[v1.3] Qaether 라그랑지안

자율형(재매개 불변) 구성, 국소 게이지 구조, 변분 방정식, 연속극한 및 페르미온 포함 여부를 체계적으로 서술합니다. 본 문서는 FCC 위상 양자화와 공변 강성 아이디어를 일관되게 통합합니다.

목차

1. 전제·기호
2. SU(2) 국소 게이지 구조
3. 자율형(배경시간 없음) 전체 라그랑지안
4. 대칭과 변분
5. 유효시간 \(\tau\) 환산
6. FCC 위상 양자화
7. 연속극한(IR)·정규화 메모
8. 파라미터·부호·운용 체크
9. (옵션) 페르미온 섹터 추가

0. 전제·기호

격자는 사이트(셀) i, 링크 \(\langle i,j\rangle\), 플라켓 \(\square\), 유한 루프 \(\ell\)로 구성되며, 격자 간격은 \(a\)입니다. 내부 회전자(물질 자유도)는 \(q_i\in SU(2)\)이고 링크 상대위상은 정의상 \(\Delta q_{ij}=q_j q_i^{-1}\)입니다. Hopf–\(S^1\) 각은 \(\phi_i\), 링크 위상은 \(\Delta\phi_{ij}=\phi_j-\phi_i\)입니다.

FCC의 삼각·사각 루프 제약에 의해 \(\Delta\phi_{ij}\in (\pi/6)\mathbb Z\)의 위상 양자화가 도출됩니다. 결합수 \(m_i\in\{0,\dots,12\}\)에 따른 관성/압력은

$$I_i(m_i)=I_0\bigl(1-\alpha m_i\bigr),\qquad P_i(m_i)=p_0\bigl(1-\alpha m_i\bigr),\quad I_0,p_0>0,\;0<\alpha\ll1.$$

게이지 부문 표기: \(U(1)\) 플라켓 위상 \(\Phi_\square\), \(SU(3)\) 홀로노미 \(G_\square\). 재매개 불변성 유지를 위해 전역 라프스( einbein) \(E(\phi)>0\)를 도입하며, 게이지 고정을 하지 않습니다. 관측량 해석시에는 유효시간 \(\tau\)를 도입해 \(\tfrac{d}{d\tau}=\mathcal N(\text{fields})\,\tfrac{d}{d\phi}\)로 환산합니다.

1. SU(2) 국소 게이지 구조

국소 변환 \(g_i\in SU(2)\)에 대해

$$q_i\to g_i q_i,\qquad V_{ij}\to g_i V_{ij} g_j^{-1},\qquad V_{ji}=V_{ij}^{-1}.$$

플라켓(윌슨 루프)은 고정된 순서의 링크 곱으로

$$V_\square=\prod_{\ell\in\square}V_\ell,\qquad U^{(1)}_\square=e^{i\Phi_\square},\qquad G_\square=\prod_{\ell\in\square}S_\ell.$$

\(\mathrm{Tr}(V_\square-\mathbb I_2)^2\) 대신 프로베니우스 노름을 사용하여 양의 정부호를 확보합니다:

$$\|U-\mathbb I_N\|_F^{2}=\mathrm{Tr}\big[(U-\mathbb I_N)^{\dagger}(U-\mathbb I_N)\big]=2N-\mathrm{Tr}\,U-\mathrm{Tr}\,U^{\dagger}. $$

물리적 “정렬 강성”은 국소 게이지 불변의 최소결합으로 대체됩니다(아래 §2-(2)).

2. 자율형(배경시간 없음) 전체 라그랑지안

작용은 \(S=\int d\phi\,\widetilde{\mathcal L}(\phi)\)이며, 자율형(재매개 불변) 형태를 유지합니다.

$$\boxed{\begin{aligned} \widetilde{\mathcal L} &=\frac{1}{2E}\sum_{i} I_i(m_i)\;\bigl\|\,q_i^{-1}q_i'\,\bigr\|^2\\ &\quad-\;E\,\kappa\sum_{\langle i,j\rangle}\Big(\mathrm{Re}\,\mathrm{Tr}[q_i^{\,-1}V_{ij}q_j]-2\Big)\\ &\quad-\;E\,\frac{1}{2g_2^{\,2}}\sum_{\square} \bigl\|V_\square-\mathbb I_2\bigr\|_F^2\\ &\quad-\;E\,\Lambda_\ell\sum_{\square}\bigl(1-\cos\Phi_\square\bigr)\\ &\quad-\;E\,\frac{1}{2g_s^{\,2}}\sum_{\square}\bigl\|G_\square-\mathbb I_3\bigr\|_F^2\\ &\quad-\;E\,\sum_i P_i(m_i) \end{aligned}}$$

여기서 \(q_i'\equiv dq_i/d\phi\), \(\|q_i^{-1}q_i'\|\in\mathfrak{su}(2)\)의 노름입니다. \(E(\phi)\)는 전역 라프스로 재매개 불변성을 보장하며, 어떤 함수로도 고정하지 않습니다. 루프-잠금 \(\Lambda_\ell\)은 삼각·사각 등 짧은 루프에 주로 적용합니다.

정규화 선택의 이유

• 게이지 플라켓 항을 \(\|U-\mathbb I\|_F^2\)로 표기하면 양의 정부호가 보장되고, Wilson형과 상수차/스케일 차이만 납니다.
• 정렬항, U(1), 루프-잠금의 상수를 적절히 이동하여 모든 퍼텐셜 항의 최소를 0으로 맞춤 → §3의 해밀토니안 제약에서 \(V_{\rm tot}\ge 0\)을 보장합니다.

3. 대칭과 변분

3.1 대칭 (모두 자율형 유지)

재매개(위상) 대칭: \(\phi\to f(\phi),\; E\to E\,\tfrac{d\phi}{df}\) 하에서 작용은 불변입니다.

국소 SU(2) 게이지: \(q_i\to g_i q_i,\; V_{ij}\to g_i V_{ij} g_j^{-1}\) → (1)(2)(3)항 불변. 이는 과거의 비(非)게이지 정렬항을 국소 게이지 불변의 공변 강성 항으로 일반화한 것입니다.

U(1), SU(3): 플라켓 불변량만 등장하므로 표준 대칭이 유지됩니다.

3.2 오일러–라그랑주 방정식

(a) 회전자 방정식 — \(q_i\) 변분

$$ \frac{d}{d\phi}\!\left(\frac{I_i}{E}\,\mathrm{Ad}_{q_i^{-1}}(q_i')\right) +E\,\kappa\sum_{j\in\mathcal N(i)}\,\Pi_{\mathfrak{su}(2)}\!\Big(q_i^{-1}V_{ij}q_j\Big) +E\,\frac{\partial}{\partial q_i}\Big(P_i+V_{\rm loop}\Big)=0, $$

여기서 \(\Pi_{\mathfrak{su}(2)}(X)=\tfrac{X-X^\dagger}{2}-\tfrac{\mathbb I_2}{2}\,\mathrm{Tr}\big(\tfrac{X-X^\dagger}{2}\big)\)는 \(\mathfrak{su}(2)\)로의 사영입니다.

(b) 링크 방정식 — \(V_{ij}\) 변분 (YM + 물질 전류)

$$ \frac{\partial}{\partial V_{ij}} \Bigg[\frac{1}{2g_2^{2}}\!\sum_{\square\ni\langle i,j\rangle}\!\|V_\square-\mathbb I_2\|_F^2 +\kappa\!\sum_{\langle a,b\rangle}\!\big(2-\mathrm{ReTr}[q_a^{-1}V_{ab}q_b]\big)\Bigg]=0, $$

연속극한에서 \(D_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu_{(q)}\)로 환원됩니다.

(c) 해밀토니안 제약 — \(E\) 변분

$$ \frac{1}{2E^{2}}\sum_i I_i\,\|q_i^{-1}q_i'\|^2\;=\;V_{\rm tot}\;\ge 0, $$

$$ \begin{aligned} V_{\rm tot}=&\;\kappa\!\sum_{\langle i,j\rangle}\!\big(2-\mathrm{ReTr}[q_i^{-1}V_{ij}q_j]\big) +\frac{1}{2g_2^{2}}\!\sum_\square \|V_\square-\mathbb I_2\|_F^2 +\Lambda_\ell\!\sum_\square(1-\cos\Phi_\square)\\ &+\frac{1}{2g_s^{2}}\!\sum_\square \|G_\square-\mathbb I_3\|_F^2 +\sum_i P_i \end{aligned} $$

모든 항의 최소가 0이 되도록 정규화했으므로 좌변의 양수성과 일관됩니다.

4. “시간”이 필요한 해석: 유효시간 \(\tau\) 환산

작용은 \(\phi\)-재매개 불변을 유지합니다. 관측량(예: 각속도, 전파속도, 스펙트럼)을 읽을 때에만

$$\frac{d}{d\tau}=\mathcal N(\text{fields})\,\frac{d}{d\phi}$$

를 적용해 단위를 고정합니다. 예를 들어

$$\Omega_i^{(\tau)}\equiv\Big\|q_i^{-1}\frac{dq_i}{d\tau}\Big\|=\mathcal N\,\|q_i^{-1}q_i'\|$$

여기서 \(\mathcal N\)은 유효시간 정의로부터 결정됩니다. 이는 게이지 고정이 아니며 결과 해석 단계의 환산일 뿐입니다.

5. FCC 위상 양자화

짧은 삼각/사각 루프에 대해

$$\sum_{\triangle}\!\Delta\phi=2\pi n_{\triangle},\qquad \sum_{\square}\!\Delta\phi=2\pi n_{\square} \;\Rightarrow\; 3\Delta\phi\in 2\pi\mathbb Z,\;4\Delta\phi\in 2\pi\mathbb Z, $$

따라서

$$\Delta\phi\in \mathrm{gcd}\!\left(\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}\right)\mathbb Z=\tfrac{\pi}{6}\,\mathbb Z.$$

루프‑잠금 \(\Lambda_\ell\) 항은 이를 동역학적으로 안정화하며, \(\Phi_\ell=2\pi n_\ell\)의 잠금이 짧은 루프에서 우세합니다.

6. 연속극한(IR)·정규화 메모

$$V_{ij}=\exp(i a A_\mu^a \sigma^a/2),\qquad V_\square=\exp(i a^2 F_{\mu\nu}^a\sigma^a/2+\cdots).$$

$$E\,\frac{1}{2g_2^2}\sum_\square\|V_\square-\mathbb I_2\|_F^2\;\to\;E\!\int d^4x\,\frac{Z_2}{4}\,F_{\mu\nu}^aF^{a\,\mu\nu}.$$

$$E\,\kappa\sum_{\langle i,j\rangle}\!\big(2-\mathrm{ReTr}[q_i^{-1}V_{ij}q_j]\big)\;\to\;E\!\int d^4x\,\rho_s\,\mathrm{Tr}\big[(D_\mu q)^\dagger(D^\mu q)\big],\quad D_\mu q=\partial_\mu q- iA_\mu q.$$

U(1), SU(3)도 표준적으로 \(E\int d^4x\,\tfrac{Z_{U(1)}}{4}F^2\), \(E\int d^4x\,\tfrac{Z_s}{4}G^2\)로 수렴합니다. 정규화 상수 \(Z_*\)는 \((a,\beta,g_2,g_s)\)의 조합으로, 논문에서 규약을 선택하여 고정합니다.

세 게이지 섹터 SU(2), U(1), SU(3)는 모두 동일한 전역 라프스 \(E(\phi)\)로 스케일되며, 연속극한에서 Wilson형 게이지 작용에 일관되게 수렴합니다.

7. 파라미터·부호·운용 체크

• \(I_0>0,\;p_0>0,\;0<\alpha\ll1\): 결합수 \(m_i\) 증가 시 관성·압력 감소(일관).
• \(\kappa>0\): 근접 정렬 선호. \(\Lambda_\ell>0\): 짧은 루프일수록 큼(예: \(\propto 1/L_\ell\)).
• 재매개 대칭 보존: \(E(\phi)\) 외생 고정 금지(위상시계 게이지 미사용).
• 선택 옵션: U(1), SU(3), SU(2) 각 \(\theta\)-항(\(F\tilde F\), \(G\tilde G\))을 부록에 옵션으로 표기(위상 섹터 분류용).
• 수치해석 편의: 루프‑잠금은 Villain 형식으로 치환 가능.

(옵션) 페르미온 라그랑지안이 필요한가?

현재 라그랑지안은 보손적 자유도로만 구성되어 있습니다. 기본 페르미온(예: 전자, 쿼크 유사)을 기술하려면 별도의 격자 페르미온을 도입해야 합니다. 반대로, 보손 솔리톤의 유효 페르미온화를 노린다면 스핀-통계 변환 메커니즘(예: 결맞음 위상, Chern–Simons류, 바운드상태)과 이상(anomaly) 일치성 점검이 필요합니다.

F.1 재매개 불변 격자 Dirac(권장, Wilson 옵션 포함)

페르미온 \(\psi_i\)가 \(U(1)\) 전하 \(q\), \(SU(2)\) 기본표현, \(SU(3)\) 기본표현을 갖는다고 할 때 링크 병렬이동자는

$$\mathcal U_{ij}\equiv U^{(1)}_{ij}{}^{\,q}\; V_{ij}\; S_{ij}\in U(1)\times SU(2)\times SU(3).$$

자율형(\(\phi\)-재매개 불변) Dirac형 라그랑지안은

$$\boxed{\begin{aligned} \widetilde{\mathcal L}_{\rm f} &=\frac{i}{E}\sum_i \bar\psi_i\,\partial_\phi\psi_i - E\,m_f\sum_i \bar\psi_i\psi_i\\ &\quad - E\sum_{\mu}\sum_{\langle i,j\rangle\parallel \mu}\Big[\bar\psi_i\,\gamma_\mu\,\mathcal U_{ij}\,\psi_j - r\,\bar\psi_i\big(\psi_j-\mathcal U_{ij}\psi_i\big)\Big]. \end{aligned}}$$

마지막 \(r\)-항은 Wilson term으로 lattice doubling 억제에 사용됩니다(대안으로 staggered/Kogut–Susskind 가능). 재매개 변환 \(\phi\to f(\phi),\; E\to E\,\tfrac{d\phi}{df}\) 하에서 첫 번째 항 \(\int d\phi\,\tfrac{i}{E}\bar\psi\partial_\phi\psi\)는 불변입니다.

F.2 물질–회전자 유카와 결합(선택)

\(q_i\)가 효과적 힉스 역할을 하도록 다음을 추가할 수 있습니다.

$$\widetilde{\mathcal L}_{\rm Yuk}= -E\,y\sum_i \bar\psi_i\,q_i\,\psi_i,$$

여기서 \(\psi_i\)는 SU(2) 이중항이고, \(q_i\in SU(2)\) 군원입니다. 국소 변환 \(g_i\) 하에서 불변입니다.