[v1.3] 아인슈타인 방정식 유도와 우주상수

1. 개요(요지)

• 케이서 격자(간격 \(a=l_p\))에서 링크/플라켓 변수를 곡률로 전개하면, IR에서 표준 Yang–Mills(U(1), SU(2), SU(3))로 수렴하고, 로렌츠 대칭은 \(\mathcal O\!\big((l_p/\lambda)^2\big)\) 정확도로 유효 복원된다.
• 라그랑지안의 유효압력 항은 도함수가 없는 스칼라 퍼텐셜이므로 곡률 배경으로 올리면 완전 진공 텐서 \(T^{(\rm press)}_{\mu\nu}=-V_{\rm eff} g_{\mu\nu}\)를 만들어 우주상수로 작용한다:$$\Lambda_{\rm eff}\;=\;\Lambda_{\rm bare}+8\pi G\,V_{\rm eff}$$
• 케이서의 점접촉 가정에서 접점 면적 비율 \(\alpha\ll1\)은 자연스럽다. 관측 \(\Lambda_{\rm obs}\)를 맞추기 위한 \(\alpha\)의 해석은 “유효 결합분율(renormalized participation ratio)”로 두는 것이 정합적이다(기하학적 면적 자체가 아님).

 

2. 규약(부호·정규화·측도)

• 시그니처: (-,+,+,+),   \(\sqrt{-g}\equiv\sqrt{-\det g_{\mu\nu}}\).
• 생성자 정규화: $$\mathrm{Tr}(T^aT^b)=\tfrac12\delta^{ab}$$
• 격자→연속: $$\sum_i a^4 \to \int d^4x\,\sqrt{-g}, \quad a=l_p \quad \text{(플랑크 격자 간격 고정).}$$
• 변분 규약: $$\delta\sqrt{-g}=-\tfrac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$$
  $$T_{\mu\nu}\equiv-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\delta S_{\rm matter}}{\delta g^{\mu\nu}}$$

 

3. 격자 게이지 부문 → IR 연속극한과 로렌츠 대칭 복원

3.1 링크·플라켓의 곡률 전개

$$U_{i,i+\hat\mu}(x)=\exp\!\big(i\,a\,g\,A_\mu(x)\big),\qquad U_{\mu\nu}(x)=\exp\!\big(i\,a^2 g\,F_{\mu\nu}(x)+\mathcal O(a^3)\big)$$ $$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+i[A_\mu,A_\nu]$$

3.2 윌슨 항의 연속극한

$$S_{\rm lat}=-\frac{1}{g^2}\sum_x\sum_{\mu<\nu}\Re\,\mathrm{Tr}\,U_{\mu\nu}(x) \ \Rightarrow\ \boxed{\ \mathcal L_{\rm YM}=-\frac{1}{4g^2}\,\mathrm{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})\ }$$

정규화로부터 $$\mathrm{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})=\tfrac12 F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu} \quad ⇒\quad \mathcal L_{\rm YM}=-\tfrac14 F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$$

• U(1): \(\beta\sum_\Box(1-\cos\Phi)\) → \(\beta=1/e^2\) 규약에서 \(-\tfrac14 F^2\).
• SU(2), SU(3): 동일하게 \(-\tfrac14 F^2\), \(-\tfrac14 G^2\).

3.3 로렌츠 대칭 유효 복원

격자 분산관계(예: Wilson):

$$\omega^2(\mathbf k)=c_{\rm eff}^2\,\frac{4}{a^2}\sum_\mu \sin^2\!\frac{k_\mu a}{2} = c_{\rm eff}^2\left(k^2-\frac{a^2}{12}\sum_\mu k_\mu^4+\cdots\right)$$

따라서 \(ka\ll1\)에서 \(\omega\simeq c_{\rm eff}|\mathbf k|\).
로렌츠 위반은 \(\mathcal O(a^2 k^3)\sim\mathcal O((l_p/\lambda)^2)\)로 억제.
모든 섹터\((U(1)/SU(2)/SU(3)/로터)\)의 유효 광속 \(\{c_{U(1)},c_2,c_3,c_q\}\)가 RG에서 동일한 값으로 정렬되도록(동역학 지수 \(z=1\)) 파라미터를 캘리브레이션한다.

 

4. 유효압력(퍼텐셜) → 우주상수 항: 격자→연속→곡률→변분

4.1 시작점(자율형 라그랑지안)

$$\widetilde{\mathcal L}_{\rm press}^{\rm lat} =-E\sum_i P_i(m_i),\qquad P_i(m_i)=p_0\bigl(1-\alpha\,m_i\bigr)$$

4.2 연속장·곡률 배경 승격

$$S_{\rm press}=-\sum_i E\,a^4\,P_i\ \longrightarrow\ -\int d^4x\,\sqrt{-g}\;V_{\rm eff}(x)$$ $$\boxed{\,V_{\rm eff}(x)=Z_P\,p_0\,\bigl[1-\alpha(x)\,\overline m(x)\bigr]\,}$$

여기서 \(\overline m\in[0,12]\), \(\alpha\ll1\), \(Z_P\)는 재정규화 상수.
가정(정합성 핵심): IR 균질에서는 \(V_{\rm eff}\)가 메트릭 비의존 스칼라.

4.3 메트릭 변분 → 완전 진공 텐서

$$\delta S_{\rm press} =-\int d^4x\,\delta\sqrt{-g}\;V_{\rm eff} =+\frac12\int d^4x\,\sqrt{-g}\;V_{\rm eff}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$$

따라서

$$\boxed{\,T^{(\rm press)}_{\mu\nu}=-V_{\rm eff}\,g_{\mu\nu}\,},\qquad \rho_\Lambda=V_{\rm eff},\quad p_\Lambda=-V_{\rm eff},\quad w=-1$$

4.4 아인슈타인–힐베르트 작용과 \(\Lambda_{\rm eff}\)

$$S_{\rm tot}=\frac{1}{16\pi G}\!\int\! d^4x\,\sqrt{-g}\,(R-2\Lambda_{\rm bare}) +S_{\rm rest}-\int\! d^4x\,\sqrt{-g}\,V_{\rm eff}$$

변분하면

$$\boxed{\,G_{\mu\nu}+\Lambda_{\rm eff}g_{\mu\nu}=8\pi G\,T^{\rm rest}_{\mu\nu}\,},\qquad \boxed{\,\Lambda_{\rm eff}\equiv \Lambda_{\rm bare}+8\pi G\,V_{\rm eff}\,}$$

추적: $$R=4\Lambda_{\rm eff}-8\pi G\,T^{\rm rest}$$ (진공에선 \(R=4\Lambda_{\rm eff}\)).

 

5. 점접촉(\(\alpha\ll1\)) 전개와 물리 해석

$$V_{\rm eff}=Z_P\,n\,p_0\,[1-\alpha\,\overline m] \Rightarrow \Lambda_{\rm eff} =\underbrace{(\Lambda_{\rm bare}+8\pi G Z_P p_0)}_{\Lambda_*} -\underbrace{8\pi G Z_P p_0\,\alpha\,\overline m}_{\delta\Lambda} +O(\alpha^2)$$

• \(\Lambda_*\): \(\alpha=0\) 기저 우주상수(케이서 내부 에너지 + 베어 항).
• \(\delta\Lambda\propto\alpha\) 선형 잔여. 점접촉이면 \(\alpha\ll1\) 자연.
• 관측 \(\Lambda_{\rm obs}>0\)가 매우 작으면 \(\Lambda_*\) 부분 상쇄 + \(\delta\Lambda>0\) 잔여로 설명 가능.

해석 주의: \(\alpha\)는 “기하학적 면적비율” 그 자체보다는, 위상 상쇄/희소 활성 접촉/터널링 억제 등으로 얻어지는 유효 결합분율로 보는 것이 자연스럽다(지수적 작아짐 허용).

 

6. 정합성 체크

• 공변변분·부호·차원:
  $$T^{(\rm press)}_{\mu\nu}=-V_{\rm eff}g_{\mu\nu} \quad \text{(부호 OK),}$$ $$[V_{\rm eff}]=\text{에너지밀도}, \quad [8\pi G V_{\rm eff}]=\text{길이}^{-2} ⇒ [\Lambda]=\text{길이}^{-2}$$
• 바이안키 항등식:$$\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0\Rightarrow \partial_\nu\Lambda_{\rm eff}=8\pi G\,\nabla^\mu T^{\rm rest}_{\mu\nu}$$ 균질 IR에서 \(\Lambda_{\rm eff}\) 상수이면 $$\nabla^\mu T^{\rm rest}_{\mu\nu}=0$$ 비상수면 상호작용 소스 \(Q_\nu=\frac{1}{8\pi G}\partial_\nu\Lambda_{\rm eff}\) 도입.
• 뉴턴 극한: $$ \nabla^2\Phi=4\pi G \rho_{\rm rest}-\Lambda_{\rm eff}/2 \quad \text{(반발항 일관).}$$
• FLRW 우주론: $$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho_{\rm rest}+\frac{\Lambda_{\rm eff}}{3}-\frac{k}{a^2}, \quad \ddot a/a=\frac{\Lambda_{\rm eff}}{3}-\frac{4\pi G}{3}(\rho_{\rm rest}+3p_{\rm rest})$$ \(\Lambda_{\rm eff}>0\)면 가속.
• 로렌츠 유효 복원: \(T^{(\rm press)}_{\mu\nu}\propto g_{\mu\nu}\)는 프레임 독립 ⇒ 복원과 양립. 격자 오차 \(\sim(l_p/\lambda)^2\).
• 안정성: 스칼라 상수 퍼텐셜만 추가 → 고차 시간미분 X, 고스트/타키온 X.

 

7. 수치 스케일 추정과 \(\alpha\)

7.1 백오브엔벨롭

관측 다크에너지 밀도 \(\varepsilon_\Lambda=\Lambda_{\rm obs}/(8\pi G)\approx 5.3\times 10^{-10}\,{\rm J/m^3}\) 

플랑크 밀도 \(\varepsilon_P\sim 4.6\times 10^{113}\,{\rm J/m^3}\).
\(a=l_p\)에서 \(p_0\sim \varepsilon_P\)로 보면

$$\frac{\varepsilon_\Lambda}{Z_P\,p_0} \sim \frac{10^{-10}}{Z_P\times 10^{113}} \sim \frac{10^{-123}}{Z_P}$$

즉

$$\boxed{\ \alpha_{\rm req}\;\simeq\;\frac{\varepsilon_\Lambda}{Z_P\,p_0\,\overline m} \ \sim\ \frac{10^{-123}}{Z_P\,\overline m}\ }\ \Rightarrow\ (Z_P\simeq1,\ \overline m\simeq6)\ \Rightarrow\ \alpha_{\rm req}\sim 2\times 10^{-124}$$

7.2 해석 전략

• 전가(α가 전부): 루프‑잠금, 위상 상쇄, 터널링 억제 등으로 \(\alpha\)를 지수적으로 작게(유효 결합분율).
• 분담(부분 상쇄 + 작은 α): \(\Lambda_*\)를 이론적 메커니즘으로 \(10^{-60}\)대까지 낮추고, \(\alpha\overline m Z_P\sim10^{-63}\)만 요구 ⇒ \(\alpha\)는 “매우 작지만 현실적” 범위(예: \(10^{-6}\!\sim\!10^{-12}\))도 가능.

 

8. 비균질 보정과 유효 탄성 항

\(\alpha(x),\,\overline m(x),\,n(x)\) 변동이 있으면

$$T^{(\rm press)}_{\mu\nu} =-V_{\rm eff}g_{\mu\nu} +\big(\nabla_\mu\nabla_\nu-g_{\mu\nu}\Box\big)\,\Xi(x)$$

\(\Xi\)는 위 변수들의 함수. 이 보정은 \(O(\partial^2)\)이며 IR에서 \(\sim(l_p/\lambda)^2\)로 억제.
\(\Lambda_{\rm eff}\)가 시간 변화하면 \(w(z)\) 편차 \((w=-1+\delta w)\)에 제약을 받으므로 \(|\dot\Lambda_{\rm eff}/(H\Lambda_{\rm eff})|\ll1\) 필요.

 

9. 로렌츠 복원 품질 개선

• Symanzik 개선: 사각+직사각(“클로버”) 조합으로 \(O(a^2)\) 오차 감소.
• 속도 정렬 검증: 각 섹터의 2점함수 분산을 피팅해 \(\{c_{U(1)},c_2,c_3,c_q\}\) 일치 확인.
• 정규화 고정: \(\sum_{\mu<\nu}\) 카운팅, \(\mathrm{Tr}\) 규약, g 포함 위치(링크 vs 라그랑지안 계수)를 문서 서두에 고정.

 

10. 최종 결과(요약 박스)

10.1 게이지 IR

$$\boxed{\ \mathcal L_{\rm gauge} =-\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac14 F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu} -\frac14 G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu}}$$

10.2 우주상수 유도

$$\boxed{\ S_{\rm press}=-\int\!\sqrt{-g}\;Z_P\,p_0\,[1-\alpha\,\overline m]}$$ $$\boxed{\ T^{(\rm press)}_{\mu\nu}=-Z_P\,p_0\,[1-\alpha\,\overline m]\;g_{\mu\nu}}$$ $$\boxed{\ \Lambda_{\rm eff}=\Lambda_{\rm bare}+8\pi G\,Z_P\,p_0\,[1-\alpha\,\overline m]}$$ $$\boxed{\ G_{\mu\nu}+\Lambda_{\rm eff}g_{\mu\nu}=8\pi G\,T^{\rm rest}_{\mu\nu},\qquad w=-1\,.}$$