu<\nu}\Re\operatorname{Tr}\bigl[1 - U_{\mu\nu}(x)\bigr], \quad U_{\mu\nu}(x)=U_\mu(x)U_\nu(x+\hat\mu)U_\mu^\dagger(x+\hat\nu)U_\nu^\dagger(x)$$
  • 연속 극한(\(a \to 0\)) 에서 $$\Re\operatorname{Tr}[1-U_{\mu\nu}]\approx \frac{a^4}{2}\,F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}$$
• 페르미온(쿼크) 장 도입$$S_{\rm matter} = \sum_{x,y}\bar\psi(x)\,\bigl[D_{xy}[U]+m\,\delta_{xy}\bigr]\,\psi(y)$$ $$D_{xy}[U] = \frac12\sum_\mu\Bigl[\,(1-\gamma_\mu)U_\mu(x)\,\delta_{y,x+\hat\mu} +(1+\gamma_\mu)U_\mu^\dagger(x-\hat\mu)\,\delta_{y,x-\hat\mu}\Bigr]$$

 

7. 플라켓 결함(\(\Theta \ne0\))과 색전하 소스

• 결함 국소화
  일부 플라켓에서
  $$\Theta_{\mu\nu}(x)=2\pi\,q_{\mu\nu}(x)\neq0, \quad q\in\mathbb Z$$로 두어 “이산 자기장” 결함을 삽입.
• 색전하 소스 항
  결함 위치 \(x\)의 dual lattice site \(\tilde x\)에 대응해$$S_{\rm source} = i\sum_{\tilde x,a} \,\rho^a(\tilde x)\,\phi^a(\tilde x)$$
  • \(\rho^a\): 색전하 밀도(결함량),
  • \(\phi^a\): dual gauge potential (플럭스 튜브 양상).
• 수론방정식
  변분원리에서
  $$\delta S_{\rm gauge}/\delta U + \delta S_{\rm source}/\delta U = 0$$
  ⇒ 결함점 주위로 국소적인 비평탄(curvature) 영역이 형성.

 

8. 색전하 동역학과 가둠 메커니즘

• Wilson loop 관측량
  닫힌 경로 \(C\)에 대한
  $$\langle W(C)\rangle=\langle\operatorname{Tr}\prod_{l\in C} U_l\rangle$$
  강결합(\(g\gg1\))에서
  $$ \langle W(C)\rangle \;\sim\;(1/N)^{A(C)} \;\approx\;e^{-\sigma\,A(C)}, \quad \sigma = -\ln\bigl(1/N\bigr) $$
  ⇒ 면적 법칙(area law) 가둠.
• 플럭스 튜브 모형
  결함(쿼크) 사이를 잇는 “색 플럭스 튜브”가 형성되고, 선형 퍼텐셜 \(V(r)\approx\sigma\,r\) (장력 \(\sigma\)) 유도.
• 격자 시뮬레이션 제안
  • \(\rho^a(\tilde x)\)를 특정 색 채널(defect class)으로 할당.
  • Monte Carlo를 통해 \(\Theta_{\mu\nu}\neq0\) 결함 삽입 시 Wilson loop 행동 변화 관측.
  • 색전하 쌍 생성·소멸, 가두기 길이 스케일 추출.

 

부록: Cartan 정규화 보강 

A. Cartan 생성자 정규화 및 Weight 매핑 보강

• SU(3) Cartan 생성자 표준형:$$H_1 = \tfrac12\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad H_2 = \tfrac{1}{2\sqrt3}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$$이때 $$\operatorname{Tr}(H_iH_j)=\tfrac12\delta_{ij}$$
• 동치류 대응 Weight 벡터를 Cartan 공간에서 \(\omega_k^i H_i \)로 매핑하여 \(\exp\bigl[i\delta(\omega_k^i H_i)\bigr]\)가 링크변수임을 보강.

 

B. Baker–Campbell–Hausdorff 전개로 Gluon 활성화 메커니즘

• Cartan 부분 \(X=i\delta (\omega\cdot H) \)와 뿌리 생성자 \(Y= i\,g\,A_\mu^\alpha E_\alpha \)에 BCH 공식을 적용: $$e^{X}Y\,e^{-X} = Y + [X,Y] + \tfrac12[X,[X,Y]] + \cdots = e^{i\delta\,\alpha_i\omega_i}\,E_\alpha $$
• 이를 통해 $$U_\mu(x) = e^{i\delta(\omega\cdot H)}\,e^{i\,g\,A_\mu^\alpha E_\alpha}$$ 에서 Cartan 성분과 off‑diagonal 뿌리 성분이 교차 작용하며, \(E_\alpha\) 방향 글루온이 활성화됨을 명시적으로 확인합니다.

 

C. 연속 극한 전개로 Yang–Mills 장강도장 \(F_{\mu\nu}\) 유도

• 플라켓 변수  $$U_{\mu\nu}(x) = U_\mu(x)\,U_\nu(x+\hat\mu)\,U_\mu^\dagger(x+\hat\nu)\,U_\nu^\dagger(x) = \exp\!\bigl(i\,a^2\,\mathcal F_{\mu\nu}(x) + \mathcal O(a^3)\bigr)$$
• 여기서 장강도 행렬 (\(\mathcal F_{\mu\nu} = F_{\mu \nu}^a T^a\): Lie 대수원소) $$\mathcal F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + i\,g\,[A_\mu,A_\nu], \quad A_\mu = A_\mu^\alpha\,E_\alpha + A_\mu^i\,H_i$$
• 따라서 Wilson 격자 작용 $$\displaystyle S_{\rm gauge}=\tfrac1{g^2}\sum\Re\operatorname{Tr}[1-U_{\mu\nu}]$$
• 연속극한에서 다음으로 귀결 $$S_{\rm gauge} \;\xrightarrow[a\to0]{}\; \int d^4x\;\tfrac12\,\operatorname{Tr}\bigl[\mathcal F_{\mu\nu}\,\mathcal F^{\mu\nu}\bigr]$$

 

D. 강결합 전개 및 면적 법칙 계수 계산

• 강결합(\(g\gg1\)) 영역에서 Wilson loop \( \displaystyle W(C)=\operatorname{Tr}\prod_{l\in C}U_l \)을 전개하면 최초 근사로  $$ \langle W(C)\rangle \;\sim\;(1/N)^{A(C)} \;\approx\;e^{-\sigma\,A(C)}, \quad \sigma = -\ln\bigl(1/N\bigr) $$
• 실제 수치는 몬테카를로 방법을 이용해서 확인필요.

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