[v1.3] 라그랑지안 + 우주상수 항 + 중력항을 통합한 최종 통합 작용

 

 

지금까지 구축한 라그랑지안 위에, 중력항 + 우주상수(유효압력) + 게이지·로터 섹터를 하나의 작용으로 통합. 즉, IR(연속)·곡률 배경에서 쓰는 최종 통합본.

(민코프스키 시그니처 (-,+,+,+), \(\mathrm{Tr}(T^aT^b)=\tfrac12\delta^{ab}\) 규약)

 

 

최종 통합 작용 (IR·곡률 배경)

$$\boxed{ S_{\rm total} =\int d^4x\,\sqrt{-g}\;\Big[ \underbrace{\frac{1}{16\pi G}\,(R-2\Lambda_{\rm bare})}_{\text{중력}} \;+\;\underbrace{\mathcal L_{\rm rotor}}_{\text{SU(2) 로터}} \;+\;\underbrace{\mathcal L_{\rm gauge}}_{\text{U(1)\,+\,SU(2)\,+\,SU(3)}} \;-\;\underbrace{V_{\rm eff}}_{\text{우주상수(진공퍼텐셜)}} \;+\;\underbrace{\mathcal L_{\rm higher}}_{\text{고차 보정(선택)}} \Big] }$$ (i) 로터(물질) 섹터 $$\boxed{ \mathcal L_{\rm rotor} =\rho_s\;\mathrm{Tr}\!\big[(D_\mu q)^\dagger(D^\mu q)\big], \qquad q(x)\in SU(2),\quad D_\mu q=\partial_\mu q- i A_\mu^a\,\frac{\sigma^a}{2}\,q }$$

• \(\rho_s>0\): IR 유효 ‘강성’(spin stiffness). 격자 파라미터와의 대응은 \(\rho_s\propto a^2\kappa\) (정확 상수는 규약/재정의에 따라 고정).
• \(A_\mu^a\) 는 SU(2) 게이지 퍼텐셜.

(ii) 게이지 섹터 $$\boxed{ \mathcal L_{\rm gauge} = -\frac{Z_{1}}{4}\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac{Z_{2}}{4}\,F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu} -\frac{Z_{s}}{4}\,G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu} \,,}$$ $$F_{\mu\nu}=\partial_\mu B_\nu-\partial_\nu B_\mu,\quad F^a_{\mu\nu}=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu+ f^{abc}A^b_\mu A^c_\nu,\quad G^A_{\mu\nu}=\partial_\mu C^A_\nu-\partial_\nu C^A_\mu+ f^{ABC}C^B_\mu C^C_\nu$$

• \(Z_1,Z_2,Z_s>0\)는 격자 정규화 상수(윌슨 전개에서 오는 IR 재정의): $$Z_1\!=\!Z_{U(1)}(a,\beta),\; Z_2\!=\!Z_{SU(2)}(a,g_2),\; Z_s\!=\!Z_{SU(3)}(a,g_s)$$ (관례상 \(Z\to1\)로 규격화 가능하며, 실측/매칭으로 고정)

(iii) 우주상수(유효압력) 섹터 $$\boxed{ V_{\rm eff}(x)=Z_P\,p_0\,\big[1-\alpha(x)\,\overline m(x)\big] }$$

• 핵심 정합 포인트: \(V_{\rm eff}\)는 에너지밀도(=압력) 스칼라. 격자 \(\sum_i a^4 \to \int\sqrt{-g}\)가 이미 셀 카운팅을 처리하므로 별도의 \(n(x)\)를 곱하지 않는다.
• \(p_0>0\): 기준 에너지밀도 스케일(플랑크 스케일 가정 가능), \(Z_P\): coarse-graining 재정규화, \(\overline m\in[0,12]\): 평균 결합수, \(\alpha\ll1\): 점접촉 유효 결합분율.

이때 $$\boxed{ \Lambda_{\rm eff}\;=\;\Lambda_{\rm bare}+8\pi G\,V_{\rm eff} =\Lambda_{\rm bare}+8\pi G\,Z_P\,p_0\,[1-\alpha\,\overline m] }$$이며, 작용의 변분으로 곧바로 $$\boxed{ G_{\mu\nu}+\Lambda_{\rm eff}\,g_{\mu\nu}=8\pi G\,T^{\rm rest}_{\mu\nu} }$$가 나온다. (여기서 \(T^{\rm rest}_{\mu\nu}\)는 로터·게이지 등 나머지 물질의 응력에너지) $$\boxed{ \mathcal L_{\rm higher} =\sum_i \frac{c_i}{M_*^2}\,\mathcal O_{6,i} \;+\; \frac{\theta_1}{32\pi^2}F\tilde F \;+\; \frac{\theta_2}{32\pi^2}F^a\tilde F^a \;+\; \frac{\theta_s}{32\pi^2}G^A\tilde G^A }$$

• \(M_*\sim 1/a\sim 1/l_p\) 억제 스케일, \(\mathcal O_{6,i}\)는 \(d=6\) 이상 연산자(로렌츠 위반항 포함). 장파장에서는 \(\sim (l_p/\lambda)^2\)로 억제.

 

유도되는 운동방정식

• 아인슈타인 방정식(효과적 Λ 포함) $$G_{\mu\nu}+\Lambda_{\rm eff}g_{\mu\nu}=8\pi G\, \big(T^{\rm rotor}_{\mu\nu}+T^{\rm gauge}_{\mu\nu}+\cdots\big),\quad \Lambda_{\rm eff}=\Lambda_{\rm bare}+8\pi G V_{\rm eff}$$
• Yang–Mills (각 섹터)$$\nabla_\mu\big(Z_1 F^{\mu\nu}\big)=J^\nu_{(U1)},\quad D_\mu\big(Z_2 F^{a\,\mu\nu}\big)=J^{a\,\nu}_{(SU2)},\quad \mathcal D_\mu\big(Z_s G^{A\,\mu\nu}\big)=J^{A\,\nu}_{(SU3)}$$ 여기서 \(J^{a\,\nu}_{(SU2)}\)는 로터로부터: $$J^{a\,\nu}_{(SU2)}= i\,\rho_s\,\mathrm{Tr} \!\left\{\frac{\sigma^a}{2}\Big[q^\dagger D^\nu q-(D^\nu q)^\dagger q\Big]\right\}$$
• 로터(비선형 시그마 모델)$$D_\mu D^\mu q -q\;\Big[\mathrm{proj}_{\mathfrak{su}(2)}\big(q^{-1}D_\mu D^\mu q\big)\Big]=0 \quad\text{(그룹 제약을 반영한 형태; 필요 시 라그랑주 승수로 표기 가능).}$$
• 진공 응력$$T^{(\rm press)}_{\mu\nu}=-V_{\rm eff}\,g_{\mu\nu},\qquad w=-1$$

 

로렌츠 대칭 유효 복원 & 보존법칙

• 분산관계(격자 유래): $$\omega^2(\mathbf k) = c_{\rm eff}^2\!\left(k^2-\frac{a^2}{12}\sum_\mu k_\mu^4+\cdots\right)\Rightarrow$$ IR에서 \(\omega\simeq c_{\rm eff}|\mathbf k|\). 위반은 \(\mathcal O((l_p/\lambda)^2)\).
• 모든 섹터에서 c 정렬(z=1)이 필요(파라미터 캘리브레이션으로 달성).
• 바이안키: $$\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0\Rightarrow \partial_\nu\Lambda_{\rm eff} =8\pi G\,\nabla^\mu T^{\rm rest}_{\mu\nu}$$ 균질 IR에선 \(\partial_\nu\Lambda_{\rm eff}\!=\!0,\)
  비상수면 상호작용 소스 \(Q_\nu=\frac{1}{8\pi G}\partial_\nu\Lambda_{\rm eff}\)를 도입.

 

파라미터 매핑(격자→IR 스케치)

$$\begin{aligned} &U_\mu=\exp(i a g A_\mu),\quad U_{\mu\nu}=\exp(i a^2 g F_{\mu\nu}+\cdots),\\ &S_{\rm lat}^{\rm gauge}\ \to\ \int\!\sqrt{-g}\,\Big( -\frac{Z_1}{4}F^2-\frac{Z_2}{4}F^{a\,2}-\frac{Z_s}{4}G^{A\,2}\Big),\\ &-E\,\kappa\sum_{\langle i,j\rangle}\Re\,\mathrm{Tr}(q_i^{-1}V_{ij}q_j) \ \to\ \int\!\sqrt{-g}\;\rho_s\,\mathrm{Tr}[(D_\mu q)^\dagger(D^\mu q)],\quad \rho_s\propto a^2\kappa,\\ &-E\sum_i P_i\ \to\ -\int\!\sqrt{-g}\;V_{\rm eff},\quad V_{\rm eff}=Z_P p_0(1-\alpha\overline m). \end{aligned}$$ (Z-상수들은 스킴 의존; 물리 매칭으로 고정.)

 

관측치 스케일과 \(\alpha\)

$$\alpha_{\rm req}\simeq \frac{\varepsilon_\Lambda}{Z_P\,p_0\,\overline m} \sim \frac{10^{-123}}{Z_P\,\overline m}\quad\Rightarrow\quad (Z_P\!\sim\!1,\ \overline m\!\sim\!6)\Rightarrow \alpha_{\rm req}\!\sim\!2\times10^{-124}$$→ \(\alpha\)는 “순수 기하학적 면적비율”보다 유효 결합분율로 해석하는 것이 자연스럽다(루프-잠금·위상 상쇄·터널링 억제 등으로 지수적 억제 가능).
대안: $$\Lambda_*\!=\!\Lambda_{\rm bare}+8\pi G Z_P p_0$$를 이론 메커니즘으로 낮추고 \(\alpha\)는 잔여만 담당.