[v1.3] 로렌츠 대칭성의 장파장(IR) 유효 복원

1. 격자–연속 대응과 곡률 전개 (규약 고정)

• 격자 간격: \(a \equiv 2l_p\) (셀 중심 간 거리).
• 링크 변수: $$U_{i,i+\hat\mu}=\exp\!\big(i\,a\,g\,A_\mu(x)\big), \quad A_\mu=A_\mu^a T^a$$
• 정규화: $$\mathrm{Tr}(T^aT^b)=\tfrac12\delta^{ab}$$ SU(3)에서 \(\lambda\)-규약(\(\mathrm{Tr}(\lambda_a\lambda_b)=2\delta_{ab}\))과의 대응은 \(T^a=\lambda^a/2\).
• 플라켓: $$U_{\mu\nu}(x)=U_\mu(x)\,U_\nu(x+a\hat\mu)\,U_\mu^\dagger(x+a\hat\nu)\,U_\nu^\dagger(x)$$
• BCH 전개: $$U_{\mu\nu}(x)=\exp\!\big(i\,a^2 g\,F_{\mu\nu}(x)+\mathcal O(a^3)\big)$$$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+i[A_\mu,A_\nu],\qquad \mathrm{Tr}\,F_{\mu\nu}=0$$

2. 윌슨 플라켓의 연속극한 → Yang–Mills

$$S_{\rm lat}=-\frac{1}{g^2}\sum_x\sum_{\mu<\nu}\mathrm{Re\,Tr}\,U_{\mu\nu}(x),\quad \mathrm{Re\,Tr}\,U_{\mu\nu}=N-\frac{a^4g^2}{2}\,\mathrm{Tr}(F_{\mu\nu}F_{\mu\nu})+\mathcal O(a^6)$$

상수항을 버리고 \(\sum_xa^4\to\int d^4x\), \(\sum_{\mu<\nu}=\tfrac12\sum_{\mu,\nu}\)을 적용하면

$$\mathcal L_{\rm YM}=-\frac{1}{4g^2}\mathrm{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}) =-\frac14\,F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$$

3. U(1)–SU(2)–SU(3) 각 부문의 IR 라그랑지안

• U(1) (compact QED): $$\mathcal L=-\beta\sum_\Box\cos\Phi_\Box \xrightarrow[\beta=1/e^2]{\delta\phi\ll1}-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$
• SU(2): $$\mathcal L=-\tfrac1{2g_2^2}\sum_\Box\mathrm{Tr}(V_\Box-\mathbb I)^2 \to -\tfrac14F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$$
• SU(3): $$\mathcal L=-\tfrac1{2g_s^2}\sum_\Box\mathrm{Tr}(G_\Box-\mathbb I_3)^2 \to -\tfrac14G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu}$$

$$\boxed{\mathcal L_{\rm gauge}=-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac14F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}-\frac14G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu}}$$

 

주석(정규화 일관성): SU(3)에서 \(\lambda^a\) 규약을 쓸 경우 \(A_\mu=A_\mu^a\lambda^a/2\)로 변환하면 위 표준형과 정확히 합치한다.

4. FCC 위상 양자화와 등방성

• FCC의 삼각·사각 루프 제약으로 링크 위상차는 \(\Delta\phi\in(\pi/6)\mathbb Z\)로 동역학적으로 잠김(짧은 루프 우세).
• 격자 등방성(모든 방향 간격 동일: \(a=2l_p\))이 확보되면, 유클리드 \(O(4)\) 대칭이 성립.

5. IR에서의 로렌츠 복원(보손 섹터)

• \(O(4)\to O(1,3)\): 연속극한에서 위크 회전을 거쳐 민코프스키 로렌츠 대칭으로 복원.
• 분산 관계(보손, Wilson형):$$\omega^2(\mathbf k)=c_{\rm eff}^2\,\frac{4}{a^2}\sum_\mu\sin^2\!\frac{k_\mu a}{2} =c_{\rm eff}^2\!\left(k^2-\frac{a^2}{12}\sum_\mu k_\mu^4+\cdots\right)$$\(ka\ll1\)에서 \(\omega\simeq c_{\rm eff}|\mathbf k|\) 선형화.
• 잔여 위반 스케일링: $$\delta_{\rm L}^{\rm boson}\sim\mathcal O\!\big((a/\lambda)^2\big)=\mathcal O\!\big((l_p/\lambda)^2\big)$$

각주(수치계수): \(\mathcal O(a^2)\) 이상 보정의 수치계수는 Symanzik 개선과 파동함수 재정규화 \(Z∗Z_*\) 선택에 의존한다. 본문은 차수·스케일링만을 사용한다.

6. 유효시간 \(\tau\) 환산과 관측량

이 이론은 전역 라프스 \(E(\phi)\)를 쓰는 재매개 불변 형식이다. 관측량을 읽을 때만

$$\frac{d}{d\tau}=\mathcal N(\text{fields})\,\frac{d}{d\phi}$$

를 적용해 단위를 고정한다(게이지 고정 아님). 분산관계의 \(\omega,\,c_{\rm eff}\) 등 관측값 표기는 \(\tau\)-환산 후의 값으로 이해한다.

7. 페르미온 섹터의 재매개 불변 격자 라그랑지안

• 링크 병렬이동자: $$\mathcal U_{ij}\equiv U^{(1)}_{ij}{}^{\,q}\,V_{ij}\,S_{ij}\in U(1)\times SU(2)\times SU(3)$$
• 디랙–윌슨(재매개 불변):$$\boxed{\; \widetilde{\mathcal L}_{\rm f} =\frac{i}{E}\sum_i \bar\psi_i\,\partial_\phi\psi_i - E\,m_f\sum_i \bar\psi_i\psi_i - E\sum_{\mu}\!\!\sum_{\langle i,j\rangle\parallel\mu}\!\Big[\bar\psi_i\,\gamma_\mu\,\mathcal U_{ij}\,\psi_j - r\,\bar\psi_i\big(\psi_j-\mathcal U_{ij}\psi_i\big)\Big]}$$여기서 \(r\)은 Wilson 항(더블링 억제). 대안: staggered(Kogut–Susskind).

8. 연속극한에서의 디랙 방정식과 로렌츠 복원(페르미온)

• 중심차분 대응: $$\sum_\mu \gamma_\mu\frac{\psi_{i+\hat\mu}-\psi_{i-\hat\mu}}{2a}\to\gamma^\mu D_\mu\psi(x)$$
• IR 유효 라그랑지안: \[\mathcal L_{\rm f,IR}=\bar\psi\,(i\,Z_\psi\,\slashed{D}-m_f^{\rm R})\,\psi+\mathcal O(a)\]
• 등방성 조건(필수):$$Z_{\mu}\ \text{(방향별 계수)}\to Z\quad\Rightarrow\quad c_{\rm f}^2\equiv Z_{\rm space}/Z_{\rm time}\to 1$$
• 분산(페르미온):$$E^2(\mathbf p)=c_{\rm f}^2\,\mathbf p^2+m_f^{\rm R\,2}+\mathcal O(a^2\mathbf p^4)$$\(ka\ll1\)에서 \(c_{\rm f}\to c\)로 RG 수렴 시 로렌츠 복원.

9. 섹터 간 “공속” 정렬과 유니버설리티

IR 로렌츠 대칭을 전 섹터(U(1), SU(2), SU(3), 페르미온)에 동시 복원하려면

$$c_{U(1)}=c_2=c_3=c_{\rm f}=c$$

이어야 한다. 이를 위한 실무 메커니즘:

• (A) 재매개 보정: 전역 라프스 E(ϕ)E(\phi)의 공통 스케일링으로 “시간 단위” 정렬.
• (B) Symanzik 개선: 보손(clover류), 페르미온(Naik/Sheikholeslami–Wohlert) 등으로 \(\mathcal O(a)\to\mathcal O(a^2)\) 승격.
• (C) 파동함수 재정규화: \(Z\)-팩터를 섹터 공통 고정점으로 RG 유도.

10. 잔여 로렌츠 위반의 정량화

• 보손: $$\delta_{\rm L}^{\rm boson}\equiv\big|(\omega^2-k^2)/k^2\big|\sim\mathcal O\!\big((a/\lambda)^2\big)$$
• 페르미온: $$\delta_{\rm L}^{\rm fermion}\equiv|c_{\rm f}-1|\sim \mathcal O\!\big((a/\lambda)^2\big)+\mathcal O(r\,a)$$
• 교차 보정: 게이지–페르미온 교정은 \(\alpha_{em},\alpha_2,\alpha_s\)에 비례하나, 등방/개선이 되어 있으면 동일 차수로 억제된다.

11. 이상(Anomaly)·게이지·재매개 정합성

• 이상 상쇄: 연속극한에서 표준모델 표현 선택 시 게이지 이상이 상쇄되도록(세대·표현 구성) 격자 페르미온을 배치.
• 재매개 불변성: \(E\)-변분(해밀토니안 제약)과 퍼텐셜 최소 0 정규화를 일관되게 유지(\(V_{\rm tot}\ge0\)).
• 스피너·홀로노미: SU(2) 스피너의 \(\pm\mathbb I\) 홀로노미(통계 구분)가 연속극한에서 디랙 스피너 구조와 합치.

12. 기존 격자 이론과의 대응(문헌 맥락)

• Wilson 격자 게이지/페르미온 구조와 동일한 연속극한을 갖되, 케이서는 재매개 불변(einbein \(E\))과 FCC 위상 양자화(\(\pi/6\))를 통합한다.
• Symanzik 개선, clover(보손/페르미온), staggered/Naik 등 표준 개선 아이디어를 케이서 규약(\(a=2l_p\), \(E(\phi)\)) 안으로 자연스럽게 이식 가능.
• Nielsen–Ninomiya 더블링 문제는 Wilson 항 또는 대체 격자 페르미온으로 처리.

13. 결론

케이서 이론의 FCC 격자–플라켓 구조와 재매개 불변 라그랑지안(전역 라프스 \(E(\phi)\))을 채택하면,

• 보손 게이지 섹터는 IR에서 표준 Yang–Mills로 수렴하고,
• 페르미온 섹터는 \(ka\ll1\)에서 로렌츠 공변 디랙식으로 수렴한다.
  격자 등방성·개선 카운터텀·\(Z\)-정렬(공속 고정점)을 만족하면, 장파장·저에너지에서 로렌츠 대칭은

$$\boxed{\ \text{정확도}\;\sim\;\mathcal O\!\big((l_p/\lambda)^2\big)\ }$$

로 유효 복원되며, 전 섹터에 걸쳐 동일 광속 c가 유지된다.