[v1.3] 로렌츠대칭회복

1. 격자–연속 대응과 전개

케이서 이론의 기본 게이지 자유도는 FCC 격자 링크 변수가 다음과 같이 주어진다.

$$U_{i,i+\hat\mu} \;=\; \exp\!\big(i\,a\,g\,A_\mu(x)\big),\quad a=l_p$$

여기서 \(x=i\,a\, g \) 는 해당 게이지 섹터의 결합상수이며, 생성자 정규화는 \(\mathrm{Tr}(T^aT^b)=\tfrac12\delta^{ab}\)를 사용한다.

인접 링크로 구성된 플라켓 변수

$$U_{\mu\nu}(x) =U_\mu(x)\,U_\nu(x+a\hat\mu)\,U_\mu^\dagger(x+a\hat\nu)\,U_\nu^\dagger(x)$$

를 소규모 \(a\) 전개하면 다음과 같으며,

$$U_{\mu\nu}(x) \;=\; \exp\!\big(i\,a^2\,g\,F_{\mu\nu}(x) + \mathcal O(a^3)\big)$$

다음은 표준 곡률텐서이다.

$$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + i\,[A_\mu,A_\nu]$$

비가환 단순군에서는 \(\mathrm{Tr}F_{\mu\nu}=0\)이므로 전개에서 선형항은 사라진다.

 

2. 윌슨 플라켓 항의 연속극한

격자 작용을 다음과 같이 두면,

$$S_{\rm lat} \;=\; -\frac{1}{g^2}\sum_x\sum_{\mu<\nu}\mathrm{Re\,Tr}\,U_{\mu\nu}(x)$$

여기서

$$\mathrm{Re\,Tr}\,U_{\mu\nu} = N - \frac{a^4g^2}{2}\,\mathrm{Tr}(F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}) + \mathcal O(a^6)$$

N은 군의 기본표현 차원(SU(2)에서 2, SU(3)에서 3).

상수항은 버리고 \(\sum_x a^4\to\int d^4x\), \(\sum_{\mu<\nu}=\tfrac12\sum_{\mu,\nu}\)를 적용하면 다음과 같이 된다.

$$\boxed{\mathcal L_{\rm YM} = -\frac{1}{4g^2}\,\mathrm{Tr}\big(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\big)}$$

위 정규화를 쓰면
$$\mathrm{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})=\tfrac12 F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$$이므로

$$\mathcal L_{\rm YM} = -\frac14\,F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$$

 

3. U(1), SU(2), SU(3) 각 부문의 IR 라그랑지안

• U(1)$$\mathcal L_{U(1)}=-\beta\sum_\Box\cos\Phi_\Box$$ Wilson 규약 \(\beta=1/e^2\)로 두면 연속극한에서 $$\mathcal L_{U(1)}=-\tfrac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$
• SU(2)$$\mathcal L_{SU(2)}=-\tfrac1{2g_2^2}\sum_\Box\mathrm{Tr}(V_\Box-\mathbb I)^2$$ $$→ \mathcal L_{SU(2)}=-\tfrac14 F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$$
• SU(3)$$\mathcal L_{SU(3)}=-\tfrac1{2g_s^2}\sum_\Box\mathrm{Tr}(G_\Box-\mathbb I_3)^2$$ $$ →\mathcal L_{SU(3)}=-\tfrac14 G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu}$$

따라서 IR에서의 총 게이지 작용은

$$\boxed{ \mathcal L_{\rm gauge} = -\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac14F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu} -\frac14G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu} }$$

형태로 표준 전기·약·강 Yang–Mills와 동일하다.

 

4. 로렌츠 대칭의 유효 복원

1. 격자 등방성
   FCC 격자 또는 초입방격자의 \(\mu\) 방향 간 간격을 모두 \(a=l_p\)로 동일하게 두면, \(\sum_{\mu<\nu}\)항이 \(O(4)\) (유클리드) 대칭을 가지며, \(a\to0\) 또는 \(\lambda\gg l_p\)에서 민코프스키 \(O(1,3)\) 로렌츠 대칭이 유효적으로 복원된다.
2. 복원 정확도
   \(a=l_p\) 고정인 케이서 모델에서는 $$\text{Lorentz 위반} \;\sim\; \mathcal O\!\big((l_p/\lambda)^2\big)$$ 로 억제된다. 즉, 파장이 플랑크 길이보다 충분히 길면(\(E\ll E_{\rm Pl}\)) 로렌츠 대칭 위반 효과는 무시 가능하다.
3. 분산 관계
   Wilson형 격자에서 $$\omega^2(\mathbf k)=c_{\rm eff}^2\,\frac{4}{a^2}\sum_\mu \sin^2\!\frac{k_\mu a}{2} =c_{\rm eff}^2\Big(k^2 - \frac{a^2}{12}\sum_\mu k_\mu^4 + \cdots\Big)$$이므로 \(ka\ll1\)에서 \(\omega\simeq c_{\rm eff}|\mathbf k|\)로 선형화되며, 위반은 \(\mathcal O(a^2k^3)\)로 떨어진다.
4. 섹터 간 광속 정렬
   로렌츠 대칭이 전 섹터(U(1), SU(2), SU(3), 로터)에 대해 동일하게 복원되려면 유효 파동속도 \(\{c_{U(1)},c_2,c_3,c_q\}\)가 RG 흐름에서 동일한 값으로 정렬되어야 한다. 이는 시간 재매개 \(E(\phi)\) 조정과 섹터 간 혼합항 보정으로 달성한다.

 

5. 결론

케이서 이론의 격자 라그랑지안에서 플라켓 항을 곡률 전개로 치환하면, IR에서는 표준 Yang–Mills 라그랑지안과 동일한 형태가 얻어진다. 격자 등방성과 플랑크 길이 대비 충분히 긴 파장을 전제로, 로렌츠 대칭은 \(\mathcal O((l_p/\lambda)^2)\) 정확도로 유효 복원되며, 분산 관계와 파동속도 정렬 조건을 만족하면 모든 게이지·물질 섹터에 걸쳐 빛의 속도 c가 동일하게 유지된다.