엔트로피 유도 (v0.6)

Qaether 시스템의 경우는 결합 경로를 통해서 이산경로적분을 해야한다.

 

1. 이산 구조에 자연스러운 수식화

Qaether가 FCC 격자의 이산 점 위에 존재하고, 결합(link)들이 핵심 동역학 단위라면, 연속적 시공간의 작용량(action) 대신 “결합 경로(path)”를 따라 정의된 이산 작용량이 직관적입니다. 여기서 \(L_{ij}\)는 링크 \(i\to j\)를 통해 전파되는 위상 동역학과 스핀 정렬, 포텐셜 에너지 항을 모두 포함하는 국소 이산 라그랑지안입니다.

$$S[\{\phi\},\{A\}] \;=\;\sum_{\langle i,j\rangle} \;L_{ij}\bigl(\phi_i,\phi_j,A_{ij}\bigr)\,\Delta\tau$$

 

2. 경로적분(formal path integral)과 통계적 해석

전통적 양자장론에서 \( \displaystyle Z\)는 다음과 같다.
$$\displaystyle Z=\int\mathcal D\phi\,e^{iS[\phi]/\hbar}$$
같은 방법으로 Qaether 네트워크에서는

$$Z \;=\;\sum_{\{A_{ij}\}} \int\!\prod_i d\phi_i\;\exp\!\Bigl(\tfrac{i}{\hbar}\sum_{\langle i,j\rangle}L_{ij}\Bigr)$$

와 같이 “결합 구성”과 “위상 분포”에 대한 이산 경로적분을 정의할 수 있어, 고전 동역학뿐 아니라 양자적 요동, 터널링 효과, 위상 결함의 생성·소멸까지 모두 포괄할 수 있습니다.

 

 

3. Regge Calculus 및 스핀 네트워크와의 연결

이산 시공간 곡률 이론인 Regge calculus가 단순화된 단면에서 이산 작용량을 사용하듯, Qaether에서도 “Void 부피 변화에 대응하는 곡률 에너지”를 링크별 작용량 항으로 추가하면 중력적 상호작용까지 통합 가능합니다.$$L_{ij} = T_{ij}(\Delta\phi) - V_{ij}(\Delta V_{void})$$와 같은 형태로, 스핀/위상 진동 에너지와 Void 기반 곡률 에너지를 결합함으로써 하나의 통일된 작용량을 구성할 수 있습니다.

 

 

이산 경로적분 정식화에서도 엔트로피를 자연스럽게 도출할 수 있습니다. 

 

4. 경로 분포의 정보론적 엔트로피

경로적분으로 정의된 분할 함수(진공-투-진공 진폭)

$$Z \;=\;\sum_{\{A_{ij}\}}\int \prod_i d\phi_i\;\exp\!\Bigl(\tfrac{i}{\hbar}S[\{\phi\},\{A\}]\Bigr)$$

를 “확률 분포”로 해석하려면, 진동 위상과 결합 구성에 대한 가중치를

$$P[\{\phi\},\{A\}] =\frac{1}{Z}\,\exp\!\Bigl(-\tfrac{1}{\hbar} \Im S[\{\phi\},\{A\}]\Bigr)$$

(위상 진동과 감쇠를 포함해 실수 지수형으로 바꾼 뒤)라 정의하고,
이 확률 분포의 Shannon 엔트로피를

$$\mathcal S =-\sum_{\{A\}}\!\int\prod_i d\phi_i\;P[\{\phi\},\{A\}]\;\ln P[\{\phi\},\{A\}]$$

로 정의할 수 있습니다.

• 이 식은 “모든 가능한 위상–결합 경로”에 대한 불확실성을 측정하며,
• 앞서 도입한 위상 엔트로피
  $$S(\tau)=-\sum_\alpha p_\alpha\ln p_\alpha$$
  와 수학적으로 완전히 일치하는 형태입니다.
• 특히, \(\{A_{ij}\}\)를 고정하고 위상만 통합하면 국소 위상차 분포에 대한 엔트로피로 귀결됩니다.

 

5. 열역학적(통계역학적) 엔트로피

온도 T를 도입해 유효 해밀토니안 \(H[\{\phi\},\{A\}]\)를 정의하면, 칸토니언 분할 함수

$$Z(\beta) =\sum_{\{A_{ij}\}}\int\!\prod_i d\phi_i\;\exp\bigl(-\beta H[\{\phi\},\{A\}]\bigr), \quad \beta=\tfrac{1}{k_B T}$$

를 통해 열역학적 자유 에너지와 엔트로피를 유도할 수 있습니다:

$$F = -\tfrac{1}{\beta}\ln Z,\qquad S = -\frac{\partial F}{\partial T} = k_B\Bigl(\ln Z + \beta\langle H\rangle\Bigr)$$

• 여기서 \(\langle H\rangle = -\partial\ln Z/\partial\beta\)는 평균 에너지입니다.
• H 안에 “위상 진동 에너지”와 “Void 곡률 에너지”가 모두 들어가므로,
  전통적 통계역학 방식으로 시공간 곡률·위상 동역학이 주는 엔트로피 기여를 계산할 수 있습니다.

 

요약하자면 이산 경로적분 프레임워크 위에서 “위상 분포의 혼돈도”로서의 엔트로피, “열역학적 자유도”로서의 엔트로피 둘 다 체계적으로 유도할 수 있습니다.