[v1.2] Qaether이론과 격자게이지이론과의 구조적 동치성 증명

Qaether ↔ 윌슨 격자 게이지 이론의 1 : 1 대응

격자 간격 \(a=2l_p\), \(U_{ij}=\Delta q_{ij}\) 

단계	Qaether 정의	윌슨 격자 QCD/QED 대응	핵심 근거
① 링크 변수	두 셀의 상대위상 \(\Delta q_{ij}=q_jq_i^{-1}\in SU(2)\) 및 \(\Delta w_{ij}=e^{i(\phi_j-\phi_i)/2}\)	윌슨 링크 $$U_{ij}\in G$$ 국소 변환 $$U_{ij}\to g_jU_{ij}g_i^{-1}$$	Qaether 링크와 동일한 변환 법칙
② 플라켓(곡률)	$$F_{\Box}=\prod_{\ell\in\Box}\Delta q_\ell$$	Wilson loop $$U_{\Box}=\prod_\ell U_\ell$$	정의가 완전히 일치
③ 게이지 작용	$$\mathcal L_{\rm Gauge}=\beta_E\!\sum_{\Box}\!\cos\Phi_\Box+\frac{\beta_W}{2}\!\sum_{\Box}\!\Re\,[\operatorname{Tr} F_\Box]+\cdots$$	윌슨 액션 $$-\!\sum_{\Box}\!\Re\,[\operatorname{Tr} U_\Box]$$	구조·계수 형태가 동일
④ 격자 도함수	$$\displaystyle\nabla_\mu q_i=\frac{\log\Delta q_{i+\mu,i}-\log\Delta q_{i-\mu,i}}{4l_p}$$	중심차분 $$\frac{U_{i,i+\mu}-U_{i,i-\mu}}{2a}$$	\(a=2l_p\Rightarrow 1/(4l_p)=1/(2a)\)로 완전 일치
⑤ 페르미온(hopping)	$$\displaystyle D_\mu^{\rm lat}\psi_i=\tfrac1{2l_p}(U_{i,i+\mu}\psi_{i+\mu}-U_{i-\mu,i}^\dagger\psi_{i-\mu})$$	Wilson/KS 퍼미온 차분	동일 형식·계수
⑥ 연속 극한	$$a\!\to\!0\Rightarrow \mathcal L_{\rm eff}=-\tfrac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\cdots$$	Yang-Mills/QED	동일한 장 강도식 도출
⑦ 로렌츠 대칭	RG에서 \(O(a^2)\) 항이 소멸 → emergent SO(3,1)	격자 QCD와 같은 ‘자발 복원’ 메커니즘	IR 효과 작용이 동일

 

1. 링크 · 플라켓 수준의 완전 동형
   • Qaether의 SU(2) 링크 \(\Delta q_{ij}\)와 윌슨 링크는 같은 군원소이며 변환 법칙도 동일하므로, 경로적분 측에서 두 이론의 게이지 자유도는 일치한다.
   • \(F_{\Box}\cdot\Phi_{\Box}\) 플라켓은 Wilson loop의 곡률 정의를 그대로 재현한다. 따라서 게이지 작용 자체가 동일하므로 두 이론은 같은 게이지 역학을 가진다.
2. 격자 미분 ⇒ 중심차분
   • 중심차분 공식 $$\partial_\mu f(x)\;\approx\;\frac{f(x+a\hat\mu)-f(x-a\hat\mu)}{2a}$$ 에 \(a=2l_p\)를 대입하면 분모 \(2a=4l_p\).
   • Qaether의 도함수 정의가 정확히 이 값을 사용하므로 스핀·게이지 연결의 미분 구조가 완벽히 대응한다.
3. 페르미온·하이브리드 물질 항
   • Qaether의 hopping term은 Wilson-페르미온 식과 계수가 동일하며, 링크 변수 자리에 통합 \(U_{ij}\)를 삽입한다.
   • 따라서 물질–게이지 상호작용 또한 격자 QCD/QED 공식 그대로다.
4. 연속 극한에서의 Yang-Mills 복원
   • 장파장 \(ka\ll1\)에서 고계 \(O(a^2)\) 항이 억압되면 $$\mathcal{L}_{\rm eff}\;=\;-\tfrac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar\psi(i\!\not\!D-M)\psi+\cdots$$ 를 얻어 표준 Yang-Mills + 디랙 이론으로 수렴한다.
   • 이는 전형적 윌슨 격자 이론의 연속극한과 동일한 과정이다.
5. 추가 \(V_G\) (중력·질량) 항의 무해성
   • \(V_G(\mathbf q,m)\)은 스칼라 퍼텐셜이라 게이지 섹터와 가환하고, 저에너지에서는 따로 요동하지 않으므로 격자 게이지 동역학을 보존한다.
6. 다른 이론과의 비교·검증
   • 해밀토니안 형태가 Kogut–Susskind 격자 QCD의 \(E^2+B^2\) 구조와 “완전히 동일”함이 문서에 명시되어 있다.
   • emergent Lorentz 메커니즘은 그래핀·Hořava-Lifshitz 등에서 관측된 패턴과 동일.

정리

1. 링크–플라켓의 정의,
2. 게이지·페르미온 작용,
3. 격자 미분 계수까지 윌슨 격자 게이지 이론과 완전히 중첩된다. 따라서 Qaether 이론은 게이지 부문에서 표준 격자 QCD/QED와 동치이며, 장파장 한계에서는 동일한 Yang-Mills/디랙 연속장이 응급된다.

 

두 이론의 차이 정리

1. 격자 간격의 해석
   • 격자 게이지 이론에서는 격자 간격 a를 단순히 연속극한을 취하기 위한 규제(cutoff) 수단으로 도입합니다. 즉, \(a\to0\)로 보낸 뒤 연속 시공간 이론을 복원하는 것이 목적입니다.
   • Qaether 이론에서는 플랑크 길이 \(l_p\)가 실제 우주의 최소 길이 단위로 고정되어 있습니다. 더 이상 \(l_p\to0\)로 보낼 수 없으며, 이 최소 단위 자체가 중력과 양자효과를 결합시키는 물리적 의미를 가집니다.
2. 장(Field)의 해석과 기원
   • 격자 게이지 이론에서 링크 변수 \(U_{ij}\)는 단순히 게이지 장을 이산화한 표현으로, 물리적 장의 근사치(추정치)일 뿐입니다.
   • Qaether 이론에서는 \(\Delta q_{ij},\Delta w_{ij},\Xi_{ij}\) 등이 플랑크 스케일에서 물질과 시공간의 근본 구조를 동시에 나타내는 실존적 실체로 간주됩니다. 즉, 이 변수들 자체가 “Qaether”로 불리는 새로운 기본 엔티티이며, 여기에 중력·질량·상호작용의 기원이 모두 포함됩니다.
3. 연속 극한의 유무
   • 격자 게이지 이론은 궁극적으로 연속 극한을 전제로 하고, 물리 관측량도 \(a\to0\)가성 하에서 정의됩니다.
   • Qaether 이론은 연속 극한을 취하지 않고도 유한한 \(l_p\) 단위 내에서 완전한 이론을 구성하며, 시공간 자체가 이산적이라는 가정이 물리적으로 파괴되지 않습니다.
4. 중력과 게이지 상호작용의 통합
   • 전통적인 격자 게이지 이론은 중력을 포함하지 않고, 외부 시공간 배경 위에서 비중력적 게이지 상호작용만 다룹니다.
   • Qaether 이론은 중력·질량 퍼텐셜 항을 라그랑지안에 직접 포함시켜, 게이지 상호작용과 중력 효과가 동일한 플랑크 스케일 격자 구조 안에서 통합적으로 기술됩니다.

결론적으로, 두 이론이 겉보기에 같은 수학적 “격자 게이지 구조”를 공유하지만, 격자 변수의 물리적 기원, 격자 간격의 역할, 연속 극한 처리 여부, 그리고 중력 통합 여부 등에서 본질적인 차이를 갖기 때문에 실제 물리학적 의미와 적용 범위는 서로 다릅니다.

 

 

물리학적 의미

격자 게이지 이론과 동치라는 사실이 물리학적으로 가지는 주요 의미는 다음과 같습니다:

1. 게이지 상호작용의 기원
   Qaether의 격자 링크 변수 \(\Delta \mathbf q_{ij}\in SU(2)\)와 U(1), SU(3) 위상 인자가 전통적 윌슨 링크 \(U_{ij}\)와 완전히 일치하므로, 게이지 자유도는 “플랑크 규모의 위상 네트워크”에서 자연스럽게 나오며, 별도의 연속장 가정을 필요로 하지 않습니다.
   특히 각 셀의 쿼터니언 \(\mathbf q_i\) 안에 SU(2) 스핀, U(1) 전하, SU(3) 색전하가 내재되어 있다는 점이 이를 뒷받침합니다.
2. 질량과 관성의 창발
   \(\mathcal{L}_{\rm Gravity/Mass}=-V_G(\mathbf q_i,m_i)\) 항은 셀 간 결합 수 및 내부 위상각에 따라 위치 에너지가 결정되며, 이를 통해 질량(\(M_f\))과 관성 모멘트가 동적으로 생성된다는 해석이 가능합니다.
   즉, 힉스 메커니즘과는 다른 ‘격자 압력 모델’로서 질량의 기원을 설명합니다.
3. 시간·공간의 창발적 속성
   Qaether에서는 절대 배경 시간이 아니라, 각 셀의 국소적 위상 변화량이 “고유시간” \(d\tau_i\)를 결정합니다.
   이는 아인슈타인 상대성 이론에서의 계량장(\(g_{\mu\nu}\))이 동역학적으로 생성되는 것과 궤를 같이 합니다.
4. 로렌츠 대칭의 자동 복원
   플랑크 격자 간격 \(a\sim l_p\)보다 긴 파장(\(ka\ll1\)) 한계에서 비(非)로렌츠 항은 RG-irrelevant로 억제되어,
   유클리드 O(4) 대칭이 Wick 회전을 통해 Minkowski SO(3,1)로 복원됩니다.
   이는 그래핀이나 Hořava–Lifshitz 중력 등에서 관측된 ‘emergent Lorentz symmetry’ 메커니즘과 동일한 구조입니다.
5. 양자 중력·통합이론과의 연계
   – 격자 위상 네트워크는 루프 양자 중력의 스핀 네트워크, Regge calculus 등과 개념적으로 유사
   – 단일 쿼터니언 변수로 중력·게이지·물질을 통합하는 접근은 보다 근본적인 통합이론 방향을 제시