[v1.3] Qaether 라그랑지안

1. 기본 자유도와 기호 정리

심볼	설명
$$q_i\in SU(2)$$	셀 \(i\) 내부 단위 쿼터니언
$$\Delta q_{ij}=q_j q_i^{-1}$$	이웃 \(i\!\!-\!j\) 링크의 SU(2) 상대위상
$$\phi_i$$	\(q_i\)의 Hopf-\(S^1\) 각도 (전하·전기장)
$$\Delta\phi_{ij}\equiv\phi_j-\phi_i\in\frac{\pi}{6}\mathbb Z$$	FCC 양자화 최소단위
$$I_i(m_i)=I_0\!\left(1-\alpha m_i\right)$$	결합 수 \(m_i\)에 따른 관성모멘트

 

2. 운동(시간) 항 — 셀 내부 회전 운동에너지

셀 \(i\)의 쿼터니언 궤도각속도는 $$\Omega_i\equiv\|q_i^{-1}\dot q_i\| \in \mathfrak{su}(2)$$ 따라서

  $$\boxed{\;\mathcal L_{\rm kin} =\sum_i \frac{I_i(m_i)}{2}\,\Omega_i^{\,2}\;}$$

이 항을 \(\phi_i\) 성분으로만 축약하면 \(I_i(m_i)\ddot{\phi_i}\)가 등장하여 파일 양자화식 (1)의 좌변과 일치한다.

 

3. SU(2) 격자(스핀) 퍼텐셜

링크 정렬을 유도하는 Wilson-형식 작용

 $$\boxed{\;\mathcal L_{SU(2)} =-\frac1{g_2^{\,2}}\sum_{\langle i,j\rangle} \Re\operatorname{Tr}\!\bigl(\Delta q_{ij}\bigr)\;}$$

이는 원문에 제시된 링크 작용 \(f(U)\)와 동일하다.

4. U(1) (전자기) 부문

Hopf-\(S^1\) 각도만 남기면 compact QED 코사인 항이 된다

  $$\boxed{\;\mathcal L_{U(1)} =-\beta\sum_{\square}\cos\!\Phi_\square\;}$$

작은 진동 한계에서 \(-\tfrac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)로 수렴한다.

 

5. SU(3) (색) 부문

플라켓 홀로노미 \(G_\square\)에 대해

  $$\boxed{\;\mathcal L_{SU(3)} =-\frac1{2g_s^{\,2}}\sum_{\square} \operatorname{Tr}\!\bigl(G_\square-\mathbb I_3\bigr)^2\;}$$

정적 색위상 + 동적 글루온이 결합된 형태이다.

 

6. 압력-결합·질량 퍼텐셜

결합이 늘어날수록 셀 표면에 작용하는 위상-압력이 줄어드는 효과를

  $$\boxed{\;\mathcal L_{\rm press} =-\,\sum_i P_i(m_i)\;}$$

로 묶어 쓸 수 있다. $$P_i(m_i)=p_0(1-\alpha m_i)$$는 플랑크-압력 모형에서 유도된다.

 

7. 루프-잠금(위상 양자화) 항

루프 전체 위상 \(\Phi_\ell\)를 \(2\pi n_\ell\)로 고정하는 토크를

  $$\boxed{\;\mathcal L_{\rm loop} =-\sum_{\ell}\Lambda_\ell\cos\Phi_\ell\;}$$

로 쓰면, 오일러-라그랑주 식이 axiom의 우변 두 번째 항을 재현한다.

 

8. Qaether 전체 라그랑지안

  $$\boxed{\; \mathcal L_{\text{Qaether}} =\mathcal L_{\rm kin} +\mathcal L_{SU(2)} +\mathcal L_{U(1)} +\mathcal L_{SU(3)} +\mathcal L_{\rm press} +\mathcal L_{\rm loop}\;}$$

요약하면

$$\begin{aligned} \mathcal L_{\text{Qaether}} &=\sum_i\frac{I_i(m_i)}{2}\|q_i^{-1}\dot q_i\|^2 -\frac1{g_2^{\,2}}\!\sum_{\langle i,j\rangle}\!\Re\operatorname{Tr}\!\bigl(\Delta q_{ij}\bigr) -\beta\!\sum_{\square}\!\cos\Phi_\square \\ &\quad-\frac1{2g_s^{\,2}}\!\sum_{\square}\!\operatorname{Tr}\!\bigl(G_\square-\mathbb I_3\bigr)^2 -\sum_i P_i(m_i) -\sum_{\ell}\Lambda_\ell\cos\Phi_\ell . \end{aligned}$$

 

9. 검증 포인트 — 동역학 방정식과 일관성

• \(\delta\phi_i\) 변분을 취하면 axiom의 내용과 동일한 위상 방정식을 다시 얻는다.
• \(\Delta q_{ij}\)·\(G_\square\) 변분은 표준 SU(2)·SU(3) Yang-Mills 방정식을 재현한다.
• FCC 격자 대칭 + \(\Lambda_\ell\) 항으로 인해 \(\Delta\phi_{ij}\in\pi/6\,\mathbb Z\) 양자화가 자동 유지된다.